Тригонометрія – це галузь математики, яка вивчає взаємозв’язки між сторонами та кутами в трикутниках. Один із найважливіших аспектів тригонометрії – це тригонометричні формули половинного кута. Ці формули грають важливу роль в багатьох математичних та інженерних задачах і використовуються широкою громадою учнів та студентів під час вивчення тригонометрії.
У цій статті ми розглянемо, що таке тригонометричні формули половинного кута, ознайомимося з трьома основними формулами та доведемо їх, використовуючи формули подвійних кутів. Також ми розглянемо кілька прикладів з розв’язаннями для кращого розуміння теми.
Навігація по сторінці.
Що таке тригонометричні формули половинного кута?
Перш ніж перейти до тригонометричних формул половинного кута, давайте визначимо, що таке саме половинний кут. Якщо ми маємо кут α, то його половинний кут буде позначатися як α/2.
Тригонометричні формули половинного кута дозволяють виразити тригонометричні функції (синус, косинус та тангенс) половинного кута через тригонометричні функції звичайного кута α. Ці формули допомагають спростити складні тригонометричні обчислення та дозволяють виконувати їх швидше та ефективніше.
Формули половинного кута для синуса, косинуса і тангенса.
Тепер, коли ми зрозуміли загальне визначення тригонометричних формул половинного кута, давайте розглянемо конкретні формули для кожної з тригонометричних функцій.
Отже, формула половинного кута для синуса має такий вигляд:
Формула половинного кута для косинусв виглядає наступним чином:
Формула половинного кута для тангенса може бути записана так:
Доведення формул половинного кута.
Як уже зазначалося вище, тригонометричні формули половинного кута можуть бути отримані з використанням формул подвійного кута. Таким чином, щоб вивести формулу половинного кута для синуса, почнемо з формули подвійного кута для косинуса:
Якщо ми використовуємо співвідношення θ=α/2, то маємо 2·θ=α. Підставляючи ці вирази в тотожність вище отримаємо:
Тепер, розв’яжемо цей вираз для sin(α/2):
Знак sin(α/2) залежить від квадранта, в якому знаходиться α/2. Якщо α/2 знаходиться в першому або другому квадранті, формула використовує додатний знак, а якщо α/2 знаходиться в третьому або четвертому квадранті, у формулі використовується від’ємний знак.
Використовуючи аналогічний процес, знайдемо формулу половинного кута для косинуса. Отже, почнемо з тотожності подвійного кута косинуса у наступній формі:
Знову-таки, зробивши заміни, отримаємо:
Далі, знайдемо cos(α/2):
У цьому випадку, якщо α/2 знаходиться в першому або четвертому квадранті, формула використовує додатний знак, а якщо α/2 знаходиться в другому або третьому квадранті, у формулі використовується від’ємний знак.
Тепер, ми можемо вивести формулу для обчислення tg(α/2). Отже, використовуючи наведені вище тотожності, отримуємо:
Формули половинного кута – приклади з відповідями.
Тепер, коли ми розглянули тригонометричні формули половинного кута та їх доведення, давайте перейдемо до кількох прикладів, які допоможуть нам краще зрозуміти, як застосовувати їх у рішенні різних тригонометричних задач.
Приклад 1: за допомогою формули половинного кута знайти значення синуса 15°.
Для знаходження синуса 15° скористаємося формулою половинного кута синуса. Отже, маємо:
Зауважимо, що ми використали додатне значення, оскільки 15° знаходиться в першому квадранті. Таким чином, синус 15° дорівнює 0.259.
Приклад 2: за допомогою формули половинного кута знайти значення косинуса 165°.
Для знаходження косинуса 165° скористаємося формулою половинного кута для косинуса. Ми знаємо, що α/2=165°, тому α=330°. Тепер можемо використовувати формулу з такими значеннями:
Ми вибрали від’ємне значення, оскільки кут 165° знаходиться у другому квадранті. Таким чином, косинус 165° дорівнює -0.966.
Приклад 3: перевірте, чи виконується тотожність 2·sin2(x/2)+cos(x)=1.
Для перевірки тотожності використаємо формулу половинного кута синуса для спрощення виразу. Роблячи це, маємо:
Після спрощення бачимо, що ліва сторона тотожності дорівнює правій частині, отже, тотожність істинна. Таким чином, тотожність 2·sin2(x/2)+cos(x)=1 виконується.
Дивіться також:
Вивчення теми тригонометричні формули половинного кута дозволить нам глибше зрозуміти тригонометрію і її застосування. Але наша подорож у світ тригонометрії не закінчується лише на цій темі. Є декілька інших захоплюючих тем, які також варто розглянути: