Формули суми і різниці тригонометричних функцій: застосування та приклади

Тригонометрія – це захоплюючий розділ математики, який досліджує зв’язки між кутами та сторонами трикутників. Одним із найважливіших аспектів тригонометрії є формули суми і різниці кутів, які допомагають обчислювати значення тригонометричних функцій для специфічних кутів.

У даній статті ми детальніше розглянемо формули суми і різниці тригонометричних функцій, а також з’ясуємо, як застосовувати їх для розв’язання практичних задач. Розуміння цих тотожностей допоможе вам вирішувати різноманітні математичні задачі та збільшить ваше розуміння тригонометрії.

Що таке тригонометричні формули суми та різниці тригонометричних функцій?

Формули суми і різниці тригонометричних функцій є тригонометричними тотожностями, за допомогою яких можна знайти значення тригонометричних функцій будь-якого кута.

Ці тригонометричні тотожності забезпечують можливість перетворення та обчислення значень кутів за допомогою суми або різниці інших кутів з відомими значеннями. Наприклад, якщо нам необхідно обчислити синус або косинус 15°, ми можемо переписати цей кут як різниця кутів 45° та 30°, оскільки значення синусів і косинусів цих кутів є добре відомими.

Формули суми і різниці кутів для синуса, косинуса і тангенса.

Тепер, коли ми зрозуміли загальне визначення формул суми і різниці кутів, давайте розглянемо конкретні формули для кожної з тригонометричних функцій:

Отже, формули суми тригонометричних функцій мають такий вигляд:

Формули різниці тригонометричних функцій виглядають наступним чином:

Формули суми і різниці кутів – приклади з відповідями.

Наступні приклади розв’язуються шляхом застосування тотожностей суми та різниці синуса, косинуса та тангенса кутів. Спробуйте розв’язати задачі самостійно, перш ніж дивитися на відповідь.

Приклад 1: використовуючи тотожність суми кутів, знайдіть точне значення косинуса 75°.

Оскільки 75° дорівнює сумі 30° і 45°, то, використовуючи формулу косинуса суми, маємо:

Приклад 2: використовуючи тотожність різниці кутів, знайти точне значення синуса 15°.

Оскільки 15° дорівнює різниці 45° і 30°, то, використовуючи формулу синуса різниці, будемо мати:

Приклад 3: використовуючи тотожність суми кутів, знайти точне значення cos(7π/12).

Отже,  використовуючи формулу косинуса суми, ми можемо виразити заданий кут як суму відомих кутів:

Використовуючи далі ці кути у формулі, отримаємо:

Дивіться також:

Завершивши вивчення теми «Формули суми і різниці тригонометричних функцій», ви поглибите своє розуміння тригонометрії, ознайомившись із наступними захоплюючими темами:

1. Тотожності подвійного кута – формули, доведення та приклади.
2. Тригонометричні тотожності половинного кута – доведення та застосування.
3. Тотожності Піфагора – формули та приклади.