Тригонометричні формули подвійного кута: основи, доведення та приклади

Тригонометрія є невід’ємною складовою математики, яка займається вивченням взаємозв’язків між кутами та сторонами трикутників. Однією з важливих тем у тригонометрії є тригонометричні формули подвійного кута.

У цій статті ми розглянемо, що таке тригонометричні формули подвійного кута, опишемо три формули подвійного кута для косинуса, синуса і тангенса, доведемо ці формули за допомогою тотожностей суми кутів, а також наведемо приклади з рішеннями.

За допомогою цієї статті ви зможете збільшити свої знання у тригонометрії та стати ще кращим експертом у цій галузі.

Що таке тригонометричні формули подвійного кута?

Тригонометричні формули подвійного кута – це особливі математичні вирази, які дозволяють знаходити значення тригонометричних функцій для подвійного кута (2·α) на основі значень тригонометричних функцій для одинарного кута (α). Вони є потужним інструментом у тригонометрії, який спрощує обчислення та допомагає вирішувати складні завдання, пов’язані з кутами та трикутниками.

Наприклад, ми можемо використовувати ці тотожності для розв’язання sin(2·α). Таким чином, якщо маємо значення α і потрібно знайти sin(2·α), ми можемо використовувати цю тотожність для спрощення завдання.

Формули подвійного кута для синуса, косинуса і тангенса.

Тепер, коли ми зрозуміли загальне визначення тригонометричних формул подвійного кута, давайте розглянемо конкретні формули для кожної з тригонометричних функцій.

Отже, формула подвійного кута для синуса має такий вигляд:

Нижче наведена формула, що виражає тотожність подвійного кута для косинуса. Зазначимо, що ця формула може мати дві додаткові варіації, які випливають при використанні тотожності Піфагора:

Формула подвійного кута для тангенса виражає значення тангенса подвійного кута через значення тангенса простого кута. Ось як ця формула виглядає:

Доведення формул подвійного кута.

Тригонометричні формули подвійних кутів виводяться за допомогою тотожностей суми кутів. У випадку суми кутів для синуса маємо:

Якби α і β були однаковими кутами, ми мали б:

Це формула подвійного кута для синуса. Використовуючи той самий процес, ми знаходимо формулу подвійного кута для косинуса. Отже, починаємо з тотожності суми кутів косинуса:

Знову-таки, припускаючи що кути α і β рівні, маємо:

Ми можемо вивести дві додаткові варіації цієї формули, використовуючи тотожність Піфагора, sin²(α)+cos²(α)=1. Цю тотожність можна записати як sin²(α)=1-cos²(α) або cos²(α)=1-sin²(α).

Якщо ми використовуємо sin²(α)=1-cos²(α), маємо:

Якщо ми використовуємо cos²(α)=1-sin²(α), маємо:

Аналогічним чином, використовуємо тотожність суми кутів для тангенса, щоб отримати його формулу подвійного кута:

Якщо кути α та β рівні, формула виглядає так:

Формули подвійного кута – приклади з відповідями.

Формули подвійного кута синуса, косинуса та тангенса використовуються для вирішення наступних прикладів. Спробуйте самостійно розв’язати приклади, перш ніж дивитися на відповідь.

Приклад 1: знайти значення sin(2·α) якщо sin(α)=5/13 і cos(α)=-12/13?

Ми знаємо синус α і косинус α, тому, можемо застосувати формулу подвійного кута для синуса безпосередньо. Отже, маємо:

Приклад 2: знайти значення cos(2·α), якщо sin(α)=5/13 і cos(α)=-12/13?

У цьому випадку ми хочемо знайти значення косинуса подвійного кута α. Тому, використовуємо формулу, наведену вище із заданими значеннями синуса та косинуса:

Приклад 3: знайти значення cos(2·α), якщо sin(α)=2/9?

У цьому прикладі ми маємо лише значення синуса α, але ми можемо знайти значення косинуса подвійного кута α, використовуючи третій варіант формули подвійного кута для косинуса. Отже, маємо:

Дивіться також:

При вивченні теми тригонометричні формули подвійного кута є багато захоплюючих і корисних тем, які можуть зацікавити вас та поглибити ваші знання про тригонометрію. Ось кілька рекомендованих тем, які варто дослідити:

1. Тотожності половинного кута – формули, доведення та приклади.
2. Тригонометричні тотожності суми та різниці – формули та приклади.
3. Тотожності Піфагора – формули та приклади.