Діагональ квадрата – формули та приклади

У геометрії квадрат – це правильний чотирикутник, у якого чотири сторони однакової довжини та чотири кути, що дорівнюють 90 градусів. Діагональ квадрата – це відрізок, що з’єднує будь-які дві його несуміжні вершини. Всякий квадрат має дві діагоналі, які дорівнюють одна одній.

Виходячи з того, що діагональ квадрата є гіпотенузою одного з двох прямокутних трикутників на які вона ділить квадрат, то довжину діагоналі можна знайти за допомогою формули, яка випливає з теореми Піфагора.

Зазначимо, що в даній публікації ми дізнаємося про формулу, за якою можна визначити довжину діагоналі квадрата. Крім того, ми розглянемо кілька прикладів, у яких будемо використовувати цю формулу.

Як знайти діагональ квадрата?

Отже, як зазначалося вище, діагональ квадрата можна обчислити за допомогою формули, отриманої з теореми Піфагора. Розглянемо квадрат  зі сторонами довжина яких дорівнює .

Зазначимо, що прямі  і є діагоналями цього квадрата.

Як видно з рисунка, кожна діагональ квадрат ділить його на два рівних прямокутних трикутника. Скористаємось одним з цих трикутників, щоб обчислити довжину діагоналі.

Отже, з трикутника  маємо:

Виходячи з того, що , останнє рівняння перепишеться у наступному вигляді:

Отже, довжина діагоналі квадрата дорівнює:

Властивості діагоналей квадратів такі:

• діагоналі квадрата рівні і перпендикулярні;
• діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів;
• діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники.

Діагональ квадрата – приклади з відповідями.

Наступні приклади розв’язуються за допомогою формули обчислення діагоналі квадрата (1). Спробуйте самостійно їх розв’язати, перш ніж дивитися на розв’язання.

Приклад 1: сторони квадрата дорівнюють . Яка довжина його діагоналі?

Скориставшись формулою (1), матимемо:

Отже, діагональ квадрата має довжину .

Приклад 2: яка довжина діагоналі квадрата зі сторонами ?

Знову-таки, скориставшись формулою (1), отримаємо:

Звідси, діагональ квадрата має довжину .

Приклад 3: діагональ квадрата дорівнює . Яка довжина його сторін?

Зазначимо, що у цьому випадку ми починаємо з діагоналі та хочемо знайти довжину сторін. Тому, скористаємося формулою діагоналі (1) та знайдемо сторону:

Отже, довжина сторін квадрата дорівнює .

Приклад 4: діагональ квадрата дорівнює . Яка довжина його сторін?

Отже, як і у попередньому прикладі, використовуємо формулу діагоналі квадрата, підставляємо значення довжини діагоналі та знаходимо сторону:

Таким чином, довжина сторони квадрата дорівнює .

Приклад 5: діагональ квадрата  дорівнює . Його сторона дорівнює діагоналі іншого квадрата. Знайдіть сторону цього квадрата.

Отже, нехай в квадраті  діагональ  дорівнює .

Як зазначалося вище, діагоналі квадрата рівні, в точці перетину діляться навпіл і є взаємно перпендикулярними. Тому, трикутник  – рівнобедрений та прямокутний.

Добудувавши даний трикутник до прямокутника , отримаємо квадрат із діагоналлю, що дорівнює стороні квадрата . Тоді:

Таким чином, довжина сторони квадрата  дорівнює .

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про квадрати? Перегляньте ці сторінки:

1. Що таке квадрат? (означення та властивості квадрата).
2. Периметр квадрата – формули та приклади.
3. Площа квадрата – формули та приклади.

Блок-схема алгоритму знаходження довжини діагоналі квадрата