Правило добутку — це одне з основних правил диференціального числення, яке застосовують тоді, коли функція задана як добуток двох інших функцій. На перший погляд може здатися, що похідну такого виразу можна знайти дуже просто: окремо продиференціювати кожен множник і перемножити результати. Але тут виникає важливе питання: чи враховує такий підхід зміну всього добутку? Насправді ні, адже при зміні аргументу змінюється не лише один із множників. Обидві частини добутку змінюються одночасно. Саме тому для добутку функцій потрібне окреме правило, яке правильно враховує внесок кожного множника в загальну зміну функції.
Правило Добутку: Основна Формула для Двох Функцій
Нехай маємо дві диференційовні функції \( u(x) \) і \( v(x) \). Розглянемо функцію, яка є їхнім добутком:
\[
y=u(x)\cdot v(x).
\]
Тоді похідна цього добутку обчислюється за формулою
\[
y’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
\]
Це і є основна формула правила добутку. Її також часто записують через оператор диференціювання:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\cdot v(x)\bigr)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
\]
Такий запис особливо зручний, бо відразу показує, що ми знаходимо похідну всього добутку \( u(x)\cdot v(x) \), а не лише одного з множників. Саме тому формула містить два доданки.
Перший доданок \( u'(x)\cdot v(x) \) відповідає за зміну першого множника \( u(x) \), тоді як другий множник \( v(x) \) у цей момент залишається без змін. Другий доданок \( u(x)\cdot v'(x) \) відповідає за зміну другого множника \( v(x) \), тоді як перший множник \( u(x) \) залишається без змін.
Отже, похідна добутку не дорівнює добутку похідних. Замість цього ми беремо похідну першої функції, множимо її на другу функцію, а потім додаємо добуток першої функції на похідну другої. Саме так формула враховує зміну обох множників.
Крок за Кроком: Виведення Формули Через Означення Похідної
Тепер детально розглянемо, звідки береться формула правила добутку. Для цього скористаємося означенням похідної через границю. Нехай функція \( y \) задана як добуток двох диференційовних функцій:
\[
y=u(x)\cdot v(x).
\]
За означенням похідної маємо
\[
y’=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
\]
Оскільки \( y(x)=u(x)\cdot v(x) \), то значення цієї функції в точці \( x+h \) дорівнює
\[
y(x+h)=u(x+h)\cdot v(x+h).
\]
Підставимо ці вирази в означення похідної:
\[
y’=\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}.
\]
На цьому етапі ми отримали правильний вираз для похідної, але він ще не має вигляду формули правила добутку. Що потрібно зробити далі? Треба перетворити чисельник так, щоб у ньому окремо з’явилася зміна функції \( u(x) \) і окремо зміна функції \( v(x) \).
Для цього додамо й віднімемо один і той самий вираз:
\[
u(x+h)\cdot v(x).
\]
Це не змінює значення чисельника, бо ми одночасно додаємо і віднімаємо однаковий доданок. Проте такий крок допомагає розділити зміну добутку на дві частини. В одній частині буде видно зміну функції \( v(x) \), а в іншій — зміну функції \( u(x) \).
Отже, запишемо:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x+h)\cdot v(x)+u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x)
}{h}.
\]
Тепер згрупуємо доданки так, щоб у першій групі був спільний множник \( u(x+h) \), а в другій — спільний множник \( v(x) \):
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
u(x+h)\cdot \bigl(v(x+h)-v(x)\bigr)+v(x)\cdot \bigl(u(x+h)-u(x)\bigr)
}{h}.
\]
У цьому записі вже добре видно, навіщо ми додавали й віднімали проміжний вираз. Перша різниця \( v(x+h)-v(x) \) показує зміну функції \( v(x) \), а друга різниця \( u(x+h)-u(x) \) показує зміну функції \( u(x) \). Тобто ми спеціально перетворили чисельник так, щоб отримати дві різниці, які згодом дадуть дві похідні.
Далі подамо цей дріб як суму двох дробів:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\left(
u(x+h)\cdot \frac{v(x+h)-v(x)}{h}
+
v(x)\cdot \frac{u(x+h)-u(x)}{h}
\right).
\]
Тепер розглянемо кожен множник окремо. Дріб
\[
\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
\]
є різницевим відношенням для функції \( v(x) \). Тому, коли \( h\to 0 \), цей дріб прямує до похідної \( v'(x) \):
\[
\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}=v'(x).
\]
Аналогічно дріб
\[
\frac{u(x+h)-u(x)}{h}
\]
є різницевим відношенням для функції \( u(x) \). Тому при \( h\to 0 \) маємо
\[
\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x).
\]
Залишається звернути увагу на множник \( u(x+h) \) у першому доданку. Оскільки функція \( u(x) \) диференційовна, вона є неперервною в точці \( x \). Тому при \( h\to 0 \) значення \( u(x+h) \) прямує до \( u(x) \):
\[
u(x+h)\to u(x).
\]
Тепер можемо перейти до границі в усьому виразі:
\[
y’=u(x)\cdot v'(x)+v(x)\cdot u'(x).
\]
Оскільки порядок доданків у сумі можна змінювати, запишемо результат у звичному вигляді:
\[
y’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
\]
Отже, остаточно маємо формулу правила добутку:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\cdot v(x)\bigr)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
\]
Таким чином, правило добутку безпосередньо випливає з означення похідної через границю. Головний крок у виведенні полягає в тому, щоб правильно перетворити чисельник і розділити зміну добутку на дві частини. Саме тому в остаточній формулі з’являються два доданки: один враховує зміну першого множника, а другий — зміну другого.
Правило Добутку: Практичне Застосування Формули
Тепер перейдемо до практичної частини й подивимося, як правило добутку працює в типових задачах. Тут важливо не поспішати: спочатку треба правильно визначити перший і другий множники, а вже потім послідовно застосувати формулу. У кожному прикладі будемо знаходити похідні обох множників і підставляти їх у правило добутку.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=(x^2+1)\cdot (3\cdot x-5) \)
У цьому прикладі маємо добуток двох функцій. Першим множником є вираз \( x^2+1 \), а другим — вираз \( 3\cdot x-5 \). Для зручності позначимо
\[
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=3\cdot x-5.
\]
Тоді функцію можна записати так:
\[
y=u(x)\cdot v(x).
\]
За правилом добутку маємо
\[
y’=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).
\]
Тепер знайдемо похідну першого множника:
\[
u'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Далі знайдемо похідну другого множника:
\[
v'(x)=(3\cdot x-5)’=3.
\]
Підставимо знайдені похідні у формулу правила добутку:
\[
y’=2\cdot x\cdot (3\cdot x-5)+(x^2+1)\cdot 3.
\]
Тепер розкриємо дужки:
\[
y’=6\cdot x^2-10\cdot x+3\cdot x^2+3.
\]
Зведемо подібні доданки й отримаємо остаточну відповідь:
\[
y’=9\cdot x^2-10\cdot x+3.
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=(x^3-2\cdot x)\cdot \sqrt{x} \)
Тут функція також задана як добуток двох виразів. Перший множник — це многочлен \( x^3-2\cdot x \), а другий множник — коренева функція \( \sqrt{x} \). Позначимо
\[
u(x)=x^3-2\cdot x,\qquad v(x)=\sqrt{x}.
\]
Спочатку знайдемо похідну першого множника:
\[
u'(x)=(x^3-2\cdot x)’=3\cdot x^2-2.
\]
Тепер знайдемо похідну другого множника. Оскільки \( v(x)=\sqrt{x} \), то
\[
v'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Підставимо ці вирази у формулу правила добутку:
\[
y’=(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}+(x^3-2\cdot x)\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
За потреби цей вираз можна звести до спільного знаменника. Перший доданок перепишемо зі знаменником \( 2\cdot \sqrt{x} \):
\[
(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}
=
\frac{2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Тоді маємо
\[
y’=
\frac{2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)}{2\cdot \sqrt{x}}
+
\frac{x^3-2\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Об’єднаємо дроби:
\[
y’=\frac{2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)+x^3-2\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Розкриємо дужки в чисельнику:
\[
y’=\frac{6\cdot x^3-4\cdot x+x^3-2\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Зведемо подібні доданки й отримаємо остаточну відповідь:
\[
y’=\frac{7\cdot x^3-6\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
У цьому прикладі важливо пам’ятати, що функція містить \( \sqrt{x} \). Тому, якщо ми працюємо з дійсними числами, похідну цієї функції коректно розглядати лише при \( x>0 \).
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=x^2\cdot \sin(x) \)
У цьому випадку першим множником є степенева функція \( x^2 \), а другим — тригонометрична функція \( \sin(x) \). Тому позначимо
\[
u(x)=x^2,\qquad v(x)=\sin(x).
\]
Знайдемо похідну першого множника:
\[
u'(x)=(x^2)’=2\cdot x.
\]
Тепер знайдемо похідну другого множника:
\[
v'(x)=(\sin(x))’=\cos(x).
\]
Підставимо ці результати у формулу правила добутку й отримаємо відповідь:
\[
y’=2\cdot x\cdot \sin(x)+x^2\cdot \cos(x).
\]
У цьому прикладі нічого додатково спрощувати не потрібно. Відповідь уже записана в зручному вигляді. Перший доданок відповідає за зміну множника \( x^2 \), а другий — за зміну множника \( \sin(x) \).
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=e^x\cdot \ln(x) \)
Тут маємо добуток показникової функції та натурального логарифма. Перший множник — \( e^x \), а другий — \( \ln(x) \). Позначимо
\[
u(x)=e^x,\qquad v(x)=\ln(x).
\]
Знайдемо похідну першого множника. Оскільки похідна \( e^x \) дорівнює самій функції, маємо
\[
u'(x)=(e^x)’=e^x.
\]
Тепер знайдемо похідну другого множника:
\[
v'(x)=(\ln(x))’=\frac{1}{x}.
\]
Підставимо ці похідні у формулу правила добутку:
\[
y’=e^x\cdot \ln(x)+e^x\cdot \frac{1}{x}.
\]
Отримаємо
\[
y’=e^x\cdot \ln(x)+\frac{e^x}{x}.
\]
Можемо винести спільний множник \( e^x \) за дужки й записати остаточну відповідь:
\[
y’=e^x\cdot \left(\ln(x)+\frac{1}{x}\right).
\]
Тут варто пам’ятати, що функція містить \( \ln(x) \). Тому, якщо працюємо з дійсними числами, маємо розглядати лише \( x>0 \). Це важливо не тільки для самої функції, а й для коректного запису її похідної.
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=(x^2+1)\cdot \cos(2\cdot x) \)
У цьому прикладі маємо добуток двох функцій, але другий множник є складеною функцією. Перший множник — \( x^2+1 \), а другий — \( \cos(2\cdot x) \). Позначимо
\[
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=\cos(2\cdot x).
\]
Спочатку знайдемо похідну першого множника:
\[
u'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Тепер знайдемо похідну другого множника:
\[
v'(x)=(\cos(2\cdot x))’.
\]
Тут потрібно бути уважними. Правило добутку допомагає знайти похідну всього добутку, але для похідної другого множника треба додатково використати правило диференціювання складеної функції. Зовнішньою функцією є косинус, а внутрішньою — вираз \( 2\cdot x \). Тому
\[
(\cos(2\cdot x))’=-\sin(2\cdot x)\cdot (2\cdot x)’.
\]
Оскільки \( (2\cdot x)’=2 \), то
\[
v'(x)=-2\cdot \sin(2\cdot x).
\]
Тепер підставимо все у формулу правила добутку:
\[
y’=2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)+(x^2+1)\cdot \bigl(-2\cdot \sin(2\cdot x)\bigr).
\]
Розкриємо дужки з урахуванням мінуса й отримаємо остаточну відповідь:
\[
y’=2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)-2\cdot (x^2+1)\cdot \sin(2\cdot x).
\]
Цей приклад показує важливий момент: іноді під час застосування правила добутку всередині одного з множників потрібно додатково використати інше правило диференціювання. Тому спочатку визначаємо множники, а потім уважно знаходимо похідну кожного з них.
Що Читати Далі: Корисні Теми Для Продовження
Після правила добутку варто перейти до інших базових правил диференціювання. Вони часто працюють разом, тому знання кожного з них допомагає впевненіше розв’язувати складніші приклади.
- Степеневе правило: Формула, доведення, приклади — У статті буде пояснено, як знаходити похідні степеневих функцій і застосовувати це правило в типових задачах.
- Ланцюгове правило: Формула, доведення, приклади — Матеріал допоможе зрозуміти, як диференціювати складені функції та правильно визначати внутрішню й зовнішню частини.
- Правило частки: Формула, доведення, приклади — У статті йтиметься про похідну частки двох функцій і послідовне застосування цього правила в обчисленнях.
Правило Добутку: Ідея Для Програмного Експерименту
Якщо вам цікаво не лише розв’язувати приклади вручну, а й бачити, як математична формула працює в програмі, спробуйте реалізувати алгоритм із блок-схеми своєю улюбленою мовою програмування. У цьому алгоритмі похідна функції обчислюється двома способами: аналітично за правилом добутку та наближено через малий приріст аргументу. А що найцікавіше? Ви зможете порівняти обидва результати й побачити, наскільки близько чисельний метод підходить до точної формули.
