Правило частки — це одне з основних правил диференціального числення, яке застосовують тоді, коли функція задана як частка двох інших функцій. Тобто маємо вираз, у якому одна функція стоїть у чисельнику, а інша — у знаменнику.
На перший погляд може здатися, що похідну такої функції можна знайти дуже просто: окремо продиференціювати чисельник, окремо знаменник і поділити результати. Але тут одразу виникає важливе питання: чи справді такий підхід правильно описує зміну всього дробу? Насправді ні. Адже при зміні аргументу змінюється не лише чисельник, а й знаменник. Саме тому для частки функцій потрібне окреме правило, яке правильно враховує зміну обох частин дробу.
Правило Частки: Як Знайти Похідну Дробу
Нехай маємо дві диференційовні функції \( u(x) \) і \( v(x) \). Розглянемо функцію, яка є їхньою часткою:
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
Тут важливо пам’ятати одну умову: знаменник не може дорівнювати нулю. Тобто формула має зміст лише в тих точках, де
\[
v(x)\ne 0.
\]
Чому це важливо? Бо якщо знаменник дорівнює нулю, сама частка не визначена. А отже, говорити про похідну такого дробу в цій точці вже не можна.
Тоді похідна частки обчислюється за формулою
\[
y’=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Це і є основна формула правила частки. Її також часто записують через оператор диференціювання:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Зверніть увагу на порядок дій у чисельнику. Спочатку беремо похідну чисельника \( u'(x) \) і множимо її на знаменник \( v(x) \). Потім віднімаємо чисельник \( u(x) \), помножений на похідну знаменника \( v'(x) \). А в знаменнику отримуємо квадрат початкового знаменника.
Саме знак мінус у чисельнику часто викликає помилки. Тому формулу краще запам’ятовувати не механічно, а через її структуру: зміна чисельника враховується першим доданком, а зміна знаменника — другим доданком, який віднімається.
Виведення Формули: Пояснення Через Означення Похідної
Тепер детально розглянемо, звідки береться формула правила частки. Для цього скористаємося означенням похідної через границю. Нехай функція \( y \) задана як частка двох диференційовних функцій:
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
За означенням похідної маємо
\[
y’=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
\]
Оскільки \( y(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \), то значення цієї функції в точці \( x+h \) дорівнює
\[
y(x+h)=\frac{u(x+h)}{v(x+h)}.
\]
Підставимо ці вирази в означення похідної:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
\frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)}
}{h}.
\]
На цьому етапі ми отримали правильний вираз для похідної, але він ще не має вигляду формули правила частки. Що потрібно зробити далі? Треба перетворити різницю дробів у чисельнику. Для цього зведемо їх до спільного знаменника:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
\frac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}
{v(x+h)\cdot v(x)}
}{h}.
\]
Тепер поділ на \( h \) можна записати так, щоб \( h \) опинилося в знаменнику всього дробу:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)
}
{
v(x+h)\cdot v(x)\cdot h
}.
\]
На перший погляд цей вираз став складнішим. Але саме зараз ми можемо підготувати його до появи похідних \( u'(x) \) і \( v'(x) \). Для цього потрібно отримати різниці \( u(x+h)-u(x) \) та \( v(x+h)-v(x) \), бо саме такі різниці входять в означення похідної.
Щоб це зробити, додамо й віднімемо один і той самий вираз:
\[
u(x)\cdot v(x).
\]
Це не змінює значення чисельника, бо ми одночасно додаємо і віднімаємо однаковий доданок. Проте такий крок допомагає розділити зміну дробу на дві частини. В одній частині буде видно зміну функції \( u(x) \), а в іншій — зміну функції \( v(x) \).
Отже, запишемо:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)
}
{
v(x+h)\cdot v(x)\cdot h
}.
\]
Тепер згрупуємо доданки так, щоб у першій групі був спільний множник \( v(x) \), а в другій — спільний множник \( u(x) \):
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{
v(x)\cdot \bigl(u(x+h)-u(x)\bigr)
–
u(x)\cdot \bigl(v(x+h)-v(x)\bigr)
}
{
v(x+h)\cdot v(x)\cdot h
}.
\]
У цьому записі вже добре видно, навіщо ми додавали й віднімали проміжний вираз. Перша різниця \( u(x+h)-u(x) \) показує зміну функції \( u(x) \), а друга різниця \( v(x+h)-v(x) \) показує зміну функції \( v(x) \). Тобто ми спеціально перетворили чисельник так, щоб отримати дві різниці, які згодом дадуть дві похідні.
Далі потрібно акуратно розподілити множник \( h \). Він стоїть у спільному знаменнику, тому його можна перенести до кожної різниці окремо. Іншими словами, ми переписуємо вираз так, щоб утворилися два різницеві відношення: одне для функції \( u(x) \), а друге — для функції \( v(x) \).
Тому маємо:
\[
y’=\lim_{h\to 0}
\frac{1}{v(x+h)\cdot v(x)}\cdot
\left(
v(x)\cdot \frac{u(x+h)-u(x)}{h}
–
u(x)\cdot \frac{v(x+h)-v(x)}{h}
\right).
\]
Тепер розглянемо кожен елемент окремо. Дріб
\[
\frac{u(x+h)-u(x)}{h}
\]
є різницевим відношенням для функції \( u(x) \). Тому, коли \( h\to 0 \), цей дріб прямує до похідної \( u'(x) \):
\[
\lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=u'(x).
\]
Аналогічно дріб
\[
\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
\]
є різницевим відношенням для функції \( v(x) \). Тому при \( h\to 0 \) маємо
\[
\lim_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}=v'(x).
\]
Залишається звернути увагу на множник \( v(x+h) \) у знаменнику. Оскільки функція \( v(x) \) диференційовна, вона є неперервною в точці \( x \). Тому при \( h\to 0 \) значення \( v(x+h) \) прямує до \( v(x) \):
\[
v(x+h)\to v(x).
\]
Тепер можемо перейти до границі в усьому виразі:
\[
y’=
\frac{1}{v(x)\cdot v(x)}\cdot
\left(
v(x)\cdot u'(x)-u(x)\cdot v'(x)
\right).
\]
Оскільки \( v(x)\cdot v(x)=\bigl(v(x)\bigr)^2 \), запишемо результат коротше:
\[
y’=
\frac{
v(x)\cdot u'(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{
\bigl(v(x)\bigr)^2
}.
\]
Тепер використаємо звичайну властивість множення: \( v(x)\cdot u'(x)=u'(x)\cdot v(x) \). Тому цю саму формулу можна записати у стандартному вигляді:
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{
\bigl(v(x)\bigr)^2
}.
\]
Отже, остаточно маємо формулу правила частки:
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Таким чином, правило частки безпосередньо випливає з означення похідної через границю. Головний крок у виведенні полягає в тому, щоб правильно перетворити чисельник і отримати дві різниці: одну для функції \( u(x) \), а другу для функції \( v(x) \). Саме тому в остаточній формулі з’являються два доданки в чисельнику, між якими стоїть знак мінус: один враховує зміну чисельника, а другий — зміну знаменника.
Правило Частки: Практика Знаходження Похідних
Після формули та її доведення важливо побачити, як правило частки працює в реальних обчисленнях. Адже сама формула стає набагато зрозумілішою тоді, коли ми кілька разів застосовуємо її крок за кроком. Далі розглянемо типові приклади, у яких функція задана як частка двох інших функцій.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=\frac{x^2+1}{3\cdot x-5} \)
У цьому прикладі маємо частку двох функцій. У чисельнику стоїть вираз \( x^2+1 \), а в знаменнику — вираз \( 3\cdot x-5 \). Для зручності позначимо
\[
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=3\cdot x-5.
\]
Тоді функцію можна записати так:
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
За правилом частки маємо
\[
y’=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Спочатку знайдемо похідну чисельника:
\[
u'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Далі знайдемо похідну знаменника:
\[
v'(x)=(3\cdot x-5)’=3.
\]
Тепер підставимо знайдені похідні у формулу правила частки:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot (3\cdot x-5)-(x^2+1)\cdot 3
}
{(3\cdot x-5)^2}.
\]
Розкриємо дужки в чисельнику:
\[
y’=
\frac{
6\cdot x^2-10\cdot x-3\cdot x^2-3
}
{(3\cdot x-5)^2}.
\]
Зведемо подібні доданки й отримаємо остаточну відповідь:
\[
y’=
\frac{
3\cdot x^2-10\cdot x-3
}
{(3\cdot x-5)^2}.
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\frac{x^3-2\cdot x}{\sqrt{x}} \)
Тут функція задана як частка многочлена та кореневої функції. У чисельнику маємо вираз \( x^3-2\cdot x \), а в знаменнику — \( \sqrt{x} \). Позначимо
\[
u(x)=x^3-2\cdot x,\qquad v(x)=\sqrt{x}.
\]
Тоді
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
Знайдемо похідну чисельника:
\[
u'(x)=(x^3-2\cdot x)’=3\cdot x^2-2.
\]
Тепер знайдемо похідну знаменника. Оскільки \( v(x)=\sqrt{x} \), то
\[
v'(x)=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
За правилом частки маємо
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Підставимо знайдені вирази:
\[
y’=
\frac{
(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}
–
(x^3-2\cdot x)\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}
}
{(\sqrt{x})^2}.
\]
Оскільки \( (\sqrt{x})^2=x \), отримаємо
\[
y’=
\frac{
(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}
–
\frac{x^3-2\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Далі працюємо лише з алгебраїчним спрощенням отриманого виразу. Саме правило частки вже застосовано, а тепер потрібно акуратно привести дроби до зручного вигляду.
Перший доданок у чисельнику великого дробу зведемо до знаменника \( 2\cdot \sqrt{x} \):
\[
(3\cdot x^2-2)\cdot \sqrt{x}
=
\frac{2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Тоді маємо
\[
y’=
\frac{
\frac{2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)}{2\cdot \sqrt{x}}
–
\frac{x^3-2\cdot x}{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Об’єднаємо дроби в чисельнику:
\[
y’=
\frac{
\frac{
2\cdot x\cdot (3\cdot x^2-2)-(x^3-2\cdot x)
}
{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Розкриємо дужки:
\[
y’=
\frac{
\frac{
6\cdot x^3-4\cdot x-x^3+2\cdot x
}
{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Зведемо подібні доданки:
\[
y’=
\frac{
\frac{
5\cdot x^3-2\cdot x
}
{2\cdot \sqrt{x}}
}
{x}.
\]
Поділ на \( x \) дає
\[
y’=
\frac{5\cdot x^3-2\cdot x}{2\cdot x\cdot \sqrt{x}}.
\]
Тепер скоротимо чисельник і знаменник на \( x \):
\[
y’=
\frac{5\cdot x^2-2}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
Отже, остаточна відповідь має вигляд
\[
y’=
\frac{5\cdot x^2-2}{2\cdot \sqrt{x}}.
\]
У цьому прикладі важливо пам’ятати, що функція містить \( \sqrt{x} \). Тому, якщо ми працюємо з дійсними числами, коректно працювати з цією функцією лише при \( x>0 \).
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=\frac{x^2}{\sin(x)} \)
У цьому випадку чисельником є степенева функція \( x^2 \), а знаменником — тригонометрична функція \( \sin(x) \). Позначимо
\[
u(x)=x^2,\qquad v(x)=\sin(x).
\]
За правилом частки маємо
\[
y’=
\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Знайдемо похідну чисельника:
\[
u'(x)=(x^2)’=2\cdot x.
\]
Тепер знайдемо похідну знаменника:
\[
v'(x)=(\sin(x))’=\cos(x).
\]
Підставимо ці похідні у формулу:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \sin(x)-x^2\cdot \cos(x)
}
{(\sin(x))^2}.
\]
Отже, остаточно маємо
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \sin(x)-x^2\cdot \cos(x)
}
{\sin^2(x)}.
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=\frac{e^x}{\ln(x)} \)
Тут маємо частку показникової функції та натурального логарифма. У чисельнику стоїть \( e^x \), а в знаменнику — \( \ln(x) \). Позначимо
\[
u(x)=e^x,\qquad v(x)=\ln(x).
\]
Спочатку знайдемо похідну чисельника. Оскільки похідна \( e^x \) дорівнює самій функції, маємо
\[
u'(x)=(e^x)’=e^x.
\]
Тепер знайдемо похідну знаменника:
\[
v'(x)=(\ln(x))’=\frac{1}{x}.
\]
За правилом частки маємо
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Підставимо знайдені похідні:
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot \ln(x)-e^x\cdot \frac{1}{x}
}
{(\ln(x))^2}.
\]
У чисельнику можна винести спільний множник \( e^x \):
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot \left(\ln(x)-\frac{1}{x}\right)
}
{(\ln(x))^2}.
\]
Це вже правильна відповідь. Але іноді її зручно записати без дробу в дужках. Для цього зведемо вираз у дужках до спільного знаменника:
\[
\ln(x)-\frac{1}{x}
=
\frac{x\cdot \ln(x)-1}{x}.
\]
Тоді отримаємо
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot (x\cdot \ln(x)-1)
}
{
x\cdot (\ln(x))^2
}.
\]
Отже, остаточну відповідь можна записати так:
\[
y’=
\frac{
e^x\cdot (x\cdot \ln(x)-1)
}
{
x\cdot (\ln(x))^2
}.
\]
Тут варто пам’ятати, що натуральний логарифм \( \ln(x) \) визначений для додатних значень аргументу. Тому під час роботи з дійсними числами потрібно враховувати умову \( x>0 \).
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=\frac{x^2+1}{\cos(2\cdot x)} \)
У цьому прикладі функція також задана як частка двох функцій. Але знаменник є складеною функцією, тому під час знаходження його похідної потрібно бути особливо уважними. Позначимо
\[
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=\cos(2\cdot x).
\]
Тоді
\[
y=\frac{u(x)}{v(x)}.
\]
Знайдемо похідну чисельника:
\[
u'(x)=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Тепер знайдемо похідну знаменника:
\[
v'(x)=(\cos(2\cdot x))’.
\]
Тут потрібно використати правило диференціювання складеної функції. Зовнішньою функцією є косинус, а внутрішньою — вираз \( 2\cdot x \). Тому
\[
(\cos(2\cdot x))’=-\sin(2\cdot x)\cdot (2\cdot x)’.
\]
Оскільки \( (2\cdot x)’=2 \), то
\[
v'(x)=-2\cdot \sin(2\cdot x).
\]
Тепер застосуємо правило частки:
\[
y’=
\frac{
u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)
}
{\bigl(v(x)\bigr)^2}.
\]
Підставимо всі знайдені вирази:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)
–
(x^2+1)\cdot \bigl(-2\cdot \sin(2\cdot x)\bigr)
}
{(\cos(2\cdot x))^2}.
\]
Тепер врахуємо, що перед другим добутком стоїть мінус, а сама похідна знаменника також має мінус. Тому в результаті отримаємо плюс:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)
+
2\cdot (x^2+1)\cdot \sin(2\cdot x)
}
{(\cos(2\cdot x))^2}.
\]
Остаточно можна записати:
\[
y’=
\frac{
2\cdot x\cdot \cos(2\cdot x)
+
2\cdot (x^2+1)\cdot \sin(2\cdot x)
}
{\cos^2(2\cdot x)}.
\]
Цей приклад показує важливий момент: правило частки допомагає знайти похідну всього дробу, але для похідної чисельника або знаменника іноді потрібно додатково використати інші правила диференціювання. Тут таким правилом є правило для складеної функції.
Що Читати Далі: Корисні Теми для Продовження
Після правила частки варто перейти до інших правил диференціювання. Вони часто поєднуються в одній задачі, тому поступове вивчення цих тем допоможе краще розуміти весь процес диференціювання.
- Степеневе правило: Формула, доведення, приклади — У статті буде пояснено, як знаходити похідні степеневих функцій і застосовувати це правило в типових задачах.
- Ланцюгове правило: Формула, доведення, приклади — Матеріал допоможе розібратися, як знаходити похідні складених функцій крок за кроком.
- Правило добутку: Формула, доведення, приклади — У статті йтиметься про похідну добутку двох функцій і правильний порядок застосування формули.
Правило Частки: Перевірка Формули Через Програмування
Якщо вам подобається програмування, спробуйте перетворити вивчене правило частки на невеликий обчислювальний експеримент. Блок-схема нижче показує алгоритм, який обчислює похідну заданої функції у вибраній точці двома способами: аналітично за готовою формулою та чисельно за методом центральної різниці. А далі все залежить від вас: можна реалізувати цей алгоритм на Pascal, Python, C++, JavaScript або будь-якій іншій мові, яка вам подобається. Хіба не цікаво побачити, як формула з математичного аналізу перетворюється на робочу програму й дає результат, який можна перевірити обчисленням?
