Інтегрування частинами — це один із основних методів обчислення невизначених інтегралів. Його застосовують, коли підінтегральний вираз містить добуток функцій або його зручно подати у вигляді такого добутку. Мета методу проста: замінити початковий інтеграл іншим, який легше обчислити.
Основна формула безпосередньо випливає з правила диференціювання добутку. Тому спочатку з’ясуємо, як вона утворюється. Потім розглянемо, як правильно вибирати її складові.
Формула Методу: Як Виводять Інтегрування Частинами
Розглянемо інтеграл
\[
\int u(x)\cdot v'(x)\,dx.
\]
Щоб його перетворити, скористаємося правилом диференціювання добутку функцій:
\[
\left(u(x)\cdot v(x)\right)’
=
u'(x)\cdot v(x)
+
u(x)\cdot v'(x).
\]
У правій частині цієї рівності міститься вираз \( u(x)\cdot v'(x) \), який входить до початкового інтеграла. Виразимо його через інші складові:
\[
u(x)\cdot v'(x)
=
\left(u(x)\cdot v(x)\right)’
–
v(x)\cdot u'(x).
\]
Тепер проінтегруємо обидві частини рівності:
\[
\int u(x)\cdot v'(x)\,dx
=
\int
\left(u(x)\cdot v(x)\right)’
\,dx
–
\int v(x)\cdot u'(x)\,dx.
\]
Інтегрування відновлює функцію за її похідною з точністю до довільної сталої. Сталі інтегрування, які виникають під час перетворень, об’єднують в одну загальну сталу \( C \). Отже,
\[
\int u(x)\cdot v'(x)\,dx
=
u(x)\cdot v(x)
–
\int v(x)\cdot u'(x)\,dx.
\]
Це основна формула інтегрування частинами. Зазвичай її записують у коротшому диференціальному вигляді:
\[
\int u\,dv
=
u\cdot v
–
\int v\,du.
\]
Тут
\[
du=u'(x)\,dx,
\qquad
dv=v'(x)\,dx.
\]
Після завершення обчислення невизначеного інтеграла до результату додають довільну сталу \( C \).
Вибір Складових: Як Підготувати Підінтегральний Вираз
Щоб скористатися отриманою формулою, потрібно визначити \( u \) та \( dv \). Функцію \( u \) диференціюють:
\[
du=u'(x)\,dx.
\]
Вираз \( dv \), навпаки, інтегрують:
\[
v=\int dv.
\]
Під час знаходження \( v \) сталу інтегрування не записують.
Зазвичай за \( u \) обирають функцію, похідна якої має простіший вигляд. За \( dv \) беруть іншу частину підінтегрального виразу разом із \( dx \), якщо її легко проінтегрувати. Вдалим є такий вибір, за якого інтеграл
\[
\int v\,du
\]
стає простішим за початковий.
Розглянемо інтеграл
\[
\int x^2\cdot\ln(x)\,dx.
\]
За \( u \) доцільно взяти логарифмічну функцію, оскільки її похідна має простіший вигляд:
\[
u=\ln(x),
\qquad
du=\frac{1}{x}\,dx.
\]
За \( dv \) візьмемо степеневу функцію разом із диференціалом \( dx \):
\[
dv=x^2\,dx.
\]
Тоді
\[
v
=
\int x^2\,dx
=
\frac{x^3}{3}.
\]
А чи був би зручним протилежний вибір? Припустімо, що
\[
u=x^2,
\qquad
dv=\ln(x)\,dx.
\]
У такому разі для знаходження \( v \) довелося б обчислювати інтеграл
\[
v=\int\ln(x)\,dx.
\]
Однак цей інтеграл сам потребує застосування інтегрування частинами. Отже, протилежний вибір не спрощує початкове завдання.
Практична Частина: Інтегрування Частинами у Прикладах
Правильний вибір складових найкраще засвоюється під час обчислення конкретних інтегралів. Розглянемо задачі різної складності та простежимо, як початковий інтеграл поступово перетворюється на простіший. У деяких випадках метод достатньо застосувати один раз, а в інших — застосувати повторно.
Приклад 1. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int x\cdot e^x\,dx.
\]
За \( u \) доцільно взяти функцію \( x \), оскільки після диференціювання вона перетворюється на одиницю:
\[
u=x,
\qquad
du=dx.
\]
За \( dv \) візьмемо показникову функцію разом із \( dx \):
\[
dv=e^x\,dx.
\]
Знайдемо \( v \):
\[
v
=
\int e^x\,dx
=
e^x.
\]
Підставимо знайдені складові у формулу інтегрування частинами:
\[
\int x\cdot e^x\,dx
=
x\cdot e^x
–
\int e^x\,dx.
\]
Інтеграл у правій частині є табличним:
\[
\int e^x\,dx
=
e^x.
\]
Тому
\[
\int x\cdot e^x\,dx
=
x\cdot e^x-e^x+C.
\]
Винесемо \( e^x \) за дужки:
\[
\int x\cdot e^x\,dx
=
e^x\cdot(x-1)+C.
\]
Приклад 2. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx.
\]
За \( u \) візьмемо функцію \( x \):
\[
u=x,
\qquad
du=dx.
\]
За \( dv \) візьмемо тригонометричну функцію разом із \( dx \):
\[
dv=\cos(3\cdot x)\,dx.
\]
Під час знаходження \( v \) потрібно врахувати коефіцієнт \( 3 \) в аргументі косинуса:
\[
v
=
\int\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{3}\cdot\sin(3\cdot x).
\]
Підставимо знайдені складові у формулу:
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x)
–
\frac{1}{3}\int\sin(3\cdot x)\,dx.
\]
Оскільки
\[
\int\sin(3\cdot x)\,dx
=
-\frac{1}{3}\cdot\cos(3\cdot x),
\]
отримуємо
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x)
–
\frac{1}{3}\cdot
\left(
-\frac{1}{3}\cdot\cos(3\cdot x)
\right)
+
C.
\]
Після спрощення маємо
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x)
+
\frac{1}{9}\cdot\cos(3\cdot x)
+
C.
\]
Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int\ln(x)\,dx.
\]
Добуток двох функцій у цьому інтегралі явно не записаний. Проте логарифмічну функцію можна розглядати як добуток
\[
\ln(x)\cdot 1.
\]
За \( u \) візьмемо логарифмічну функцію:
\[
u=\ln(x),
\qquad
du=\frac{1}{x}\,dx.
\]
Другим множником є \( 1 \), тому разом із диференціалом він утворює
\[
dv=dx.
\]
Знайдемо \( v \):
\[
v
=
\int dx
=
x.
\]
Підставимо знайдені складові у формулу:
\[
\int\ln(x)\,dx
=
x\cdot\ln(x)
–
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
\]
Оскільки
\[
x\cdot\frac{1}{x}=1,
\]
отримуємо
\[
\int\ln(x)\,dx
=
x\cdot\ln(x)
–
\int dx.
\]
Отже,
\[
\int\ln(x)\,dx
=
x\cdot\ln(x)-x+C.
\]
Ця формула справедлива для \( x>0 \), оскільки саме за цієї умови визначена функція \( \ln(x) \).
Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx.
\]
За \( u \) доцільно взяти функцію \( \arctan(x) \), оскільки її похідна має раціональний вигляд:
\[
u=\arctan(x),
\qquad
du=\frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
За \( dv \) візьмемо степеневу функцію разом із \( dx \):
\[
dv=x\,dx.
\]
Тоді
\[
v
=
\int x\,dx
=
\frac{x^2}{2}.
\]
Підставимо знайдені складові у формулу:
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
–
\frac{1}{2}
\int
\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.
\]
Новий інтеграл можна спростити. Подамо чисельник у вигляді
\[
x^2
=
1+x^2-1.
\]
Тоді
\[
\frac{x^2}{1+x^2}
=
\frac{1+x^2-1}{1+x^2}
=
1-\frac{1}{1+x^2}.
\]
Такий розклад перетворює новий інтеграл на суму табличних інтегралів. Отже,
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
–
\frac{1}{2}
\int
\left(
1-\frac{1}{1+x^2}
\right)
dx.
\]
Розділимо інтеграл:
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
–
\frac{1}{2}\int dx
+
\frac{1}{2}
\int
\frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
Обчислимо табличні інтеграли:
\[
\int dx=x,
\qquad
\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x).
\]
Тому
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
–
\frac{x}{2}
+
\frac{1}{2}\cdot\arctan(x)
+
C.
\]
Об’єднаємо доданки, які містять \( \arctan(x) \):
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2+1}{2}\cdot\arctan(x)
–
\frac{x}{2}
+
C.
\]
Приклад 5. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx.
\]
У цьому випадку інтегрування частинами потрібно застосувати двічі. Позначимо початковий інтеграл через \( I \):
\[
I
=
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx.
\]
Під час проміжних перетворень довільну сталу не записуватимемо. Її додамо до кінцевого результату.
За \( u \) візьмемо тригонометричну функцію:
\[
u=\sin(x),
\qquad
du=\cos(x)\,dx.
\]
За \( dv \) візьмемо показникову функцію разом із \( dx \):
\[
dv=e^x\,dx,
\qquad
v=e^x.
\]
Після першого застосування методу отримуємо
\[
I
=
e^x\cdot\sin(x)
–
\int e^x\cdot\cos(x)\,dx.
\]
Новий інтеграл також обчислимо частинами. Позначимо його через \( J \):
\[
J
=
\int e^x\cdot\cos(x)\,dx.
\]
Для інтеграла \( J \) виберемо
\[
\begin{gathered}
u=\cos(x),
\qquad
du=-\sin(x)\,dx,\\[4pt]
dv=e^x\,dx,
\qquad
v=e^x.
\end{gathered}
\]
Тоді
\[
J
=
e^x\cdot\cos(x)
–
\int e^x\cdot\left(-\sin(x)\right)\,dx.
\]
Мінус перед інтегралом і знак мінус у виразі для \( du \) дають знак плюс:
\[
J
=
e^x\cdot\cos(x)
+
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx.
\]
Останній інтеграл збігається з початковим інтегралом \( I \). Тому його не потрібно обчислювати окремо:
\[
J
=
e^x\cdot\cos(x)+I.
\]
Підставимо цей вираз у початкову рівність:
\[
I
=
e^x\cdot\sin(x)
–
\left(
e^x\cdot\cos(x)+I
\right).
\]
Розкриємо дужки:
\[
I
=
e^x\cdot\sin(x)
–
e^x\cdot\cos(x)
–
I.
\]
Тепер інтеграл \( I \) можна розглядати як невідому величину. Перенесемо \( -I \) у ліву частину:
\[
2\cdot I
=
e^x\cdot\sin(x)
–
e^x\cdot\cos(x).
\]
Винесемо \( e^x \) за дужки:
\[
2\cdot I
=
e^x\cdot
\left(
\sin(x)-\cos(x)
\right).
\]
Поділимо обидві частини рівності на \( 2 \):
\[
I
=
\frac{e^x}{2}\cdot
\left(
\sin(x)-\cos(x)
\right).
\]
Отже,
\[
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx
=
\frac{e^x}{2}\cdot
\left(
\sin(x)-\cos(x)
\right)
+
C.
\]
Наступний Крок: Теми для Подальшого Вивчення
Інтегрування частинами — лише один із методів обчислення інтегралів. Що варто вивчати далі? Наступні теми допоможуть розібратися з іншими поширеними типами підінтегральних виразів.
- Інтегрування раціональних дробів: Розклад на прості дроби — У статті буде пояснено, як розкладати раціональні дроби на простіші складові та послідовно обчислювати отримані інтеграли.
- Інтеграли від тригонометричних функцій: Основні методи — Матеріал розгляне способи інтегрування добутків і степенів тригонометричних функцій за допомогою тотожностей та перетворень.
- Інтеграли від ірраціональних функцій: Типові заміни — Стаття покаже, як за допомогою відповідних підстановок спрощувати вирази з коренями та зводити їх до відомих інтегралів.
Інтегрування Частинами: Від Блок-Схеми до Програмного Коду
Захоплюєтеся програмуванням? Тоді спробуйте реалізувати зображений на блок-схемі алгоритм своєю улюбленою мовою. Програма має обчислити значення знайденої первісної, наближено визначити її похідну та порівняти результат із підінтегральною функцією. Pascal, Python, JavaScript чи C++ — вибір за вами. Так ви перевірите отриманий результат і побачите, як математичний спосіб перевірки первісної можна реалізувати у програмному коді.
