Інтегрування раціональних дробів може здаватися складним через громіздкі чисельники та знаменники. Проте основна ідея методу доволі проста: початковий дріб подають як суму простіших дробів, інтеграли яких уже відомі. Для цього потрібно послідовно порівняти степені многочленів, розкласти знаменник на множники, записати відповідні прості дроби та визначити їхні коефіцієнти.
Початковий Етап: Інтегрування Раціональних Дробів і Перевірка Степенів
Раціональним дробом називають відношення двох многочленів:
\[
\frac{P(x)}{Q(x)},
\]
де \( P(x) \) — многочлен у чисельнику, а \( Q(x) \) — многочлен у знаменнику. При цьому знаменник не повинен дорівнювати нулю.
Отже, первісну раціональної функції розглядають окремо на кожному проміжку, на якому знаменник не дорівнює нулю:
\[
Q(x)\ne 0.
\]
З чого починається інтегрування? Насамперед потрібно порівняти степені чисельника та знаменника.
Якщо степінь чисельника менший за степінь знаменника, раціональний дріб називають правильним:
\[
\deg P(x)<\deg Q(x).
\]
Саме правильний раціональний дріб можна безпосередньо розкладати на прості дроби.
Якщо степінь чисельника більший або дорівнює степеню знаменника, дріб є неправильним. Тоді спочатку ділять многочлен \( P(x) \) на многочлен \( Q(x) \):
\[
P(x)=Q(x)\cdot S(x)+R(x),
\]
де \( S(x) \) — частка, а \( R(x) \) — остача. При цьому степінь остачі має бути меншим за степінь знаменника:
\[
\deg R(x)<\deg Q(x).
\]
Після ділення початковий дріб набуває вигляду
\[
\frac{P(x)}{Q(x)}
=
S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}.
\]
Відповідно, початковий інтеграл подають як суму двох інтегралів:
\[
\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx
=
\int S(x)\,dx
+
\int \frac{R(x)}{Q(x)}\,dx.
\]
Перший доданок є інтегралом многочлена. Другий містить правильний раціональний дріб, до якого вже можна застосовувати метод простих дробів.
Наприклад, неправильний дріб можна перетворити так:
\[
\frac{x^2+2\cdot x+3}{x+1}
=
x+1+\frac{2}{x+1}.
\]
Отже, перевірка степенів допомагає одразу визначити, чи потрібно виконувати ділення многочленів перед подальшими перетвореннями.
Розклад Знаменника: Визначення Форми Простих Дробів
Після отримання правильного раціонального дробу потрібно розкласти його знаменник на множники. Саме цей розклад визначає форму майбутньої суми простих дробів.
Під час роботи з дійсними числами многочлен \( Q(x) \) можна подати через лінійні множники та квадратні множники, які не мають дійсних коренів:
\[
Q(x)
=
a\cdot
\prod_{i=1}^{r}(x-\alpha_i)^{m_i}
\cdot
\prod_{j=1}^{s}(x^2+p_j\cdot x+q_j)^{n_j}.
\]
Тут \( (x-\alpha_i) \) — лінійні множники, а число \( m_i \) показує їхню кратність. Вирази
\[
x^2+p_j\cdot x+q_j
\]
є квадратними множниками, які не розкладаються на лінійні множники над множиною дійсних чисел.
Для кожного такого квадратного тричлена дискримінант від’ємний:
\[
p_j^2-4\cdot q_j<0.
\]
Чому розклад знаменника настільки важливий? Кожному його множнику відповідає певний простий дріб. Якщо множник повторюється, у розкладі потрібно врахувати кожен його степінь.
Після повного розкладу знаменника правильний раціональний дріб можна подати як суму простих дробів, що відповідають усім лінійним і нерозкладним квадратним множникам. За заданого розкладу знаменника таке подання є однозначним.
Отже, наступним кроком потрібно визначити форму доданків для кожного виду множника.
Лінійні Множники: Побудова Простих Дробів зі Сталими Чисельниками
Нехай знаменник містить лінійний множник першого степеня:
\[
x-\alpha.
\]
Йому відповідає простий дріб зі сталим чисельником:
\[
\frac{A}{x-\alpha}.
\]
Чому чисельником є саме стала? Степінь чисельника простого дробу має бути меншим за степінь відповідного множника знаменника. Оскільки лінійний множник має перший степінь, чисельник повинен мати нульовий степінь, тобто бути числом.
Якщо знаменник містить кілька різних лінійних множників, кожному з них відповідає окремий простий дріб. Наприклад:
\[
\frac{2\cdot x+1}{(x-1)\cdot(x+2)}
=
\frac{A}{x-1}
+
\frac{B}{x+2}.
\]
На цьому етапі коефіцієнти \( A \) і \( B \) ще не визначають. Спочатку потрібно правильно записати форму розкладу.
Якщо лінійний множник повторюється, ситуація дещо змінюється. Нехай знаменник містить
\[
(x-\alpha)^m.
\]
Тоді записують прості дроби для всіх степенів цього множника:
\[
\frac{A_1}{x-\alpha}
+
\frac{A_2}{(x-\alpha)^2}
+
\ldots
+
\frac{A_m}{(x-\alpha)^m}.
\]
Проміжні степені пропускати не можна. Наприклад, для правильного дробу зі знаменником \( (x-1)^3 \) форма розкладу буде такою:
\[
\frac{P(x)}{(x-1)^3}
=
\frac{A_1}{x-1}
+
\frac{A_2}{(x-1)^2}
+
\frac{A_3}{(x-1)^3},
\]
де
\[
\deg P(x)<3.
\]
Якщо знаменник містить два повторювані лінійні множники, для кожного з них утворюють окрему групу доданків:
\[
\sum_{k=1}^{m}\frac{A_k}{(x-\alpha)^k}
+
\sum_{k=1}^{n}\frac{B_k}{(x-\beta)^k}.
\]
Таким чином, кожному лінійному множнику відповідають прості дроби зі сталими чисельниками. Їхня кількість залежить від кратності цього множника.
Квадратні Множники: Побудова Простих Дробів із Лінійними Чисельниками
Тепер розглянемо нерозкладний над дійсними числами квадратний множник:
\[
x^2+p\cdot x+q,
\]
для якого
\[
p^2-4\cdot q<0.
\]
Йому відповідає простий дріб із лінійним чисельником:
\[
\frac{B\cdot x+C}{x^2+p\cdot x+q}.
\]
Чому в чисельнику з’являється змінна \( x \)? Квадратний множник має другий степінь, тому чисельник може бути многочленом не вище першого степеня.
Якщо знаменник одночасно містить квадратний і лінійний множники, форма розкладу може бути такою:
\[
\frac{P(x)}{(x^2+1)\cdot(x-2)}
=
\frac{A\cdot x+B}{x^2+1}
+
\frac{C}{x-2},
\]
де
\[
\deg P(x)<3.
\]
Отже, над квадратним множником записують лінійний чисельник, а над лінійним — сталий.
Якщо квадратний множник повторюється \( n \) разів, потрібно врахувати всі його степені:
\[
\frac{B_1\cdot x+C_1}{x^2+p\cdot x+q}
+
\frac{B_2\cdot x+C_2}{(x^2+p\cdot x+q)^2}
+
\ldots
+
\frac{B_n\cdot x+C_n}{(x^2+p\cdot x+q)^n}.
\]
Для кожного степеня квадратного множника записують окремий лінійний чисельник. Відповідно, коефіцієнти \( B_k \) і \( C_k \) також визначають окремо.
Після врахування всіх множників знаменника форма розкладу повністю відома. Тепер потрібно знайти числові значення введених коефіцієнтів.
Визначення Коефіцієнтів: Побудова Тотожності Многочленів
Щоб визначити невідомі коефіцієнти, записані прості дроби зводять до спільного знаменника. Оскільки знаменники лівої та правої частин однакові, їхні чисельники повинні бути тотожно рівними:
\[
P(x)=\widetilde{P}(x).
\]
Ця рівність має виконуватися не для одного окремого значення (x), а для всіх допустимих значень змінної. Саме тому отриманий запис називають тотожністю многочленів.
Невідомі коефіцієнти можна знайти двома основними способами: порівнянням коефіцієнтів при однакових степенях \( x \) або підстановкою спеціально вибраних значень змінної.
Перший спосіб полягає в тому, що праву частину тотожності розкривають, зводять подібні доданки та групують їх за степенями \( x \). Потім прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях змінної. У результаті отримують систему лінійних рівнянь для невідомих сталих.
Другий спосіб передбачає підстановку зручних значень \( x \). Насамперед для цього використовують корені лінійних множників знаменника. Після такої підстановки частина доданків дорівнює нулю, тому деякі коефіцієнти можна знайти без розв’язування всієї системи.
Проте одних підстановок не завжди достатньо. Це трапляється, коли знаменник містить повторювані множники або нерозкладні квадратні тричлени. У такому разі обидва способи поєднують: частину коефіцієнтів знаходять підстановкою, а решту — порівнянням коефіцієнтів.
Після визначення всіх невідомих розклад потрібно перевірити. Для цього отримані прості дроби знову зводять до спільного знаменника. Якщо чисельник збігається з початковим многочленом \( P(x) \), розклад виконано правильно.
Отже, на цьому етапі початковий раціональний дріб уже подано як суму простих дробів із відомими коефіцієнтами. Залишається проінтегрувати кожен отриманий доданок.
Завершальний Етап: Інтегрування Раціональних Дробів за Стандартними Формулами
Після визначення коефіцієнтів інтеграл від раціонального дробу перетворюється на суму стандартних інтегралів. Кожен доданок обчислюють окремо.
Для лінійного множника першого степеня застосовують формулу
\[
\int \frac{A}{x-\alpha}\,dx
=
A\cdot\ln|x-\alpha|+C.
\]
Модуль у логарифмі потрібний тому, що вираз \( x-\alpha \) може бути додатним або від’ємним на різних проміжках області визначення.
Якщо лінійний множник має степінь \( k>1 \), отримуємо
\[
\int \frac{A}{(x-\alpha)^k}\,dx
=
-\frac{A}{(k-1)\cdot(x-\alpha)^{k-1}}+C.
\]
Отже, інтегрування простих дробів із лінійними знаменниками дає логарифмічні або степеневі вирази.
Для дробу з нерозкладним квадратним знаменником розглядають інтеграл
\[
\int \frac{B\cdot x+C}{x^2+p\cdot x+q}\,dx.
\]
Спочатку чисельник пов’язують із похідною знаменника. Похідна квадратного тричлена дорівнює
\[
2\cdot x+p.
\]
Тому чисельник подають у вигляді
\[
B\cdot x+C
=
\frac{B}{2}\cdot(2\cdot x+p)
+
\left(C-\frac{B\cdot p}{2}\right).
\]
Після цього початковий інтеграл подають як суму двох інтегралів. Частина, чисельник якої містить похідну знаменника, дає логарифмічний вираз.
Для іншої частини квадратний тричлен доповнюють до повного квадрата:
\[
x^2+p\cdot x+q
=
\left(x+\frac{p}{2}\right)^2
+
q-\frac{p^2}{4}.
\]
Оскільки дискримінант від’ємний, виконується нерівність
\[
q-\frac{p^2}{4}>0.
\]
Тому інтеграл зі сталим чисельником і таким знаменником виражається через функцію \( \arctan \).
Інтегрування дробів із повторюваними квадратними множниками потребує додаткових перетворень і застосування формул зведення.
Таким чином, інтегрування раціонального дробу складається з послідовних перетворень. Спочатку неправильний дріб подають як суму многочлена і правильного дробу. Потім знаменник розкладають на множники, записують відповідні прості дроби та визначають невідомі коефіцієнти. Після цього кожен отриманий доданок інтегрують за стандартними формулами.
Практична Частина: Інтегрування Раціональних Дробів у Прикладах
Теоретична схема стає зрозумілішою, коли її послідовно застосовують до конкретних задач. У кожному прикладі спочатку визначимо тип раціонального дробу, потім виконаємо потрібний розклад і знайдемо невідомі коефіцієнти. Усі перетворення виконуватимемо на проміжках, на яких знаменник початкового дробу не дорівнює нулю.
Приклад 1. Обчислити інтеграл
\[
\int \frac{x^2+3\cdot x+5}{x+1}\,dx.
\]
Степінь чисельника дорівнює двом, а степінь знаменника — одному. Отже, перед нами неправильний раціональний дріб. Тому спочатку потрібно поділити многочлен у чисельнику на многочлен у знаменнику.
Подамо чисельник у вигляді
\[
x^2+3\cdot x+5
=
(x+1)\cdot(x+2)+3.
\]
Звідси отримуємо
\[
\frac{x^2+3\cdot x+5}{x+1}
=
x+2+\frac{3}{x+1}.
\]
Початковий інтеграл подаємо як суму простіших інтегралів:
\[
\int \frac{x^2+3\cdot x+5}{x+1}\,dx
=
\int
\left(
x+2+\frac{3}{x+1}
\right)
\,dx.
\]
Тепер кожен доданок можна проінтегрувати окремо:
\[
\begin{gathered}
\int x\,dx
=
\frac{x^2}{2},\\[4pt]
\int 2\,dx
=
2\cdot x,\\[4pt]
\int \frac{3}{x+1}\,dx
=
3\cdot\ln|x+1|.
\end{gathered}
\]
Отже,
\[
\int \frac{x^2+3\cdot x+5}{x+1}\,dx
=
\frac{x^2}{2}
+
2\cdot x
+
3\cdot\ln|x+1|
+
C.
\]
У цьому випадку головним кроком було перетворення неправильного дробу на суму многочлена і правильного дробу.
Приклад 2. Обчислити інтеграл
\[
\int
\frac{5\cdot x+1}
{(x-1)\cdot(x+2)}
\,dx.
\]
Степінь чисельника менший за степінь знаменника, тому дріб є правильним. Знаменник уже розкладений на два різні лінійні множники. Отже, початковий дріб потрібно подати у вигляді
\[
\frac{5\cdot x+1}
{(x-1)\cdot(x+2)}
=
\frac{A}{x-1}
+
\frac{B}{x+2}.
\]
Зведемо праву частину до спільного знаменника:
\[
\frac{A}{x-1}
+
\frac{B}{x+2}
=
\frac{
A\cdot(x+2)+B\cdot(x-1)
}
{(x-1)\cdot(x+2)}.
\]
Тому чисельники повинні бути тотожно рівними:
\[
5\cdot x+1
=
A\cdot(x+2)+B\cdot(x-1).
\]
Щоб швидко знайти коефіцієнт \( A \), підставимо \( x=1 \):
\[
\begin{gathered}
5\cdot1+1
=
A\cdot(1+2),\\[4pt]
6=3\cdot A,\\[4pt]
A=2.
\end{gathered}
\]
Тепер підставимо \( x=-2 \). Доданок із коефіцієнтом \( A \) дорівнюватиме нулю:
\[
\begin{gathered}
5\cdot(-2)+1
=
B\cdot(-2-1),\\[4pt]
-9=-3\cdot B,\\[4pt]
B=3.
\end{gathered}
\]
Отже, розклад має вигляд
\[
\frac{5\cdot x+1}
{(x-1)\cdot(x+2)}
=
\frac{2}{x-1}
+
\frac{3}{x+2}.
\]
Повертаємося до інтеграла:
\[
\int
\frac{5\cdot x+1}
{(x-1)\cdot(x+2)}
\,dx
=
\int
\left(
\frac{2}{x-1}
+
\frac{3}{x+2}
\right)
\,dx.
\]
Інтегруємо кожен простий дріб:
\[
\begin{gathered}
\int \frac{2}{x-1}\,dx
=
2\cdot\ln|x-1|,\\[4pt]
\int \frac{3}{x+2}\,dx
=
3\cdot\ln|x+2|.
\end{gathered}
\]
Таким чином,
\[
\int
\frac{5\cdot x+1}
{(x-1)\cdot(x+2)}
\,dx
=
2\cdot\ln|x-1|
+
3\cdot\ln|x+2|
+
C.
\]
Різним лінійним множникам знаменника відповідають окремі прості дроби зі сталими чисельниками.
Приклад 3. Обчислити інтеграл
\[
\int
\frac{4\cdot x}
{(x-1)^2\cdot(x+1)}
\,dx.
\]
Дріб є правильним. У знаменнику міститься повторюваний лінійний множник \( (x-1)^2 \) і ще один лінійний множник \( x+1 \).
Для повторюваного множника потрібно врахувати обидва його степені. Тому записуємо
\[
\frac{4\cdot x}
{(x-1)^2\cdot(x+1)}
=
\frac{A}{x-1}
+
\frac{B}{(x-1)^2}
+
\frac{C}{x+1}.
\]
Помножимо обидві частини рівності на спільний знаменник:
\[
4\cdot x
=
A\cdot(x-1)\cdot(x+1)
+
B\cdot(x+1)
+
C\cdot(x-1)^2.
\]
Спочатку підставимо \( x=1 \). Доданки з коефіцієнтами \( A \) і \( C \) дорівнюватимуть нулю:
\[
\begin{gathered}
4\cdot1
=
B\cdot(1+1),\\[4pt]
4=2\cdot B,\\[4pt]
B=2.
\end{gathered}
\]
Далі підставимо \( x=-1 \):
\[
\begin{gathered}
4\cdot(-1)
=
C\cdot(-1-1)^2,\\[4pt]
-4=4\cdot C,\\[4pt]
C=-1.
\end{gathered}
\]
Оскільки коефіцієнти \( B \) і \( C \) уже відомі, для знаходження \( A \) можна підставити будь-яке зручне значення змінної. Виберемо \( x=0 \), оскільки це спростить обчислення:
\[
0
=
A\cdot(-1)\cdot1
+
2\cdot1
–
1\cdot(-1)^2.
\]
Після спрощення отримуємо
\[
\begin{gathered}
0=-A+2-1,\\[4pt]
A=1.
\end{gathered}
\]
Отже,
\[
\frac{4\cdot x}
{(x-1)^2\cdot(x+1)}
=
\frac{1}{x-1}
+
\frac{2}{(x-1)^2}
–
\frac{1}{x+1}.
\]
Тепер інтегруємо отриману суму:
\[
\int
\frac{4\cdot x}
{(x-1)^2\cdot(x+1)}
\,dx
=
\int
\left(
\frac{1}{x-1}
+
\frac{2}{(x-1)^2}
–
\frac{1}{x+1}
\right)
\,dx.
\]
Інтеграли від першого й третього доданків дають логарифми:
\[
\begin{gathered}
\int \frac{1}{x-1}\,dx
=
\ln|x-1|,\\[4pt]
\int \frac{1}{x+1}\,dx
=
\ln|x+1|.
\end{gathered}
\]
Для другого доданка використаємо степеневу формулу:
\[
\int \frac{2}{(x-1)^2}\,dx
=
2\cdot
\int (x-1)^{-2}\,dx
=
-\frac{2}{x-1}.
\]
Отже,
\[
\int
\frac{4\cdot x}
{(x-1)^2\cdot(x+1)}
\,dx
=
\ln|x-1|
–
\frac{2}{x-1}
–
\ln|x+1|
+
C.
\]
Повторюваному множнику відповідають два різні доданки: один зі знаменником \( x-1 \), а інший — зі знаменником \( (x-1)^2 \).
Приклад 4. Обчислити інтеграл
\[
\int
\frac{3\cdot x+4}
{x^2+2\cdot x+5}
\,dx.
\]
Знаменник є квадратним тричленом. Перевіримо, чи можна розкласти його на лінійні множники над множиною дійсних чисел:
\[
D
=
2^2-4\cdot1\cdot5
=
4-20
=
-16.
\]
Дискримінант від’ємний, тому знаменник не має дійсних коренів. У цьому випадку потрібно пов’язати чисельник із похідною знаменника.
Похідна знаменника дорівнює
\[
(x^2+2\cdot x+5)’
=
2\cdot x+2.
\]
Подамо чисельник у вигляді
\[
3\cdot x+4
=
\frac{3}{2}\cdot(2\cdot x+2)+1.
\]
Тоді початковий інтеграл набуває вигляду
\[
\int
\frac{3\cdot x+4}
{x^2+2\cdot x+5}
\,dx
=
\frac{3}{2}\cdot
\int
\frac{2\cdot x+2}
{x^2+2\cdot x+5}
\,dx
+
\int
\frac{1}
{x^2+2\cdot x+5}
\,dx.
\]
Перший інтеграл одразу дає логарифм:
\[
\frac{3}{2}\cdot
\int
\frac{2\cdot x+2}
{x^2+2\cdot x+5}
\,dx
=
\frac{3}{2}\cdot
\ln(x^2+2\cdot x+5).
\]
Для обчислення другого інтеграла доповнимо квадратний тричлен до повного квадрата:
\[
x^2+2\cdot x+5
=
(x+1)^2+4.
\]
Тому
\[
\int
\frac{1}
{x^2+2\cdot x+5}
\,dx
=
\int
\frac{1}
{(x+1)^2+2^2}
\,dx.
\]
Застосуємо формулу для арктангенса:
\[
\int
\frac{1}
{(x+1)^2+2^2}
\,dx
=
\frac{1}{2}\cdot
\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right).
\]
Отже,
\[
\int
\frac{3\cdot x+4}
{x^2+2\cdot x+5}
\,dx
=
\frac{3}{2}\cdot
\ln(x^2+2\cdot x+5)
+
\frac{1}{2}\cdot
\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)
+
C.
\]
Модуль у логарифмі тут не потрібний, оскільки
\[
x^2+2\cdot x+5
=
(x+1)^2+4>0
\]
для всіх дійсних значень \( x \).
Інтегрування дробу з нерозкладним квадратним знаменником дає логарифм та арктангенс, якщо чисельник поділити на частину, пов’язану з похідною знаменника, і сталу частину.
Приклад 5. Обчислити інтеграл
\[
\int
\frac{3\cdot x^2+x-2}
{(x-1)\cdot(x^2+1)}
\,dx.
\]
У знаменнику міститься лінійний множник \( x-1 \) і нерозкладний квадратний множник \( x^2+1 \). Тому розклад має містити простий дріб зі сталим чисельником і дріб із лінійним чисельником:
\[
\frac{3\cdot x^2+x-2}
{(x-1)\cdot(x^2+1)}
=
\frac{A}{x-1}
+
\frac{B\cdot x+C}{x^2+1}.
\]
Помножимо обидві частини рівності на спільний знаменник:
\[
3\cdot x^2+x-2
=
A\cdot(x^2+1)
+
(B\cdot x+C)\cdot(x-1).
\]
Спочатку підставимо \( x=1 \):
\[
\begin{gathered}
3\cdot1^2+1-2
=
A\cdot(1^2+1),\\[4pt]
2=2\cdot A,\\[4pt]
A=1.
\end{gathered}
\]
Щоб знайти решту коефіцієнтів, розкриємо дужки у правій частині:
\[
A\cdot(x^2+1)
+
(B\cdot x+C)\cdot(x-1)
=
A\cdot x^2+A
+
B\cdot x^2-B\cdot x
+
C\cdot x-C.
\]
Групуємо доданки за степенями \( x \):
\[
3\cdot x^2+x-2
=
(A+B)\cdot x^2
+
(C-B)\cdot x
+
A-C.
\]
Тепер порівнюємо коефіцієнти:
\[
\begin{gathered}
A+B=3,\\[4pt]
C-B=1,\\[4pt]
A-C=-2.
\end{gathered}
\]
Оскільки \( A=1 \), із першої рівності отримуємо
\[
\begin{gathered}
1+B=3,\\[4pt]
B=2.
\end{gathered}
\]
Із третьої рівності маємо
\[
\begin{gathered}
1-C=-2,\\[4pt]
C=3.
\end{gathered}
\]
Друга рівність також виконується:
\[
3-2=1.
\]
Отже, розклад має вигляд
\[
\frac{3\cdot x^2+x-2}
{(x-1)\cdot(x^2+1)}
=
\frac{1}{x-1}
+
\frac{2\cdot x+3}{x^2+1}.
\]
Розділимо другий дріб на два доданки:
\[
\frac{2\cdot x+3}{x^2+1}
=
\frac{2\cdot x}{x^2+1}
+
\frac{3}{x^2+1}.
\]
Тоді
\[
\int
\frac{3\cdot x^2+x-2}
{(x-1)\cdot(x^2+1)}
\,dx
=
\int \frac{1}{x-1}\,dx
+
\int \frac{2\cdot x}{x^2+1}\,dx
+
\int \frac{3}{x^2+1}\,dx.
\]
Перший інтеграл дорівнює
\[
\int \frac{1}{x-1}\,dx
=
\ln|x-1|.
\]
У другому інтегралі чисельник є похідною знаменника:
\[
\int \frac{2\cdot x}{x^2+1}\,dx
=
\ln(x^2+1).
\]
Для третього інтеграла використовуємо стандартну формулу:
\[
\int \frac{3}{x^2+1}\,dx
=
3\cdot\arctan(x).
\]
Таким чином,
\[
\int
\frac{3\cdot x^2+x-2}
{(x-1)\cdot(x^2+1)}
\,dx
=
\ln|x-1|
+
\ln(x^2+1)
+
3\cdot\arctan(x)
+
C.
\]
У цьому прикладі в одному розкладі поєдналися два різні типи множників. Лінійному множнику відповідає логарифм із модулем, а квадратному — логарифм і арктангенс.
Наступний Крок в Інтегральному Численні: Теми Для Продовження
Тепер, коли метод простих дробів розглянуто, куди рухатися далі? Наступні теми познайомлять вас з іншими важливими видами інтегралів і способами їх обчислення.
- Інтеграли від тригонометричних функцій: Основні методи — У статті розглянемо інтегрування степенів і добутків тригонометричних функцій за допомогою тотожностей та перетворень.
- Інтеграли від ірраціональних функцій: Типові заміни — Матеріал пояснить, як обирати підстановки для виразів із коренями та зводити їх до простіших стандартних інтегралів.
- Визначений інтеграл: Геометричний зміст і властивості — Стаття розкриє зв’язок визначеного інтеграла з площею та пояснить його основні властивості й правила обчислення.
Інтегрування Раціональних Дробів: Від Блок-Схеми до Програмного Коду
Захоплюєтеся програмуванням? Тоді спробуйте реалізувати алгоритм, зображений на блок-схемі, своєю улюбленою мовою програмування. Програма повинна перевірити коректність введених даних, знайти коефіцієнти розкладу на прості дроби та обчислити значення первісної в заданій точці. Pascal, Python, JavaScript чи C++ — вибір за вами. Так ви побачите, як послідовність математичних перетворень втілюється у зрозумілому програмному коді.
