Лінійні рівняння – визначення та форми запису

Лінійні рівняння – це рівняння, графіком яких є пряма лінія. Основна характеристика цих рівнянь у тому, що їх змінні мають максимальну степінь, рівну одиниці.

У цій статті ми розглянемо ці рівняння докладніше. Ми почнемо з розгляду того, що таке лінійні рівняння загалом, а також, розглянемо різні форми, в яких вони можуть бути записані. Зокрема, розглянемо форму перетину-нахилу, форму точка-нахил та стандартну форму.

Що таке лінійне рівняння?

Рівняння, що має найвищий степінь 1, відоме як лінійне рівняння. Це означає, що жодна змінна в лінійному рівнянні немає показника степеня більше одиниці. Графік лінійного рівняння завжди утворює пряму лінію.

До прикладу, якщо лінійне рівняння x+3*y=-1 зобразити графічно, отримаємо пряму лінію наступного вигляду:

Існують лінійні рівняння з однією змінною, двома змінними, трьома змінними і так далі. Давайте навчимося визначати лінійні та нелінійні рівняння за допомогою таких прикладів.

Рівняння	Лінійне або нелінійне
	Лінійне
	Нелінійне, степінь змінної  дорівнює 2
	Нелінійне, степінь змінної  дорівнює 1/2
	Лінійне
	Нелінійне, степінь змінної дорівнює 2

Форма запису лінійного рівняння.

Формула лінійного рівняння – це спосіб вираження лінійного рівняння. Це можна зробити різними способами. Наприклад, лінійне рівняння може бути виражено в стандартній формі, у формі нахилу-перетину або у формі точки-нахилу.

Фора запису рівняння	Формула	Пояснення
Стандартна форма		де ,  і  – дійсні числа, і не дорівнюють 0
Форма нахилу-перетину		де  – кут нахилу, – точка перетину осі
Форма точки-нахилу		де  координати точки на прямій, а – нахил

Різні форми лінійних рівнянь корисні для різних застосувань. Наприклад, при розв’язуванні систем лінійних рівнянь корисно спочатку перетворити рівняння в стандартну форму.

«Нахил-перетин» і «точка-нахил» – це дві широко використовувані форми лінійного рівняння, які, хоча й корисні для побудови графіків, не є корисними для розв’язування згадуваних вище систем. Тому важливо знати, як конвертувати різні форми лінійних рівнянь, щоб найкраще відповідати застосуванню.

Перетворення форми «точка-нахил» або «нахил-перетин» у стандартну форму передбачає переміщення всіх невідомих в одну сторону рівняння а констант – в іншу. Потім, за необхідності, рівнянням перетворюється таким чином, щоб коефіцієнтами при невідомих рівняння були цілі числа.

Графік лінійного рівняння.

Графік лінійного рівняння з однією змінною утворює вертикальну лінію, яка паралельна осі . Графік лінійного рівняння з двома змінними та утворює пряму лінію.

Щоб побудувати графік лінійного рівняння, необхідно виконати наступні дії:

• перетворити рівняння у форму (форма нахилу-перетину);
• знайти декілька впорядкованих пар , які задовольняють дане рівняння;
• записати ці значення в табличній формі;
• нанести точки, вказані в таблиці, на декартову площину;
• з’єднати точки.

Лінійні рівняння – приклади з відповідями.

Приклад 1: що таке лінійне рівняння? Наведіть кілька прикладів.

Лінійне рівняння – це рівняння, у якому найвищий степінь змінної завжди дорівнює одиниці. Його також називають рівнянням першої степені.

Коли це рівняння будується на графіку, воно завжди призводить до прямої лінії. Це причина, чому його називають «лінійним рівнянням».

Існують лінійні рівняння з однією змінною, двома змінними, трьома змінними і так далі.

Стандартна форма лінійного рівняння з однією змінною має вигляд . Рівняння виду  називається лінійним рівнянням з двома змінними.

Кілька прикладів лінійних рівнянь: , , .

Приклад 2: записати лінійне рівняння  в стандартній формі.

Отже, як зазначалося вище, на першому кроці, перенесемо всі доданки що містять змінні в одну частину рівняння, а ті, що не містять змінних – в іншу:

Далі, дял того, щоб позбутись дробових коефіцієнтів, помножимо обидві частини останнього рівняння на найменший спільний знаменник дробів (в даному випадку, це число 4):

Таким чином, стандартна форма заданого лінійного рівняння, має вигляд: .

Приклад 3: записати лінійне рівняння  в стандартній формі.

Діючи як і у попередньому прикладі, матимемо:

Звідси, стандартна форма заданого лінійного рівняння, має вигляд: .

Приклад 4: побудувати графік наступного лінійного рівняння з двома змінними: .

Отже, для початку, запишемо задане лінійне рівняння у вигляді . В результаті матимемо:

На наступному кроці, знайдемо декілька впорядкованих пари , які задовольняють дане рівняння:

• якщо підставити в останнє рівняння значення , отримаємо , тобто ;
• подібним чином, якщо підставити у рівняння  значення , матимемо, що ;
• якщо в якості значення для змінної взяти число 4, отримаємо ;
• аналогічно, значення  дає .

Таким чином, ми отрималичотири пари значень , що задовольняють заданому лінійному рівнянню . Для зручності, представимо їх в табличній формі.

x	0	2	4	-2
y	-1	0	1	-2

Далі, наносимо точки (0, -1), (2, 0), (4,1) і (-2, -2) на графік і з’єднуємо їх, щоб отримати пряму лінію.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про лінійні рівняння? Перегляньте ці сторінки:

1. Лінійні рівняння з однією змінною.
2. Лінійні рівняння з двома змінними.