Похідна синуса в квадраті часто трапляється в задачах на тригонометричні перетворення, оптимізацію та дослідження функцій. І тут легко сплутати два схожі записи: \( \sin^2(x) \) — це квадрат синуса, тобто \( \bigl(\sin(x)\bigr)^2 \), а не \( \sin(x^2) \). Начебто різниця лише в дужках, а відповідь уже зовсім інша, правда ж? Тож далі ми відразу зафіксуємо будову функції як складеної: спочатку обчислюємо синус, а потім підносимо результат до квадрату. Саме це і веде нас до правильної похідної.
Похідна Синуса в Квадраті: Основна Формула та Графіки
Почнемо з найголовнішого. Якщо
\[
y=\sin^2(x)=\bigl(\sin(x)\bigr)^2,
\]
то похідна має компактний вигляд:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^2(x)\bigr)=\bigl(\sin^2(x)\bigr)’=\sin(2 \cdot x).
\]
Цей запис зручний тим, що відповідь одразу подана як одна тригонометрична функція з подвійним аргументом. А ще він добре узгоджується з графіками.
Тепер звернімо увагу на поведінку функцій. Функція \( \sin^2(x) \) ніколи не від’ємна, бо квадрат не дає «мінуса». Отже, її значення лежать між \( 0 \) та \( 1 \). Натомість похідна \( \sin(2 \cdot x) \) змінює знак, тому саме вона показує, де \( \sin^2(x) \) зростає, а де спадає. І помітно, що там, де похідна дорівнює нулю, графік \( \sin^2(x) \) переходить від зростання до спадання або навпаки. Це рівно те, що потрібно в задачах на екстремуми.
Ланцюгове Правило та Подвійний Кут: Виведення Формули Крок за Кроком
Переходимо до виведення. Тут важливо не поспішати й чітко розділити внутрішню та зовнішню частини. Запис
\[
y=\sin^2(x)=\bigl(\sin(x)\bigr)^2
\]
одразу підказує структуру: внутрішня функція — \( \sin(x) \), а зовнішня — піднесення до квадрату.
Зробімо стандартну заміну:
\[
u=\sin(x).
\]
Тоді наша функція стає простішою:
\[
y=u^2.
\]
А тепер застосовуємо ланцюгове правило:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
\]
Спершу диференціюємо зовнішню функцію \( y=u^2 \). За правилом степеня маємо:
\[
\frac{dy}{du}=2 \cdot u.
\]
Далі беремо похідну внутрішньої функції \( u=\sin(x) \):
\[
\frac{du}{dx}=\cos(x).
\]
Перемножуємо ці дві частини:
\[
\frac{dy}{dx}=2 \cdot u \cdot \cos(x).
\]
Повертаємося від \( u \) до \( \sin(x) \):
\[
\frac{dy}{dx}=2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x).
\]
На цьому етапі похідна вже знайдена, і це коректна відповідь. Але ми хочемо отримати саме форму з подвійним аргументом, бо вона коротша й часто зручніша. Тому використовуємо формулу подвійного кута:
\[
\sin(2 \cdot x)=2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x).
\]
Отже,
\[
2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2 \cdot x),
\]
і маємо фінальний результат:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\sin^2(x)\bigr) = \sin(2 \cdot x).
\]
Зверніть увагу, як логічно все пов’язано: квадрат змушує нас застосувати ланцюгове правило, а формула подвійного кута перетворює добуток у компактний запис. Зручно, правда ж?
Похідна Синуса в Квадраті: Практика на Прикладах та Пояснення Кроків
Переходимо до практики й закріпимо формулу на задачах. У реальних вправах квадрат синуса майже завжди входить до складнішого виразу, тому корисно діяти за одним і тим самим планом. Спочатку визначаємо тип виразу, тобто чи це складена функція, добуток або частка, а потім вибираємо відповідне правило диференціювання. Після цього обчислюємо похідні крок за кроком і лише наприкінці, за потреби, спрощуємо запис.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=\sin^2(3 \cdot x-1) \)
Тут зовнішня частина — квадрат, а аргумент синуса є лінійною функцією \( 3 \cdot x-1 \). Отже, маємо складену функцію, і нам потрібне ланцюгове правило.
Позначимо:
\[
u=\sin(3 \cdot x-1), \quad y=u^2.
\]
Тоді
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
\]
Зовнішня похідна:
\[
\frac{dy}{du}=2 \cdot u.
\]
Тепер обчислюємо похідну внутрішньої частини. Оскільки \( u=\sin(3 \cdot x-1) \), то
\[
\frac{du}{dx}=\cos(3 \cdot x-1) \cdot 3.
\]
Перемножуємо:
\[
\frac{dy}{dx}=2 \cdot u \cdot 3 \cdot \cos(3 \cdot x-1)=6 \cdot u \cdot \cos(3 \cdot x-1).
\]
Повертаємося до \( u=\sin(3 \cdot x-1) \):
\[
y’=6 \cdot \sin(3 \cdot x-1) \cdot \cos(3 \cdot x-1).
\]
За бажанням можна записати компактніше, використавши подвійний кут:
\[
y’=3 \cdot \sin\bigl(2 \cdot (3 \cdot x-1)\bigr)=3 \cdot \sin(6 \cdot x-2).
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\sin^2(x^2+1) \)
Тут аргумент синуса — квадратична функція, тому ланцюгове правило застосовується послідовно. Важливо уважно врахувати похідну від \( x^2+1 \) на відповідному кроці.
Зробимо кроки через проміжні заміни:
\[
t=x^2+1,\quad u=\sin(t),\quad y=u^2.
\]
Тоді
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.
\]
Обчислюємо кожну частину:
\[
\frac{dy}{du}=2 \cdot u,\quad \frac{du}{dt}=\cos(t),\quad \frac{dt}{dx}=2 \cdot x.
\]
Перемножуємо:
\[
\frac{dy}{dx}=2 \cdot u \cdot \cos(t) \cdot 2 \cdot x=4 \cdot x \cdot u \cdot \cos(t).
\]
Повертаємося до \( u=\sin(t) \) і \( t=x^2+1 \):
\[
y’=4 \cdot x \cdot \sin(x^2+1) \cdot \cos(x^2+1).
\]
Якщо хочеться коротший запис, то:
\[
y’=2 \cdot x \cdot \sin\bigl(2(x^2+1)\bigr).
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=x^2 \cdot \sin^2(x) \)
Тут маємо добуток двох функцій. Отже, потрібно правило добутку: похідна першого множника на другий плюс перший множник на похідну другого. І саме в другому доданку з’явиться формула для \( \sin^2(x) \).
Позначимо:
\[
u=x^2,\quad v=\sin^2(x).
\]
Тоді
\[
y’=u’ \cdot v + u \cdot v’.
\]
Знаходимо похідну першого множника:
\[
u’=2 \cdot x.
\]
Тепер похідна другого множника. Для \( v=\sin^2(x) \) використовуємо основну формулу:
\[
v’=\sin(2 \cdot x).
\]
Підставляємо в правило добутку:
\[
y’=2 \cdot x \cdot \sin^2(x)+x^2 \cdot \sin(2 \cdot x).
\]
Це вже завершена відповідь. Якщо потрібно, можна далі перетворювати, але сенсу часто немає: форма і так зручна для підстановок у задачах.
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=\dfrac{\sin^2(2 \cdot x+1)}{x} \)
Тут одночасно є складена функція в чисельнику та ділення на \( x \), тому застосовуємо правило частки, а для похідної чисельника — ланцюгове правило. Також важливо одразу зафіксувати область допустимих значень: тут потрібно \( x\neq 0 \).
Нехай
\[
u=\sin^2(2 \cdot x+1),\quad v=x.
\]
Тоді
\[
y’=\frac{u’ \cdot v-u \cdot v’}{v^2}.
\]
Спершу знайдемо \( u’ \). Фіксуємо аргумент \( 2 \cdot x+1 \) і пам’ятаємо, що його похідна дорівнює \( 2 \). Тоді похідна квадрата синуса запишеться як
\[
u’=\sin\bigl(2 \cdot (2 \cdot x+1)\bigr) \cdot 2=2 \cdot \sin(4 \cdot x+2).
\]
Тепер \( v’=1 \). Підставляємо:
\[
y’=\frac{\bigl(2 \cdot \sin(4 \cdot x+2)\bigr) \cdot x-(\sin(2 \cdot x+1))^2}{x^2}.
\]
Отже,
\[
y’=\frac{2 \cdot x \cdot \sin(4 \cdot x+2)-\bigl(\sin(2 \cdot x+1)\bigr)^2}{x^2}.
\]
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=(\sin(x))^2 \cdot \cos(x) \)
Тут також добуток. Але тепер один множник — квадрат синуса, а інший — \( \cos(x) \). Тож застосовуємо правило добутку і не забуваємо дві різні похідні.
Позначимо:
\[
u=\bigl(\sin(x)\bigr)^2,\quad v=\cos(x).
\]
Тоді
\[
y’=u’ \cdot v+u \cdot v’.
\]
Для першого множника використовуємо відому формулу:
\[
u’=\sin(2 \cdot x).
\]
Для другого множника:
\[
v’=-\sin(x).
\]
Підставляємо:
\[
y’=\sin(2 \cdot x) \cdot \cos(x)+\bigl(\sin(x)\bigr)^2 \cdot \bigl(-\sin(x)\bigr).
\]
Отже,
\[
y’=\sin(2 \cdot x) \cdot \cos(x)-\bigl(\sin(x)\bigr)^3.
\]
Це коректна фінальна відповідь. Якщо потрібно, її можна перетворювати через формули з подвійним аргументом, але для більшості задач цей запис уже достатньо зрозумілий і зручний.
Куди Рухатися Далі: Теми, Які Логічно Продовжують Матеріал
Якщо тема вже зрозуміла, логічно зробити наступний крок і розширити набір тригонометричних похідних, з якими ви працюватимете найчастіше. Адже в задачах зазвичай зустрічаються різні функції, і корисно швидко перемикатися між ними, правда ж?
- Похідна косинуса в квадраті: Формула, доведення, приклади — Розберемо правило диференціювання та покажемо приклади з різними аргументами й перетвореннями.
- Похідна тангенса в квадраті: Формула, доведення, приклади — Пояснимо, як знаходити похідну, на що звертати увагу в області визначення та як працювати з типовими задачами.
- Похідна котангенса в квадраті: Формула, доведення, приклади — Розглянемо виведення формули й практику на прикладах, де котангенс входить до складених виразів.
Похідна Синуса в Квадраті: Від Блок-Схеми до Коду
Якщо вам подобається програмування, саме час перетворити математику на працюючий алгоритм: візьміть готову блок-схему, пройдіться по ній крок за кроком і реалізуйте пошук точок-кандидатів там, де похідна майже нульова, у своїй улюбленій мові — Python, JavaScript, C#, Java чи будь-якій іншій. А потім порівняйте, як змінюється результат при іншому кроці та точності, і перевірте, наскільки добре ваша програма знаходить критичні точки. Цікаво ж подивитися, як теорія працює в коді?
