Вписані та описані чотирикутники

Ви вже знаєте, які трикутники називаються вписаними в коло і які – описаними навколо нього. Подібно визначаються вписані та описані чотирикутники.

Отже, коло називається описаним навколо чотирикутника, якщо воно проходить через всі його вершини.

Чотирикутник вписаний в коло

На рисунку вище зображено коло, описане навколо чотирикутника ABCD. Зазначимо, що в даному випадку також говорять, що чотирикутник вписаний в коло.

Коло називається вписаним у чотирикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

На наступному рисунку зображено коло, вписане в чотирикутник ABCD. У цьому разі також говорять, що чотирикуник описаний навколо кола.

Чотирикутник вписаний в коло

Розглянемо та доведемо найважливіші властивості вписаних та описаних чотирикутників.

Сума двох протилежних кутів вписаного у коло чотирикутника дорівнює 180 гоадусів.
Чотирикутник вписаний в коло

Нехай ABCD – вписаний у коло чотирикутник. Його протилежні кути A і C вписані. Перший вимірюється половиною дуги BCD, другий – половиною дуги BAD.

Сума кутів A і C вимірюється півсумою цих дуг, тобто півколом. Півколу відповідає 180 º. Отже, A + C = 180 º.

Аналогічно можна показати, що B + D = 180 º.

Якщо чотирикутник описаний навколо кола, то сума двох його протилежних сторін дорівнює сумі двох інших його сторін.

Для доведення даної властивості припустимо, що чотирикутник ABCD описаний навколо кола. Покажемо, що AB + CD = BC + AD.

Чотирикутник вписаний в коло

Отже, позначимо точки дотику сторін чотирикутника до вписаного кола буквами E, F, G, H.

Оскільки відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола рівні, то AE = AH, BE = BF, CF = CG, DG = DH.

Додавши почленно всі ці рівності, отримаємо AE + BE + CF + DG = AH + BF + CG + DH, або AB + CD = BC + AD, що і треба було довести.

Приклад 1: чотирикутник ABCD вписано в коло. Два з його кутів дорівнюють 75 і 45 градусів. Знайти градусну міру більшого з кутів, що залишилися.

Отже, як зазначалося вище, сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 º. Нехай A = 75 º. Тоді, навпроти нього лежить С = 105 º.

Аналогічно, якщо кут B дорівнює 45 градусів, то кут D дорівнює 135 º.

Звідси, більший з кутів дорівнює 135 градуси.

Приклад 2: чотирикутник ABCD описаний навколо кола. Три сторони даного чотирикутника відносяться (у послідовному порядку) як 1:2:3. Знайти велику сторону чотирикутника ABCD, якщо відомо, що його периметр дорівнює 32 см.

Отже, нехай сторона AB = x, BC = 2 * x і CD = 3 * x. Тоді, згідно з властивістю описаного чотирикутника, яка свідчить про те, що суми його протилежних сторін рівні, матимемо:

Далі, виходячи з того, що периметр чотирикутника ABCD дорівнює P = 8 * x = 32, отримуємо, що x = 4, а більша сторона дорівнює 12 см.

Приклад 3: нехай ABCD – вписаний у коло чотирикутник. Три послідовні кути цього чотирикутника відносяться як 1:2:3. Знайти усі кути чотирикутника ABCD.

Отже, знову-таки, припустимо, що A = xB = 2 * x і С = 3 * x. Тоді, оскільки суми протилежних кутів вписаного чотирикутника рівні між собою (кожна сума дорівнює 180 градусів), то для суми кутів A і C матимемо:

Звідси, шукані кути ABC і D дорівнюють 45 º90 º135 º та 90 º відповідно.

Блок-схема алгоритму перевірки чи можна вписата в чотирикутник та описати навколо чотирикутника коло

Чотирикутник вписаний в коло блок-схема

Коло вписане в чотирикутник блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*