Похідна натурального логарифма належить до базових тем математичного аналізу, які важливо не лише запам’ятати, а й справді зрозуміти. Вона часто з’являється під час дослідження функцій, знаходження похідних складніших виразів і розв’язування прикладних задач. Саме тому тут варто бачити не тільки готову формулу, а й послідовність кроків, яка веде до неї.
У цій статті розглянемо основну формулу, її виведення через означення похідної, а також приклади з детальним розв’язанням. Отже, спочатку зосередимося на теоретичній частині, а далі перейдемо до практичного застосування.
Похідна Натурального Логарифма: Що Треба Знати Насамперед
Почнемо з головного. Для функції \( y=\ln(x) \) її похідна дорівнює
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\bigl(\ln(x)\bigr)’=\frac{1}{x}, \quad x>0.
\]
Саме цю формулу потрібно засвоїти. Водночас її варто не лише пам’ятати, а й правильно тлумачити. Похідна показує, з якою швидкістю змінюється функція в кожній точці. Отже, для натурального логарифма в точці \( x \) значення похідної дорівнює \( \frac{1}{x} \).
Що це означає на практиці? Якщо \( x \) додатне і дуже мале, то значення \( \frac{1}{x} \) є великим. Тому в цій частині графіка функція зростає досить швидко. Якщо ж \( x \) стає більшим, то значення \( \frac{1}{x} \) зменшується. Через це функція \( \ln(x) \) також зростає, але вже повільніше. Отже, логарифм не спадає на своїй області визначення, проте його зростання поступово уповільнюється.
Тут важливо відразу звернути увагу і на умову \( x>0 \). Вона не є випадковою. Річ у тім, що функція \( \ln(x) \) визначена лише для додатних значень аргументу. Тому і формула для її похідної розглядається саме на проміжку \( (0; +\infty) \).
Графік функції та графік її похідної наочно показують, як працює ця формула. Оскільки \( \frac{1}{x}>0 \) для всіх \( x>0 \), то відразу бачимо: функція \( \ln(x) \) зростає на всій області визначення. Крім того, значення \( \frac{1}{x} \) зменшується зі зростанням \( x \). А це пояснює, чому графік логарифма поступово стає менш стрімким.
Нижче подано зображення графіка функції \( \ln(x) \) та її похідної.
Отже, вже на цьому етапі ми бачимо не просто короткий запис, а зв’язок між формулою і поведінкою функції. Це особливо корисно для подальшого вивчення теми, адже далі натуральний логарифм часто входитиме до складніших виразів, де без цієї базової формули обійтися не вдасться.
Виведення Формули: Як Отримати Її Через Означення Похідної
Тепер перейдемо до доведення. Саме тут стає видно, що формула
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}
\]
не є випадковим твердженням, яке треба просто вивчити напам’ять. Навпаки, вона природно випливає з означення похідної та властивостей логарифма.
Нехай \( y=\ln(x) \). Тоді за означенням похідної маємо
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\lim_{h\to 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}.
\]
На цьому кроці потрібно скористатися властивістю логарифма: різниця логарифмів дорівнює логарифму частки. Тобто
\[
\ln(a)-\ln(b)=\ln\bigl(\frac{a}{b}\bigr).
\]
Тому можемо переписати чисельник так:
\[
\ln(x+h)-\ln(x)=\ln\bigl(\frac{x+h}{x}\bigr).
\]
Далі маємо
\[
\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)=\ln\left(1+\frac{h}{x}\right).
\]
Отже, вираз для похідної набуває вигляду
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\lim_{h\to 0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}.
\]
Тепер зручно виконати заміну змінної. Нехай
\[
t=\frac{h}{x}.
\]
Тоді
\[
h=x\cdot t.
\]
Оскільки \( h\to 0 \), а \( x \) розглядається як фіксоване число, то й \( t\to 0 \). Після цієї заміни одержуємо
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{x\cdot t}.
\]
Тепер можна винести множник \( \frac{1}{x} \) за знак границі:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}\cdot \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}.
\]
І саме тут з’являється одна з базових границь математичного аналізу:
\[
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
\]
Її зазвичай вивчають як окрему важливу границю, яка часто використовується в темах, пов’язаних із логарифмічними та показниковими функціями. Отже, на цьому етапі ми спираємося на вже відомий елемент курсу. Підставляємо його у попередній вираз і отримуємо
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}.
\]
Отже, формулу виведено:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x}, \quad x>0.
\]
Тепер корисно коротко підсумувати логіку доведення. Спочатку ми записали похідну через означення. Далі застосували властивість логарифма, щоб об’єднати різницю в один логарифм. Після цього зробили заміну змінної, яка дозволила виділити стандартну границю. Саме так крок за кроком ми й отримали потрібну формулу.
Такий підхід є важливим для навчального процесу, бо він показує повний ланцюг кроків. Ви бачите не лише відповідь, а й те, чому вона правильна. А це особливо цінно, коли далі доводиться знаходити похідні складніших логарифмічних виразів, де вже недостатньо просто пригадати одну коротку формулу.
Похідна Натурального Логарифма: Розв’язання Прикладів
Після теоретичного розбору логічно перейти до обчислень у конкретних виразах. Саме на практиці найкраще видно, як натуральний логарифм поєднується з многочленами, тригонометричними функціями та дробами, а також коли потрібно застосовувати правило добутку, частки або ланцюгове правило. Тому далі розглянемо кілька типових прикладів і послідовно простежимо весь хід розв’язання.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=\ln(3 \cdot x^2+1)\cdot x \)
Тут маємо добуток двох функцій: \( \ln(3 \cdot x^2+1) \) і \( x \). Отже, застосовуємо правило добутку:
\[
y’=\bigl(\ln(3 \cdot x^2+1)\bigr)’\cdot x+\ln(3 \cdot x^2+1)\cdot (x)’.
\]
Другий доданок знаходиться одразу, бо \( (x)’=1 \). Тому він дорівнює просто \( \ln(3 \cdot x^2+1) \).
Тепер знайдемо \( \bigl(\ln(3 \cdot x^2+1)\bigr)’ \). Це складена функція. Зовнішня частина — натуральний логарифм, а внутрішня — вираз \( 3 \cdot x^2+1 \). Позначимо
\[
u=3 \cdot x^2+1.
\]
Тоді
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx}.
\]
Похідна внутрішнього виразу дорівнює
\[
\frac{du}{dx}=(3 \cdot x^2+1)’=6 \cdot x.
\]
Отже,
\[
\bigl(\ln(3 \cdot x^2+1)\bigr)’=\frac{1}{3 \cdot x^2+1}\cdot 6 \cdot x=\frac{6 \cdot x}{3 \cdot x^2+1}.
\]
Повертаємося до правила добутку:
\[
y’=\frac{6 \cdot x}{3 \cdot x^2+1}\cdot x+\ln(3 \cdot x^2+1).
\]
Тепер перемножуємо в першому доданку. Отже,
\[
y’=\frac{6 \cdot x^2}{3 \cdot x^2+1}+\ln(3 \cdot x^2+1).
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\dfrac{\ln(2 \cdot x-1)}{x^2+4} \)
Тут маємо частку, тому застосовуємо правило частки. Нехай
\[
u=\ln(2 \cdot x-1),\quad v=x^2+4.
\]
Тоді
\[
y’=\frac{u’\cdot v-u\cdot v’}{v^2}.
\]
Спочатку знайдемо похідну знаменника:
\[
v’=(x^2+4)’=2 \cdot x.
\]
Тепер переходимо до чисельника. Потрібно знайти \( u’=\bigl(\ln(2 \cdot x-1)\bigr)’ \). Знову маємо складену функцію. Позначимо
\[
t=2 \cdot x-1.
\]
Тоді
\[
u’=\frac{1}{t}\cdot \frac{dt}{dx}.
\]
Похідна внутрішнього виразу дорівнює
\[
\frac{dt}{dx}=(2 \cdot x-1)’=2.
\]
Отже,
\[
u’=\frac{1}{2 \cdot x-1}\cdot 2=\frac{2}{2 \cdot x-1}.
\]
Тепер підставляємо все у формулу для похідної частки:
\[
y’=\frac{\frac{2}{2 \cdot x-1}\cdot (x^2+4)-\ln(2 \cdot x-1)\cdot 2 \cdot x}{(x^2+4)^2}.
\]
Отже,
\[
y’=\frac{\frac{2 \cdot (x^2+4)}{2 \cdot x-1}-2 \cdot x \cdot \ln(2 \cdot x-1)}{(x^2+4)^2}.
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=\ln(x^3-5 \cdot x+2) \)
Це складена функція, де зовнішня частина — натуральний логарифм, а внутрішня — многочлен \( x^3-5 \cdot x+2 \). Отже, тут працює ланцюгове правило.
Позначимо
\[
u=x^3-5 \cdot x+2.
\]
Тоді
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx}.
\]
Похідна внутрішньої частини дорівнює
\[
\frac{du}{dx}=(x^3-5 \cdot x+2)’=3 \cdot x^2-5.
\]
Тепер підставляємо це у формулу:
\[
y’=\frac{1}{x^3-5 \cdot x+2}\cdot (3 \cdot x^2-5).
\]
Отже,
\[
y’=\frac{3 \cdot x^2-5}{x^3-5 \cdot x+2}.
\]
У цьому прикладі особливо важливо не забути про похідну внутрішнього виразу. Натуральний логарифм сам по собі дає множник \( \frac{1}{u} \), але на цьому обчислення не закінчується. Далі обов’язково потрібно домножити на похідну того, що стоїть під логарифмом.
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=\ln(x^2+1)\cdot \sin(x) \)
Знову маємо добуток, тому використовуємо правило добутку. Нехай
\[
u=\ln(x^2+1),\quad v=\sin(x).
\]
Тоді
\[
y’=u’\cdot v+u\cdot v’.
\]
Похідна від \( v=\sin(x) \) добре відома:
\[
v’=\cos(x).
\]
Тепер знайдемо \( u’=\bigl(\ln(x^2+1)\bigr)’ \). Позначимо
\[
t=x^2+1.
\]
Тоді
\[
u’=\frac{1}{t}\cdot \frac{dt}{dx}.
\]
Похідна внутрішнього виразу дорівнює
\[
\frac{dt}{dx}=(x^2+1)’=2 \cdot x.
\]
Отже,
\[
u’=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2 \cdot x=\frac{2 \cdot x}{x^2+1}.
\]
Підставляємо все в правило добутку:
\[
y’=\frac{2 \cdot x}{x^2+1}\cdot \sin(x)+\ln(x^2+1)\cdot \cos(x).
\]
Отже,
\[
y’=\frac{2 \cdot x \cdot \sin(x)}{x^2+1}+\ln(x^2+1) \cdot \cos(x).
\]
Тут варто звернути увагу на одну річ. У таких прикладах легко зосередитися лише на логарифмі і випадково забути про похідну другого множника. Саме тому зручно спочатку чітко розділити вираз на \( u \) і \( v \), а вже потім послідовно знаходити кожну похідну окремо.
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=\ln(2 \cdot x+3)\cdot \cos(4 \cdot x) \)
Тут також маємо добуток, але тепер обидва множники потребують уважності. Перший є складеною функцією з натуральним логарифмом, а другий — тригонометричною функцією зі складеним аргументом. Саме в таких виразах особливо важливо не загубити жоден множник.
Позначимо
\[
u=\ln(2 \cdot x+3),\quad v=\cos(4 \cdot x).
\]
Тоді
\[
y’=u’\cdot v+u\cdot v’.
\]
Почнемо з другого множника. Для \( v=\cos(4 \cdot x) \) маємо:
\[
v’=-\sin(4 \cdot x)\cdot 4=-4 \cdot \sin(4 \cdot x).
\]
Тепер знайдемо \( u’=\bigl(\ln(2 \cdot x+3)\bigr)’ \). Позначимо
\[
t=2 \cdot x+3.
\]
Тоді
\[
u’=\frac{1}{t}\cdot \frac{dt}{dx}.
\]
Похідна внутрішнього виразу:
\[
\frac{dt}{dx}=2.
\]
Отже,
\[
u’=\frac{1}{2 \cdot x+3}\cdot 2=\frac{2}{2 \cdot x+3}.
\]
Тепер повертаємося до правила добутку:
\[
y’=\frac{2}{2 \cdot x+3}\cdot \cos(4 \cdot x)+\ln(2 \cdot x+3)\cdot \bigl(-4 \cdot \sin(4 \cdot x)\bigr).
\]
Отже,
\[
y’=\frac{2 \cdot \cos(4 \cdot x)}{2 \cdot x+3}-4 \cdot \ln(2 \cdot x+3) \cdot \sin(4 \cdot x).
\]
Наступні Кроки: Теми, Які Варто Розглянути Далі
Після теми про натуральний логарифм цілком природно перейти до споріднених похідних, які часто трапляються в задачах з математичного аналізу. Ці матеріали допоможуть краще побачити, як подібні правила працюють у нових виразах і як їх використовують під час розв’язування прикладів.
- Похідна натурального логарифма в квадраті: Формула, доведення, приклади — У цій статті йтиметься про похідну складеного логарифмічного виразу, її виведення та покрокове розв’язання типових завдань.
- Похідна показникової функції: Формула, доведення, приклади — Тут буде показано, як диференціювати експоненціальну функцію і як це використовувати в прикладах.
- Похідна кореня квадратного: Формула, доведення, приклади — У цьому матеріалі розглядатиметься похідна степеневої функції з дробовим показником і її застосування в різних виразах.
Похідна Натурального Логарифма: Від Блок-Схеми до Програми
Після розбору формули, доведення та практичних прикладів цілком доречно перейти ще на один цікавий рівень — програмну реалізацію. Якщо вам подобається програмування, спробуйте взяти готову блок-схему з цього розділу. Далі самостійно відтворіть її у своїй улюбленій мові програмування. Так ви краще зрозумієте, як працюють обчислення для натурального логарифма та його похідної, а також побачите, як математична ідея перетворюється на послідовність чітких команд, перевірок і обчислень.
