Нехай маємо деяку невироджену матрицю розмірності , характеристичний многочлен якої записаний у наступному вигляді:

Покажемо, яким чином за допомогою коефіцієнтів цього характеристичного многочлена та послідовності маириць , порівняно просто можна знайти обернену матрицю Обернена матриця. Для цього, скориставшись теоремою Гамільтона-Келі (при підстановці матриці в її характеристичний многочлен, виходить нульова матриця, іншими словами, матриця являетса коренем свого характеристичного многочлена), отримаємо:

Помноживши матричну рівність (1) на Обернена матриця зліва, отримуємо:

Звідси, при умові що , будемо мати:

Обернена матриця формула

Таким чином, якщо коефіцієнти характеристичного многочлена матриці  являються відомими, а також знайдені степені даної матриці до -го порядку включно, то скориставшись формулою (3), легко можна знайти обернену матрицю Обернена матриця. Відмітимо, що особливо вигідним в цьому відношенні є метод Левер’є.

Зауваження: якщо і , то для отримання формули, яка б містила Обернена матриця, векторну рівність (1) необхідно помножити зліва на матрицю  і так далі.

Обернена матриця – приклад знаходження:

Використовуючи розглянутий вище алгоритм, знайти матрицю обернену до матриці :

Для цього, на першому кроці, знайдемо степінь матриці до четвертого порядку включно, після чого, скориставшись методом Левер’є, визначимо коефіцієнти її характеристичного многочлена. В результаті отримаємо:

На наступному кріці, скориставшись формулою (3), знаходимо елементи оберненої матриці:

Як знайти обернену матрицю - приклад

Блок-схема алгоритму знаходження оберненої матриці використовуючи коефіцієнти її характеристичного многочлена:

Обернена матриця блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*