Нехай маємо деяку невироджену матрицю розмірності , характеристичний многочлен якої записаний у наступному вигляді:
Покажемо, яким чином за допомогою коефіцієнтів цього характеристичного многочлена та послідовності маириць , порівняно просто можна знайти обернену матрицю . Для цього, скориставшись теоремою Гамільтона-Келі (при підстановці матриці в її характеристичний многочлен, виходить нульова матриця, іншими словами, матриця являетса коренем свого характеристичного многочлена), отримаємо:
Помноживши матричну рівність (1) на зліва, отримуємо:
Звідси, при умові що , будемо мати:
Таким чином, якщо коефіцієнти характеристичного многочлена матриці являються відомими, а також знайдені степені даної матриці до -го порядку включно, то скориставшись формулою (3), легко можна знайти обернену матрицю . Відмітимо, що особливо вигідним в цьому відношенні є метод Левер’є.
Зауваження: якщо і , то для отримання формули, яка б містила , векторну рівність (1) необхідно помножити зліва на матрицю і так далі.
Обернена матриця – приклад знаходження:
Використовуючи розглянутий вище алгоритм, знайти матрицю обернену до матриці :
Для цього, на першому кроці, знайдемо степінь матриці до четвертого порядку включно, після чого, скориставшись методом Левер’є, визначимо коефіцієнти її характеристичного многочлена. В результаті отримаємо:
На наступному кріці, скориставшись формулою (3), знаходимо елементи оберненої матриці: