Похідна натурального логарифма в квадраті — це важлива тема математичного аналізу, яка допомагає краще зрозуміти роботу зі складеними функціями. Такий вираз часто з’являється під час диференціювання логарифмічних залежностей, тому тут важливо не просто запам’ятати формулу, а й побачити, як саме вона отримується. Крім того, у цій темі потрібно уважно читати сам запис функції. Адже квадрат стосується саме логарифма, а не аргументу під знаком логарифма. Тобто \( \ln^2(x) \) — це \( (\ln(x))^2 \), а не \( \ln(x^2) \). У цій статті розглянемо основну формулу, детально виведемо її, а потім перейдемо до практичного застосування.
Похідна Натурального Логарифма в Квадраті: Формула і Графіки
Розглянемо функцію \( y=\ln^2(x) \). Її похідна має вигляд
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\ln^2(x)\bigr)=\bigl(\ln^2(x)\bigr)’=\frac{2 \cdot \ln(x)}{x}.
\]
Це основна формула цієї теми, на яку спираються подальші перетворення. Вона застосовується для функції, визначеної лише при \( x>0 \), оскільки натуральний логарифм існує тільки для додатних значень аргументу.
Тепер звернімо увагу на графіки. Функція \( y=\ln^2(x) \) не набуває від’ємних значень, бо логарифм підноситься до квадрату. Водночас її похідна \( y’=\frac{2 \cdot \ln(x)}{x} \) може бути як від’ємною, так і додатною. На проміжку \( 0<x<1 \) маємо \( \ln(x)<0 \), тому похідна від’ємна. У точці \( x=1 \) вона дорівнює нулю. Крім того, \( \ln(1)=0 \), отже \( \ln^2(1)=0 \). Це означає, що саме в точці \( x=1 \) функція досягає свого найменшого значення. А при \( x>1 \) похідна вже додатна. Отже, з графіка добре видно, що функція спадає на проміжку \( (0,1) \), а після цього зростає на \( (1,+\infty) \).
Крок за Кроком: Як Вивести Формулу Похідної
Тепер перейдемо до доведення. Почати варто з уважного читання самої функції:
\[
y=\ln^2(x)=\bigl(\ln(x)\bigr)^2.
\]
Цей запис означає, що спочатку ми обчислюємо натуральний логарифм від \( x \), а потім підносимо отримане значення до квадрату. Отже, перед нами складена функція, для якої природно використати ланцюгове правило. Саме це правило застосовують у тих випадках, коли одна функція вкладена в іншу.
Щоб записати доведення послідовно, введемо нову змінну:
\[
u=\ln(x).
\]
Тоді початкова функція набуде простішого вигляду:
\[
y=u^2.
\]
Тепер знайдемо похідну зовнішньої функції. Якщо \( y=u^2 \), то
\[
\frac{dy}{du}=2 \cdot u.
\]
Після цього знайдемо похідну внутрішньої функції. Оскільки \( u=\ln(x) \), то
\[
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}.
\]
Далі застосовуємо ланцюгове правило:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
\]
Підставимо знайдені похідні:
\[
\frac{dy}{dx}=2\cdot u\cdot\frac{1}{x}.
\]
Тепер повертаємося до початкової змінної \( x \), тобто замінюємо \( u \) на \( \ln(x) \):
\[
\frac{dy}{dx}=2\cdot\ln(x)\cdot\frac{1}{x}.
\]
Після спрощення отримуємо
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{2\cdot\ln(x)}{x}.
\]
Отже,
\[
\bigl(\ln^2(x)\bigr)’=\frac{2\cdot\ln(x)}{x}.
\]
Таким чином, формула похідної натурального логарифма в квадраті безпосередньо випливає з ланцюгового правила. Спочатку ми диференціюємо квадрат, а потім множимо на похідну внутрішньої функції \( \ln(x) \). Саме така послідовність і дає правильний вираз для похідної.
Похідна Натурального Логарифма в Квадраті: Практичне Застосування
Теорія стає значно зрозумілішою, коли одразу видно, як вона працює в конкретних виразах. Саме тому далі розглянемо кілька задач, у яких похідна натурального логарифма в квадраті використовується разом з іншими правилами диференціювання. Це допоможе краще побачити, де саме потрібно застосовувати вже відому формулу, а де — додатково враховувати суму, добуток або складену функцію.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=x \cdot \ln^2(x) \)
Тут маємо добуток двох функцій: \( x \) і \( \ln^2(x) \). Отже, застосовуємо правило добутку:
\[
y’=(x)’\cdot \ln^2(x)+x\cdot \bigl(\ln^2(x)\bigr)’.
\]
Перший доданок знаходиться одразу, бо \( (x)’=1 \). Тому маємо
\[
y’=\ln^2(x)+x\cdot \bigl(\ln^2(x)\bigr)’.
\]
Тепер звертаємо увагу на фрагмент \( \ln^2(x) \). Саме тут і використовуємо вже вивчену формулу:
\[
\bigl(\ln^2(x)\bigr)’=\frac{2\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Підставляємо її в попередній запис:
\[
y’=\ln^2(x)+x\cdot \frac{2\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Тепер скорочуємо \( x \) у другому доданку. Отже,
\[
y’=\ln^2(x)+2\cdot \ln(x).
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\dfrac{\ln^2(x)}{x} \)
Тут маємо частку, тому застосовуємо правило частки. Нехай
\[
u=\ln^2(x),\quad v=x.
\]
Тоді
\[
y’=\frac{u’\cdot v-u\cdot v’}{v^2}.
\]
Спочатку знайдемо похідну знаменника:
\[
v’=(x)’=1.
\]
Тепер переходимо до чисельника. Потрібно знайти \( u’=\bigl(\ln^2(x)\bigr)’ \). Знову використовуємо вже відому формулу:
\[
u’=\frac{2\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Після цього підставляємо все у правило частки:
\[
y’=\frac{\frac{2\cdot \ln(x)}{x}\cdot x-\ln^2(x)\cdot 1}{x^2}.
\]
У першому доданку чисельника скорочуємо \( x \). Отже, отримуємо
\[
y’=\frac{2\cdot \ln(x)-\ln^2(x)}{x^2}.
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=\ln^2(3\cdot x+1) \)
Це складена функція, де зовнішня частина — квадрат натурального логарифма, а внутрішня — вираз \( 3\cdot x+1 \). Отже, тут працює ланцюгове правило.
Позначимо
\[
u=3\cdot x+1.
\]
Тоді
\[
y=\ln^2(u).
\]
Тепер використовуємо вже вивчену формулу для похідної квадрата натурального логарифма, але замість \( x \) тут стоїть змінна \( u \):
\[
\frac{d}{du}\ln^2(u)=\frac{2\cdot \ln(u)}{u}.
\]
Оскільки \( u \) залежить від \( x \), потрібно ще домножити на похідну внутрішнього виразу:
\[
\frac{du}{dx}=(3\cdot x+1)’=3.
\]
Тоді за ланцюговим правилом маємо
\[
y’=\frac{2\cdot \ln(u)}{u}\cdot \frac{du}{dx}.
\]
Підставляємо \( u=3\cdot x+1 \) і \( \frac{du}{dx}=3 \):
\[
y’=\frac{2\cdot \ln(3\cdot x+1)}{3\cdot x+1}\cdot 3.
\]
Отже,
\[
y’=\frac{6\cdot \ln(3\cdot x+1)}{3\cdot x+1}.
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=(x^2+1)\cdot \ln^2(x) \)
Знову маємо добуток, тому використовуємо правило добутку. Нехай
\[
u=x^2+1,\quad v=\ln^2(x).
\]
Тоді
\[
y’=u’\cdot v+u\cdot v’.
\]
Спочатку знайдемо похідну першого множника:
\[
u’=(x^2+1)’=2\cdot x.
\]
Тепер знайдемо похідну другого множника. Тут знову бачимо знайомий фрагмент \( \ln^2(x) \), тому використовуємо вже вивчену формулу:
\[
v’=\bigl(\ln^2(x)\bigr)’=\frac{2\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Підставляємо все в правило добутку:
\[
y’=2\cdot x\cdot \ln^2(x)+(x^2+1)\cdot \frac{2\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Отже,
\[
y’=2\cdot x\cdot \ln^2(x)+\frac{2\cdot (x^2+1)\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Це і є правильна похідна даної функції.
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=\bigl(\ln^2(x)+1\bigr)^3 \)
Тут маємо складену функцію, де зовнішня частина — куб, а внутрішня — вираз \( \ln^2(x)+1 \). Саме в таких прикладах важливо послідовно рухатися від зовнішньої частини до внутрішньої.
Позначимо
\[
u=\ln^2(x)+1.
\]
Тоді
\[
y=u^3.
\]
Похідна зовнішньої частини дорівнює
\[
y’=3\cdot u^2\cdot \frac{du}{dx}.
\]
Тепер знайдемо похідну внутрішнього виразу:
\[
\frac{du}{dx}=\bigl(\ln^2(x)+1\bigr)’=\bigl(\ln^2(x)\bigr)’+(1)’.
\]
Похідна сталої дорівнює нулю, а для \( \bigl(\ln^2(x)\bigr)’ \) використовуємо вже відому формулу:
\[
\frac{du}{dx}=\frac{2\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Після цього повертаємося до основного запису:
\[
y’=3\cdot \bigl(\ln^2(x)+1\bigr)^2\cdot \frac{2\cdot \ln(x)}{x}.
\]
Множимо числові коефіцієнти. Таким чином,
\[
y’=\frac{6\cdot \ln(x)\cdot \bigl(\ln^2(x)+1\bigr)^2}{x}.
\]
Що Варто Прочитати Далі: Рекомендовані Теми для Продовження
Тепер, коли тема похідної натурального логарифма в квадраті вже розглянута від основної формули до практичних прикладів, цілком доречно перейти до суміжних матеріалів. Чому це корисно? Тому що такі теми добре доповнюють одна одну й допомагають краще побачити, як працюють різні правила диференціювання в типових виразах.
- Похідна натурального логарифма: Формула, доведення, приклади — У цій статті йтиметься про базову похідну логарифма, її виведення та типові задачі на застосування.
- Похідна експоненціальної функції: Формула, доведення, приклади — Тут розглядатиметься похідна показникової функції, її властивості та приклади, пов’язані з диференціюванням.
- Похідна кореня квадратного: Формула, доведення, приклади — У цій темі буде пояснено, як знаходити похідну кореня та як застосовувати її в різних виразах.
Похідна Натурального Логарифма в Квадраті: Від Формули до Програмного Коду
Тепер спробуйте подивитися на цю тему не лише як на математичне правило, а і як на основу для невеликого програмного проєкту. Чому б не реалізувати блок-схему, що міститься нижче, у своїй улюбленій мові програмування та не перевірити, як знання про похідну натурального логарифма в квадраті працюють у реальному коді? Така практика добре показує, як формула поступово перетворюється на послідовність умов, обчислень і повідомлень для користувача, а ще дає чудову нагоду поєднати математичний аналіз із програмуванням у простому, але змістовному завданні.
