Нехай потрібно розв’язати задачу на відшукання безумовного мінімум унімодальної функції однієї змінної , тобто знайти таку точку , що . Нагадаємо, що функція називається унімодальною на інтервалі , якщо на даноу інтервалі вона досягає свого глобального мінімуму в єдиній точці , причому ліворуч від ця функція строго спадає, а праворуч – строго зростає. Для розв’язку поставленої задачі на практиці, як правило, застосовують наближені методи. Вони дозволяють знайти рішення цієї задачі з необхідною точністю в результаті визначення кінцевого числа значень функції і її похідних в деяких точках відрізка . Методи, які використовують тільки значення функції і які не потребують обчислення її похідних, називаються прямими методами мінімізації.
Великою перевагою прямих методів є те, що від цільової функції не потрібно диференційовності і, більше того, вона може бути не задана в аналітичному вигляді. Єдине, на чому грунтуються алгоритми прямих методів мінімізації, це можливість визначення значень функції в заданих точках. До найбільш поширени прямих методів можна віднести метод рівномірного пошуку, метод ділення відрізка навпіл, метод золотого перетину та метод Фібоначі. Сьогодні розглянемо перший з них.
Отже, основна ідея методу рівномірного пошуку (є найпростішим серед перерахованих вище методів) полягає в тому, що інтервал невизначеності розбивається на рівновіддалених точок, та знаходиться значення функції в них. Після цього, шляхом порівняння величин знаходиться деяка точку , в якій значення функції найменше. Дане значення вказує на те, що шукана точка мінімуму * належить інтервалу .
Далі, на основі вищесказаного сформулюємо більш детальний алгоритм розглядуваного методу, після чого застосуємо його для мінімізації деякої функції на заданому інтервалі. Отже, алгоритм методу рівномірного пошуку наступний:
- Вибравши деякий крок , розбиваємо інтервал невизаченості на частин .
- Обчислюємо значення функції в знайдених точках .
- Серед отриманих точок знаходимо точку , в якій функція приймає найменшого значення .
- Точка мінімуму належить інтервалу , на якому, в якості наближеного розв’язку може бути обрана точка , тобто .
Мінімізація функції однієї змінної методом рівномірного пошуку – приклад:
Використовуючи метод рівномірного пошуку, знайти мінімальне значення функції на інтервалі .
Для цього, на першому кроці, розбиваємо інтервал невизначеності, наприклад, на частин, та обчислимо значення заданої функції в знайдених точках. Результати обчислень містяться в наступній таблиці:
Серед отриманих точок вибираємо ту, в якій функція приймає мінімальне значення. В нашому випадку такою являється точка , її і приймаємо в якості шуканої точки мінімуму.
Зауваження: для отримання більш точного значення, на практиці доволі часто проробляють аналогічну процедуру декілька разів. Тобто, в результаті виконання першого кроку отримують деякий новий інтервал невизначеності . Його, знову-таки ділимо на декілька части, в результаті чого приходимо до нового інтервалу . Продовжуючи даний процес далі, отримуємо як завгодно малий інтервал (довжина якого, як правило, менший від заданого числа ), який міститиме більш точне значення точки мінімуму.