Похідна котангенса в квадраті часто з’являється в задачах із тригонометричними перетвореннями, дослідженням функцій та знаходженням екстремумів. І тут дуже легко припуститися помилки, якщо неуважно розглянути цей запис. Адже квадрат котангенса — це саме квадрат значення функції, а не котангенс від квадрата аргументу. Тому відразу зафіксуймо будову виразу: маємо складену функцію, де зовнішня частина — піднесення до квадрату, а внутрішня — котангенс. Саме такий підхід допомагає без плутанини застосувати правила диференціювання й отримати правильний результат.
Похідна Котангенса в Квадраті: Основна Формула та Графіки
Почнемо з формули, яка найчастіше потрібна на практиці. Нехай
\[
y=\cot^2(x).
\]
Тоді похідна дорівнює
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\cot^2(x)\bigr)=\bigl(\cot^2(x)\bigr)’=-\frac{2\cdot \cos(x)}{\sin^3(x)}.
\]
Цей запис варто одразу запам’ятати, але ще важливіше — зрозуміти, звідки він береться. Крім того, потрібно пам’ятати про область визначення. І сама функція \( \cot^2(x) \), і її похідна не визначені в тих точках, де \( \sin(x)=0 \). Тобто мова йде про точки виду \( x=\pi \cdot k \), де \( k \in \mathbb{Z} \). Саме тут котангенс має розриви, а отже ці значення не можна ігнорувати під час аналізу функції.
Тепер подивимося на зображення вище. Що дають ці графіки на практиці? Насамперед видно, що функція \( \cot^2(x) \) не буває від’ємною, бо квадрат не може дати від’ємне значення. Далі помітно, що поблизу точок розриву значення функції різко зростають. А похідна, своєю чергою, показує, на яких проміжках функція спадає, а на яких зростає. Саме за знаком похідної ми й встановлюємо таку поведінку функції на конкретних проміжках. Отже, графік похідної не просто дублює інформацію, а допомагає краще зрозуміти поведінку самої функції.
Крок за Кроком: Як Вивести Формулу Похідної
Тепер перейдемо до детального виведення. Запишемо функцію в більш явному вигляді:
\[
y=\cot^2(x)=\bigl(\cot(x)\bigr)^2.
\]
Такий запис одразу показує послідовність дій. Спочатку ми обчислюємо \( \cot(x) \), а вже потім підносимо результат до квадрату. Саме тому тут природно застосувати ланцюгове правило.
Зробимо проміжну заміну:
\[
u=\cot(x), \qquad y=u^2.
\]
Тоді за ланцюговим правилом маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
\]
Почнемо із зовнішньої функції. Якщо \( y=u^2 \), то її похідна за змінною \( u \) дорівнює
\[
\frac{dy}{du}=2\cdot u.
\]
Тепер переходимо до внутрішньої функції. Для \( u=\cot(x) \) відомо, що
\[
\frac{du}{dx}=\bigl(\cot(x)\bigr)’=-\csc^2(x).
\]
Саме знак «мінус» тут є принципово важливим, бо його дуже легко випадково загубити під час обчислень.
Підставляємо обидва результати в ланцюгове правило:
\[
\frac{dy}{dx}=2\cdot u \cdot \bigl(-\csc^2(x)\bigr).
\]
Отже,
\[
\frac{dy}{dx}=-2\cdot u \cdot \csc^2(x).
\]
Тепер повертаємося від змінної \( u \) до початкової функції:
\[
\frac{dy}{dx}=-2\cdot \cot(x)\cdot \csc^2(x).
\]
На цьому етапі похідна вже знайдена, і цей запис є правильним. Більше того, це вже готова відповідь в одній зі стандартних форм. Проте в багатьох задачах зручніше працювати не через котангенс і косеканс, а через синус і косинус. Чому? Тому що саме в такому вигляді легше спрощувати вирази, зводити дроби до спільного знаменника та досліджувати знак похідної.
Згадаємо тотожності:
\[
\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}, \qquad \csc^2(x)=\frac{1}{\sin^2(x)}.
\]
Підставляємо їх у вираз \( -2\cdot \cot(x)\cdot \csc^2(x) \):
\[
-2\cdot \cot(x)\cdot \csc^2(x) = -2\cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\cdot \frac{1}{\sin^2(x)}.
\]
Тепер перемножуємо дроби. У чисельнику маємо \( -2\cdot \cos(x) \), а в знаменнику отримуємо \( \sin(x)\cdot \sin^2(x)=\sin^3(x) \). Отже,
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\cot^2(x)\bigr)=-\frac{2\cdot \cos(x)}{\sin^3(x)}.
\]
Саме це і є формула, яку ми шукали. Зверніть увагу на важливу деталь: степінь у знаменнику дорівнює трьом не випадково. Один множник \( \sin(x) \) приходить із котангенса, а ще два — з \( \csc^2(x) \). Тому в результаті з’являється саме \( \sin^3(x) \).
Отже, схема виведення тут цілком чітка. Спочатку ми застосували ланцюгове правило, далі використали похідну котангенса, а потім переписали результат через синус і косинус. Саме така послідовність кроків і дає змогу без помилок отримати правильну формулу.
Похідна Котангенса в Квадраті: Розв’язання Прикладів
Після розбору формули логічно перейти до обчислень у конкретних виразах. Саме на практиці найкраще видно, як квадрат котангенса поєднується з іншими функціями та коли треба застосовувати правило добутку, частки або ланцюгове правило. Тому далі розглянемо кілька типових ситуацій і послідовно простежимо весь хід розв’язання.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=\cot^2(2 \cdot x+1)\cdot x \)
Тут маємо добуток двох функцій: \( x \) і квадрат котангенса від \( 2 \cdot x+1 \). Отже, застосовуємо правило добутку:
\[
y’=\bigl(\cot^2(2 \cdot x+1)\bigr)’\cdot x+\cot^2(2 \cdot x+1)\cdot (x)’.
\]
Другий доданок знаходиться одразу, бо \( (x)’=1 \). Тому він дорівнює просто \( \cot^2(2 \cdot x+1) \).
Тепер знайдемо \( \bigl(\cot^2(2 \cdot x+1)\bigr)’ \). Позначимо
\[
u=2 \cdot x+1,\quad z=\cot^2(u).
\]
Тоді
\[
\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
\]
Для зовнішньої частини \( z=\cot^2(u) \) використовуємо вже відому формулу:
\[
\frac{dz}{du}=-\frac{2 \cdot \cos(u)}{\sin^3(u)}.
\]
Похідна внутрішнього аргументу дорівнює
\[
\frac{du}{dx}=2.
\]
Тепер перемножуємо:
\[
\bigl(\cot^2(2 \cdot x+1)\bigr)’=2\cdot \left(-\frac{2 \cdot \cos(2 \cdot x+1)}{\sin^3(2 \cdot x+1)}\right)=-\frac{4 \cdot \cos(2 \cdot x+1)}{\sin^3(2 \cdot x+1)}.
\]
Повертаємося до правила добутку:
\[
y’=-\frac{4 \cdot \cos(2 \cdot x+1)}{\sin^3(2 \cdot x+1)}\cdot x+\cot^2(2 \cdot x+1).
\]
Отже,
\[
y’=-\frac{4x\cdot \cos(2 \cdot x+1)}{\sin^3(2 \cdot x+1)}+\cot^2(2 \cdot x+1).
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\dfrac{\cot^2(3 \cdot x-2)}{x^2+4} \)
Тут маємо частку, тому застосовуємо правило частки. Нехай
\[
u=\cot^2(3 \cdot x-2),\quad v=x^2+4.
\]
Тоді
\[
y’=\frac{u’\cdot v-u\cdot v’}{v^2}.
\]
Спочатку знайдемо похідну знаменника:
\[
v’=(x^2+4)’=2 \cdot x.
\]
Тепер переходимо до чисельника. Потрібно знайти \( u’=\bigl(\cot^2(3 \cdot x-2)\bigr)’ \). Позначимо
\[
t=3 \cdot x-2,\quad u=\cot^2(t).
\]
Тоді
\[
u’=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.
\]
Для похідної зовнішньої частини маємо:
\[
\frac{du}{dt}=-\frac{2 \cdot \cos(t)}{\sin^3(t)}.
\]
А похідна внутрішнього аргументу дорівнює
\[
\frac{dt}{dx}=3.
\]
Отже,
\[
u’=3\cdot \left(-\frac{2 \cdot \cos(3 \cdot x-2)}{\sin^3(3 \cdot x-2)}\right)=-\frac{6 \cdot \cos(3 \cdot x-2)}{\sin^3(3 \cdot x-2)}.
\]
Тепер підставляємо все у формулу для похідної частки:
\[
y’=\frac{-\frac{6 \cdot \cos(3 \cdot x-2)}{\sin^3(3 \cdot x-2)}\cdot (x^2+4)-\cot^2(3 \cdot x-2)\cdot 2 \cdot x}{(x^2+4)^2}.
\]
Отже,
\[
y’=\frac{-\frac{6 \cdot \cos(3 \cdot x-2)}{\sin^3(3 \cdot x-2)}(x^2+4)-2x\cot^2(3 \cdot x-2)}{(x^2+4)^2}.
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=\cot^2(x^2-5 \cdot x) \)
Це складена функція, де зовнішня частина — квадрат котангенса, а внутрішня — многочлен \( x^2-5 \cdot x \). Отже, тут працює ланцюгове правило.
Позначимо
\[
t=x^2-5 \cdot x,\quad y=\cot^2(t).
\]
Тоді
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.
\]
Похідна зовнішньої частини дорівнює
\[
\frac{dy}{dt}=-\frac{2 \cdot \cos(t)}{\sin^3(t)}.
\]
Похідна внутрішньої частини:
\[
\frac{dt}{dx}=(x^2-5 \cdot x)’=2 \cdot x-5.
\]
Тепер перемножуємо:
\[
y’=-\frac{2 \cdot \cos(x^2-5 \cdot x)}{\sin^3(x^2-5 \cdot x)}\cdot (2 \cdot x-5).
\]
Отже,
\[
y’=-\frac{(4 \cdot x-10)\cdot \cos(x^2-5 \cdot x)}{\sin^3(x^2-5 \cdot x)}.
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=\cot^2(x)\cdot \sin(x) \)
Знову маємо добуток, тому використовуємо правило добутку. Нехай
\[
u=\cot^2(x),\quad v=\sin(x).
\]
Тоді
\[
y’=u’\cdot v+u\cdot v’.
\]
Похідна від \( v=\sin(x) \) добре відома:
\[
v’=\cos(x).
\]
Тепер знайдемо \( u’=\bigl(\cot^2(x)\bigr)’ \). За основною формулою маємо:
\[
u’=-\frac{2 \cdot \cos(x)}{\sin^3(x)}.
\]
Підставляємо все в правило добутку:
\[
y’=-\frac{2 \cdot \cos(x)}{\sin^3(x)}\cdot \sin(x)+\cot^2(x)\cdot \cos(x).
\]
У першому доданку можна скоротити один множник \( \sin(x) \) у чисельнику і знаменнику:
\[
-\frac{2 \cdot \cos(x)}{\sin^3(x)}\cdot \sin(x)=-\frac{2 \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}.
\]
Тому остаточно отримуємо
\[
y’=-\frac{2 \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}+\cot^2(x)\cdot \cos(x).
\]
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=\cot^2(2 \cdot x)\cdot \cos(3 \cdot x) \)
Тут також маємо добуток, але тепер обидва множники є складеними. Саме в таких прикладах особливо важливо не пропустити жоден множник під час застосування ланцюгового правила.
Позначимо
\[
u=\cot^2(2 \cdot x),\quad v=\cos(3 \cdot x).
\]
Тоді
\[
y’=u’\cdot v+u\cdot v’.
\]
Почнемо з другого множника. Для \( v=\cos(3 \cdot x) \) маємо:
\[
v’=-\sin(3 \cdot x)\cdot 3=-3 \cdot \sin(3 \cdot x).
\]
Тепер знайдемо \( u’=\bigl(\cot^2(2 \cdot x)\bigr)’ \). Позначимо
\[
t=2 \cdot x,\quad u=\cot^2(t).
\]
Тоді
\[
u’=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.
\]
Похідна зовнішньої частини:
\[
\frac{du}{dt}=-\frac{2 \cdot \cos(t)}{\sin^3(t)}.
\]
Похідна внутрішньої частини:
\[
\frac{dt}{dx}=2.
\]
Отже,
\[
u’=2\cdot \left(-\frac{2\cdot \cos(2 \cdot x)}{\sin^3(2 \cdot x)}\right)=-\frac{4 \cdot \cos(2 \cdot x)}{\sin^3(2 \cdot x)}.
\]
Тепер повертаємося до правила добутку:
\[
y’=-\frac{4 \cdot \cos(2 \cdot x)}{\sin^3(2 \cdot x)}\cdot \cos(3 \cdot x)+\cot^2(2 \cdot x)\cdot \bigl(-3 \cdot \sin(3 \cdot x)\bigr).
\]
Отже,
\[
y’=-\frac{4 \cdot \cos(2 \cdot x)\cdot \cos(3 \cdot x)}{\sin^3(2 \cdot x)}-3 \cdot \cot^2(2 \cdot x)\cdot \sin(3 \cdot x).
\]
Наступний Крок: Рекомендовані Теми для Продовження
Після теми про квадрат котангенса цілком природно перейти до споріднених тригонометричних функцій. Так крок за кроком ви зможете краще побачити спільні правила, відмінності в формулах і типові підходи до розв’язання задач.
- Похідна синуса в квадраті: Формула, доведення, приклади — У статті йтиметься про формулу похідної, її виведення та типові задачі з квадратом синуса.
- Похідна косинуса в квадраті: Формула, доведення, приклади — Тут розберемо похідну квадрата косинуса, пояснення формули та приклади з детальним розв’язанням.
- Похідна тангенса в квадраті: Формула, доведення, приклади — У цій публікації буде показано, як знаходити похідну квадрата тангенса та застосовувати її в задачах.
Похідна Котангенса в Квадраті: Практика для Тих, Хто Програмує
Якщо вам подобається програмування, саме час перейти від математичної формули до її програмної реалізації: візьміть готову блок-схему, уважно пройдіться по її кроках і реалізуйте пошук точок-кандидатів на максимум або мінімум у своїй улюбленій мові програмування. Тут ви не просто обчислюєте похідну, а створюєте невеликий інструмент для дослідження поведінки функції на проміжку. Ви навчаєтеся працювати з кроком перебору, перевіркою умов і пропуском точок розриву, а потім можете порівняти результат програми з графіком і наочно побачити, як знання з математики допомагають розв’язувати практичні задачі.
