Похідна тангенса в квадраті часто трапляється в задачах із тригонометричними перетвореннями, дослідженням функцій і пошуком екстремумів. Тут легко переплутати схожі записи. Адже \( \tan^2(x) \) — це квадрат тангенса, тобто \( (\tan(x))^2 \), а не \( \tan(x^2) \). Тому одразу зафіксуймо структуру: маємо складену функцію, де зовнішня частина — піднесення до квадрату, а внутрішня — тангенс. Саме так найпростіше правильно організувати диференціювання.
Похідна Тангенса в Квадраті: Основна Формула та Графіки
Почнемо з формули, яка найчастіше потрібна в практиці. Нехай
\[
y=\tan^2(x).
\]
Тоді похідна дорівнює
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^2(x)\bigr)=\bigl(\tan^2(x)\bigr)’=\frac{2 \cdot \sin(x)}{\cos^3(x)}.
\]
Важливий нюанс: і функція \( \tan^2(x) \), і її похідна не визначені там, де \( \cos(x)=0 \). Тобто в точках виду \( x=\frac{\pi}{2}+\pi \cdot k \), де тангенс має розриви. Це на перший погляд дрібниця, але саме вона допомагає уникати помилок під час роботи з областю визначення.
Тепер подивимося, що видно на графіках. Функція \( \tan^2(x) \) всюди невід’ємна, бо квадрат не дає «мінуса». Біля точок, де \( \cos(x)=0 \), вона дуже швидко зростає і прямує до нескінченності. Похідна при цьому змінює знак залежно від проміжку, а отже підказує, де \( \tan^2(x) \) зростає, а де спадає. І якщо на певному проміжку похідна стає нульовою, то це сигнал про можливі локальні екстремуми в тих точках, де функція визначена.
Крок за Кроком: Виведення Формули Через Ланцюгове Правило
Переходимо до виведення крок за кроком. Запишемо функцію так, щоб її будова була максимально очевидною:
\[
y=\tan^2(x)=\bigl(\tan(x)\bigr)^2.
\]
Тут видно послідовність дій: спочатку обчислюємо \( \tan(x) \), а потім підносимо отримане значення до квадрату. Отже, застосовуємо ланцюгове правило.
Зробимо заміну:
\[
u=\tan(x), \qquad y=u^2.
\]
Тоді за ланцюговим правилом маємо:
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
\]
Знаходимо кожну похідну окремо. Для зовнішньої функції \( y=u^2 \) маємо:
\[
\frac{dy}{du}=2 \cdot u.
\]
Для внутрішньої функції \( u=\tan(x) \) відомо:
\[
\frac{du}{dx}=\bigl(\tan(x)\bigr)’=\sec^2(x).
\]
Тепер перемножуємо:
\[
\frac{dy}{dx}=2 \cdot u \cdot \sec^2(x).
\]
Повертаємося від \( u \) до \( \tan(x) \):
\[
\frac{dy}{dx}=2 \cdot \tan(x) \cdot \sec^2(x).
\]
На цьому етапі похідна вже знайдена, і цей запис є коректним. Далі перепишемо його через синус і косинус, бо саме так часто зручніше працювати в задачах.
Згадаємо співвідношення:
\[
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \qquad \sec^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.
\]
Підставляємо їх у формулу \( 2 \cdot \tan(x) \cdot \sec^2(x) \):
\[
2 \cdot \tan(x) \cdot \sec^2(x) = 2 \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}.
\]
Перемножуємо дроби. У знаменнику отримуємо \( \cos(x) \cdot \cos^2(x) = \cos^3(x) \), а в чисельнику — \( 2 \cdot \sin(x) \). Отже:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\tan^2(x)\bigr) = \frac{2 \cdot \sin(x)}{\cos^3(x)}.
\]
Зверніть увагу, чому в знаменнику саме \( \cos^3(x) \): один множник \( \cos(x) \) береться з тангенса, а ще два — з \( \sec^2(x) \). І знову важливо пам’ятати умову \( \cos(x)\neq 0 \), інакше вираз не визначений.
Похідна Тангенса в Квадраті: Розв’язання Прикладів
Переходимо до практики й закріпимо формулу на задачах. У типових вправах квадрат тангенса майже завжди входить до складнішого виразу, тому важливо чітко бачити, де саме стоїть квадрат тангенса і яке правило диференціювання треба застосувати. Далі в кожному прикладі рухатимемося однаково: виділяємо складену частину, а потім послідовно використовуємо потрібні правила.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( y=\tan^2(2 \cdot x+3) \cdot x \)
Тут маємо добуток двох функцій: \( x \) і квадрат тангенса від \( 2 \cdot x+3 \). Отже, використовуємо правило добутку:
\[
y’=\bigl(\tan^2(2 \cdot x+3)\bigr)’ \cdot x+\tan^2(2 \cdot x+3) \cdot (x)’.
\]
З другим доданком усе просто, бо \( (x)’=1 \), тому він дорівнює \( \tan^2(2 \cdot x+3) \).
Тепер знайдемо \( \bigl(\tan^2(2 \cdot x+3)\bigr)’ \). Позначимо
\[
u=2 \cdot x+3,\quad z=\tan^2(u).
\]
Тоді
\[
\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
\]
Зовнішня похідна для \( z=\tan^2(u) \) за відомою формулою:
\[
\frac{dz}{du}=\frac{2 \cdot \sin(u)}{\cos^3(u)}.
\]
А похідна внутрішнього аргументу:
\[
\frac{du}{dx}=2.
\]
Отже,
\[
\bigl(\tan^2(2 \cdot x+3)\bigr)’=2 \cdot \frac{2 \cdot \sin(2 \cdot x+3)}{\cos^3(2 \cdot x+3)}=\frac{4 \cdot \sin(2 \cdot x+3)}{\cos^3(2 \cdot x+3)}.
\]
Повертаємося до правила добутку:
\[
y’=\frac{4 \cdot \sin(2 \cdot x+3)}{\cos^3(2 \cdot x+3)}\cdot x+\tan^2(2 \cdot x+3).
\]
Приклад 2. Знайти похідну функції \( y=\dfrac{\tan^2(3 \cdot x-1)}{x^2+1} \)
Це частка, тому застосовуємо правило частки. Нехай
\[
u=\tan^2(3 \cdot x-1),\quad v=x^2+1.
\]
Тоді
\[
y’=\frac{u’\cdot v-u\cdot v’}{v^2}.
\]
Знайдемо \( v’ \):
\[
v’=(x^2+1)’=2 \cdot x.
\]
Тепер переходимо до \( u’=\bigl(\tan^2(3 \cdot x-1)\bigr)’ \). Позначимо
\[
t=3 \cdot x-1,\quad u=\tan^2(t).
\]
Тоді
\[
u’=\frac{du}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}.
\]
Маємо
\[
\frac{du}{dt}=\frac{2 \cdot \sin(t)}{\cos^3(t)},\qquad \frac{dt}{dx}=3.
\]
Отже,
\[
u’=3\cdot \frac{2 \cdot \sin(3 \cdot x-1)}{\cos^3(3 \cdot x-1)}=\frac{6 \cdot \sin(3 \cdot x-1)}{\cos^3(3 \cdot x-1)}.
\]
Підставляємо все в правило частки:
\[
y’=\frac{\frac{6 \cdot \sin(3 \cdot x-1)}{\cos^3(3 \cdot x-1)}\cdot (x^2+1)-\tan^2(3 \cdot x-1)\cdot 2 \cdot x}{(x^2+1)^2}.
\]
Приклад 3. Знайти похідну функції \( y=\tan^2(x^2-4 \cdot x) \)
Це складена функція, де зовнішня частина — квадрат тангенса, а внутрішня — многочлен \( x^2-4 \cdot x \). Позначимо
\[
t=x^2-4 \cdot x,\quad y=\tan^2(t).
\]
Тоді за ланцюговим правилом
\[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}.
\]
Похідна зовнішньої частини:
\[
\frac{dy}{dt}=\frac{2 \cdot \sin(t)}{\cos^3(t)}.
\]
Похідна внутрішньої частини:
\[
\frac{dt}{dx}=(x^2-4 \cdot x)’=2 \cdot x-4.
\]
Отже,
\[
y’=\frac{2 \cdot \sin(x^2-4 \cdot x)}{\cos^3(x^2-4 \cdot x)}\cdot(2 \cdot x-4).
\]
За бажанням можна винести множник \( 2 \):
\[
y’=\frac{4 \cdot (x-2) \cdot \sin(x^2-4 \cdot x)}{\cos^3(x^2-4 \cdot x)}.
\]
Приклад 4. Знайти похідну функції \( y=\tan^2(x)\cdot \sin(x) \)
Знову маємо добуток, тому працює правило добутку. Нехай
\[
u=\tan^2(x),\quad v=\sin(x).
\]
Тоді
\[
y’=u’\cdot v+u\cdot v’.
\]
Похідна \( v \) відома:
\[
v’=\cos(x).
\]
Тепер знайдемо \( u’=\bigl(\tan^2(x)\bigr)’ \). За основною формулою:
\[
u’=\frac{2 \cdot \sin(x)}{\cos^3(x)}.
\]
Підставляємо в правило добутку:
\[
y’=\frac{2 \cdot \sin(x)}{\cos^3(x)}\cdot \sin(x)+\tan^2(x) \cdot \cos(x).
\]
Перший доданок можна записати як
\[
\frac{2 \cdot \sin^2(x)}{\cos^3(x)},
\]
тому остаточно:
\[
y’=\frac{2 \cdot \sin^2(x)}{\cos^3(x)}+\tan^2(x) \cdot \cos(x).
\]
Приклад 5. Знайти похідну функції \( y=\tan^2(2 \cdot x)\cdot \cos(3 \cdot x) \)
Тут також добуток, але обидва множники — складені. Нехай
\[
u=\tan^2(2 \cdot x),\quad v=\cos(3 \cdot x).
\]
Тоді
\[
y’=u’\cdot v+u\cdot v’.
\]
Почнемо з \( v’ \). Для \( v=\cos(3 \cdot x) \) маємо:
\[
v’=-\sin(3 \cdot x)\cdot 3=-3 \cdot \sin(3 \cdot x).
\]
Тепер знайдемо \( u’=\bigl(\tan^2(2 \cdot x)\bigr)’ \). Позначимо
\[
t=2 \cdot x,\quad u=\tan^2(t).
\]
Тоді
\[
u’=\frac{du}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}.
\]
Маємо
\[
\frac{du}{dt}=\frac{2 \cdot \sin(t)}{\cos^3(t)},\qquad \frac{dt}{dx}=2.
\]
Отже,
\[
u’=2 \cdot \frac{2 \cdot \sin(2 \cdot x)}{\cos^3(2 \cdot x)}=\frac{4 \cdot \sin(2 \cdot x)}{\cos^3(2 \cdot x)}.
\]
Повертаємося до правила добутку:
\[
y’=\frac{4 \cdot \sin(2 \cdot x)}{\cos^3(2 \cdot x)}\cdot \cos(3 \cdot x)+\tan^2(2 \cdot x)\cdot \bigl(-3 \cdot \sin(3 \cdot x)\bigr).
\]
Отже,
\[
y’=\frac{4 \cdot \sin(2 \cdot x) \cdot \cos(3 \cdot x)}{\cos^3(2 \cdot x)}-3 \cdot \tan^2(2 \cdot x) \cdot \sin(3 \cdot x).
\]
Наступні Кроки: Куди Рухатися Далі
Якщо тема вже стала зрозумілою, логічно зробити наступний крок і розширити набір похідних, з якими ви працюватимете на практиці. Адже в задачах тригонометрія рідко обмежується лише однією функцією, чи не так?
- Похідна синуса в квадраті: Формула, доведення, приклади — Розберемо правило диференціювання, пояснимо виведення та відпрацюємо типові задачі з різними аргументами.
- Похідна косинуса в квадраті: Формула, доведення, приклади — Порівняємо форми запису похідної, покажемо доведення та навчимося швидко знаходити похідні в складених виразах.
- Похідна котангенса в квадраті: Формула, доведення, приклади — З’ясуємо, як працює ланцюгове правило для котангенса, і розглянемо приклади з добутком та часткою.
Похідна Тангенса в Квадраті: Від Формули до Вашого Коду
Якщо вам подобається програмування, саме час перетворити математику на працюючий алгоритм: візьміть готову блок-схему, пройдіться по ній крок за кроком і реалізуйте пошук точок-кандидатів на локальні екстремуми у своїй улюбленій мові. Ви одразу побачите, як похідна керує логікою перевірок, чому важливо пропускати точки біля розривів і як параметри кроку та точності впливають на список знайдених значень. А найприємніше — ви зможете порівняти результат роботи програми з графіком і переконатися, що все збігається, хіба це не найкраща перевірка того, що тема справді засвоєна?
