Зовнішній кут трикутника – це кут, утворений однією стороною і прилеглою розширеною стороною трикутника.
Сума зовнішніх кутів трикутника завжди дорівнює 360º. Тому, залежно від типу трикутника, ми можемо застосувати різні методи, щоб знайти міру кожного кута.
Тут ми дізнаємось, як визначати міру зовнішніх кутів різних типів трикутників. Крім того, спробуємо розв’язати деякі практичні приклади.
Навігація по сторінці.
Що таке зовнішній кут трикутника?
Коли будь-яка сторона трикутника подовжується, кут, утворений цією та прилеглою до неї стороною, називається зовнішнім кутом трикутника.
У трикутника три зовнішні кути. Ми знаємо, що внутрішній кут трикутника утворюється всередині нього там, де сторони стикаються у вершині. Зверніть увагу на наступний малюнок, щоб відрізнити внутрішні та зовнішні кути трикутника.
Слід також зазначити, що кожен внутрішній кут трикутника утворює лінійну пару з відповідним зовнішнім кутом. Це означає, що сума кожного зовнішнього кута та його відповідного внутрішнього кута дорівнює 180º.
Властивості зовнішнього кута трикутника.
Існують три основні властивості зовнішніх кутів трикутника:
- у трикутнику кожен зовнішній кут і відповідний йому внутрішній кут утворюють лінійну пару кутів. Це означає, що сума внутрішнього та зовнішнього кутів дорівнює 180º;
- зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох протилежних внутрішніх кутів (віддалених внутрішніх кутів). Це також відомо як теорема про зовнішній кут трикутника;
- сума всіх зовнішніх кутів трикутника дорівнює 360º.
Теорема про зовнішній кут трикутника.
Теорема про зовнішній кут трикутника стверджує, що міра будь-якого зовнішнього кута дорівнює сумі величин двох протилежних (віддалених) внутрішніх кутів трикутника.
Доведемо теорему за допомогою відомих властивостей трикутника. Для цього, розглянемо трикутник ABC. Зазначимо, що для даного трикутника виконується рівність ∠A+∠B+∠C=180º (властивість суми кутів трикутника). Тоді, ∠A=180º-(∠B+∠C).
Як зазначалося вище, α=180º-∠A (лінійна пара кутів). Підставляючи значення для кута A у останню рівність, матимемо:
Таким чином, зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох протилежних його внутрішніх кутів, що і треба було довести.
Як знайти зовнішній кут трикутника?
Зовнішні кути утворюються розширенням сторін трикутника. Залежно від типу трикутника розміри кожного зовнішнього кута будуть змінюватися, але сума завжди залишатиметься незмінною.
Зовнішні кути рівностороннього трикутника.
Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони однакові за довжиною та всі внутрішні кути однакової міри. Це означає, що всі його зовнішні кути також мають однакову міру.
Оскільки загальна сума зовнішніх кутів дорівнює 360º, ми можемо розділити її на 3, щоб отримати розмір кожного зовнішнього кута в рівносторонньому трикутнику.
Таким чином, кожен зовнішній кут дорівнює 120º.
Зовнішні кути рівнобедреного трикутника.
Рівнобедрений трикутник – це трикутник, у якого дві сторони однакової довжини. Так само ці трикутники мають два внутрішні кути однакової міри. Це означає, що два зовнішні кути також матимуть однакову міру.
Щоб визначити розміри зовнішніх кутів, нам потрібна міра принаймні одного зовнішнього або внутрішнього кута.
В такому випадку, ми використовуємо факти, що сума зовнішніх кутів дорівнює 360º, а сума внутрішнього кута та відповідного йому зовнішнього кута дорівнює 180º.
Зовнішні кути різностороннього трикутника.
У різносторонньому трикутнику всі сторони мають різну довжину та всі внутрішні кути різної міри. Це означає, що всі його зовнішні кути також мають різну міру.
Отже, щоб знайти зовнішній кут триктуника такого типу, нам потрібно знати величину двох внутрішніх або двох зовнішніх кутів.
Приклади задач та практичних запитань на тему «Зовнішні кути трикутника».
Приклад 1: внутрішній кут трикутника дорівнює 56º. Яка градусна міра відповідного йому зовнішнього кута?
Отже, відповідно до властивостей зовнішнього кута трикутника кожен внутрішній кут утворює лінійну пару з відповідним зовнішнім кутом. Це означає, що сума зовнішнього та внутрішнього кут дорівнює 180º.
За умовою один внутрішній кут дорівнює 56º. Тому відповідний йому зовнішній кут можна обчислити якщо від 180º відняти величину заданого внутрішнього кута.
Таким чином зовнішній кут трикутника дорівнює 180º-56º=124º.
Приклад 2: знайти градусну міру відсутніх зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника.
Зазначимо, що кути, зображені одинарною дугою, мають однакову міру. Отже, кут γ=130º.
Щоб знайти величину кута β, від 360 градусів віднімаємо міри відомих кутів. В результаті отримаємо:
Таким чином, кут β дорівнює 100º.
Приклад 3: знайти градусну міру всіх зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника.
Зазначимо, що у цьому випадку ми маємо міру внутрішнього кута. Тому, віднімаючи заданий кут від 180º ми можемо знайти міру відповідного йому зовнішнього кута:
Міра кута β дорівнює 110º. Тепер, щоб знайти розміри інших двох зовнішніх кутів, від 360º віднімемо величину відомого внутрішнього кута:
Оскільки обидва кути рівні, ділимо 250º на 2. В результаті матимемо:
Таким чином, кути α і γ дорівнюють 125º.
Приклад 4: для зображеного нижче трикутнику, визначте величину відсутнього зовнішнього кута.
Отже, щоб знайти величину кута β, віднімаємо від 360 градусів міри відомих кутів. В результаті отримаємо:
Таким чином, кут β дорівнює 120º.
Дивіться також:
Хочете дізнатися більше про кути трикутника та інших багатокутників? Перегляньте ці сторінки:
- Внутрішні кути трикутника – означення та приклади.
- Внутрішні кути багатокутника – формула та приклади.
- Зовнішні кути багатокутника – формула та приклади.
Блок-схема алгоритму для знаходження кута трикутника
