Формули для обчислення площі трапеції

Часто, для обчислення площі деякого многокутника його розбивають на декілька трикутників і знаходять шукану площу як суму площ цих трикутників. Саме такий підхід можна застосувати для виведення формули площі трапеції.

Формула площі трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту і визначається за формулою:

Формула площі трапеції

Для доведення даного твердження проведемо діагональ AC і висоту AK трапеції ABCD.

Формула площі трапеції - доведення

Відрізки AK і CH є висотами трикутників ABC і ACD відповідно. Отже:

Формула площі трапеції - доведення

Зауваження: виходячи з того, що середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ, то формула площі трапеції може бути переписана в дещо іншому вигляді: Формула площі трапеції через середню лінію (площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту).

Знайти площу трапеції можна скориставшись загальною для всіх чотрикутників формулою, тобто знайти її площу через діагоналі та кут який вони між собою утворюють.

Площа трапеції формула через діагоналі

Оскільки sin(β) = sin(α), то у формулах площі трапеції через діагоналі не важливо який із кутів між ними брати:

Площа трапеції формула через діагоналі

Зазначимо, що для доведення даної формули достатньо розбити трапецію на чотири трикутники, виразити площу кожного через половину добутку діагоналей на синус кута між ними і просумувати отримані вирази.

Зауваження: якщо позначити довжини основ, діагоналей, висоти та середньої лінії буквами BC = a, AD = bAC = d1, BD = d2CH = h та KL = k відповідно, то формули площі трапеції перепишуться у більш звичній буквенній формі:

Формули площі трапеції

Приклад 1: знайти площу трапеції, основи якої дорівнюють 3 см і 5 см, а висота 4 см.

Скориставшись формулою обчислення площі трапеції через основи і висоту матимемо:

Площа трапеції дорівнює 16 см^2

Приклад 2: чому дорівнює площа прямокутної трапеції, якщо довжина однієї з її діагоналей дорівнює 4 см, друга діагональ вдвічі більша, а кут між діагоналями дорівнює 30 градусів.

Отже, для початку знайдемо довжину другої діагоналі:

BD = 8 см

Далі, скориставшись формулою обчислення площі трапеції через діагоналі, знайдемо рішення задачі:

Площа прямокутної трапеції дорівнює 8 см^2

Приклад 3: у трапеції ABCD з основами  та  AD = 18 см, BC = 8 см і AB = CD = 13 см. Скільки квадратних сантиметрів дорівнює площа рівнобічної трапеції.

Площа рівнобічної трапеції

Проведемо висоти BE та CF. Трикутники ABE та FCD рівні по катету (BE = CF) та гіпотенузі (AB = CD). Звідси, AE = FD.

У чотирикутника EBCF всі кути прямі, тому це прямокутник. Тоді EF = 8 см, AE = 5 см.

З трикутника ABE, за теоремою Піфагора, знаходимо довжину катита BE:

BE = 12 см

Отже, площа рівнобочної трапеції дорівнює:

Площа рівнобічної трапеції дорівнює 156 см^2

Приклад 4: основи трапеції дорівнюють 10 см і 35 см, а бічно сторони – 15 см і 20 см. Знайти площу трапеції.

Площа трапеції

Проведемо через вершину C пряму CE, паралельну AB. Оскільки, за побудовою, ABCEпаралелограм, то CE = 15 см, AE = 10 см і ED = 25 см.

Сторони трикутника ECD пропорційні числам 3, 4, 5, а отже, за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, він є прямокутним з гапотенузою ED. Знайдемо висоту цього трикутника, яка водночас є висотою заданої трапеції:

CF = 12 см

Отже,

Площа трапеції дорівнює 270 см^2

Приклад 5: діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут, який дорівнює 60 градусів. Чому дорівнює площа рівнобічної трапеції, якщо її менша основа дорівнює 10 см.

Площа рівнобічної трапеції

Оскільки AC – бісектриса, то Кут 1 дорівнює куту 2Кут 1 рівний куту 2, як внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC і AD та січній AC. Отже, Кут 1 дорівнює куту 3, тому трикутник ABC рівнобедренний з основою AC та бічними сторонами AB = BC = 10 см.

Проведемо далі висоти BK і CH (BK = CH). Зазначимо, що, в даному випадку, ми отримали два трикутника ABK та HCD, які є рівними за гіпотенузою і катетом. Отже, AK = HD.

У прямокутному трикутнику ABK Кут А дорівнює 60 градусів, тому Кут АBK дорівнює 30 градусів і AK = AB / 2, як катет, який лежить проти кута 30 градусів. Звідси, AK = 5 см і, виходячи з того, що KH = BC = 10 см, отримаємо:

AD = 20 см

Далі, знову-таки, скориставшись прямокутним трикутникам ABK, за теоремою Піфагора, знайдемо висоту трапеції:

BK = 8.66025 см

Отже, площа рівнобічної трапеції дорівнює:

Площа рівнобічної трапеції дорівнює 129.904 см^2

  1. Який чотирикутник називається трапецією?
  2. Як називаються паралельні сторони трапеції?
  3. За якою формулою обчислюють площу трапеції?
  4. Запишіть загальну для всіх чотирьокутників формулу обчислення площі.
  5. Який кут необхідно використати для обчислення площі трапеції через діагоналі?
  6. Довжини сторін трапеці задані в сантиметрах. Якою буде одиниця виміру її площі?

Блок-схема алгоритму знаходження площі трапеції

Площа трапеції блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*