Як відомо, трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні. Паралельні сторони називаються основами трапеції, а дві інші – боковими сторонами.

Периметр трапеції

Трапеція ABCD

Так як у трапеції всі сторони можуть бути абсолютно різними по довжині, то обчислити периметр трапеції можна за формулою периметра чотирикутника: Периметр трапеції - формула.

Якщо трапеція рівнобічна, тобто її бічні сторони рівні, то формула периметра трапеції перепишеться в дещо іншому вигляду: Периметр рівнобічної трапеції - формула, де  та  – основи трапеції і  – одна з її бічних сторін.

Периметр трапеції

Зображення трапеції та її середньої лінії

Зауваження: периметр трапеції, також, можна знайти не знаючи довжин основ, але знаючи довжину середньої лінії . Середня лінія, по визначенню, дорівнює півсумі основ трапеції, тому, помноживши на два, можна підставити її замість основ у формулі периметра: Периметр трапеції за середньою лінією - формула.

Площа трапеції

Зображення трапеції та її висоти

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту і визначається за формулою:

Площа трапеції - формула

Для доведення даного твердження проведемо діагональ  і висоту  трапеції . Відрізки  і  є висотами трикутників  і  відповідно. Отже:

Зауваження: виходячи з того, що середня лінія трапеції дорівнює півсумі її основ, то формулу площі трапеції можна переписати в дещо іншому вигляді: Площа трапеції за середньою лінією - формула (площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту).

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту

Зауваження: якщо позначити довжини сторін, висоти та середньої лінії буквами  та  відповідно, то формули периметра і площі трапеції перепишуться у більш звичній буквенній формі:

Периметр і площа трапеції – приклади:

Приклад 1: периметр рівнобічної трапеції дорівнює . Знайти довжину бічної сторони, якщо основи трапеції рівні  і  відповідно.

Як відомо, периметр рівнобічної трапеції обчислюється за формулою: Периметр рівнобічної трапеції - формула, де  – бічна сторона. Її довжина, помножена на два дорівнює: . Отже, довжина бокової сторони становить: .

Приклад 2: знайти периметр прямокутної трапеції, якщо її основи дорівнюють  і  відповідно, а менша бічна сторона дорівнює .

Периметр трапеції приклад

Прямокутна трапеція ABCD

Опустимо висоту з вершини . Оскільки трапеція прямокутна, то  і . Тоді, . Розглянемо далі трикутник . Зазначимо, що даний трикутник є прямокутним, для якого сторона  являється гіпотенузою. Знайдемо її по теоремі Піфагора:

Після цього, периметр трапеції  знайдемо за формулою .

Приклад 3: діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її гострий кут, який дорівнює . Знайти площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює .

Площа трапеції приклад

Рівнобічна трапеція ABCD

Оскільки  – бісектриса, то , як внутрішні різносторонні при паралельних прямих  і  та січній . Отже, , тому трикутник  рівнобедренний з основою  та бічними сторонами .

Проведемо далі висоти  і  (). Зазначимо, що, в даному випадку, ми отримали два трикутника  та , які являються рівними за гіпотенузою і катетом. Отже, .

У прямокутному трикутнику  , тому  і , як катет, який лежить проти кута . Звідси,  і, виходячи з того, що , отримаємо .

Далі, знову-таки, скориставшись прямокутним трикутникам , за теоремою Піфагора, знайдемо висоту трапеції .

Отже, площа трапеції дорівнює:

Блок-схема алгоритму знаходження периметра трапеції

Периметр трапеції блок-схема

Блок-схема алгоритму знаходження площі трапеції

Площа трапеції блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*