Таблиця інтегралів — це зручний набір готових формул, які допомагають швидко знаходити первісні для основних функцій. Навіщо щоразу виконувати складні перетворення, якщо потрібна формула вже відома? Саме тому таблиця стає одним із головних інструментів під час вивчення інтегрального числення. Вона спрощує обчислення, допомагає перевіряти розв’язання та дає змогу зосередитися на виборі правильного способу інтегрування.
Таблиця Інтегралів: Формули для Елементарних Функцій
Почнемо з найуживаніших формул. Вони охоплюють степеневі, показникові, тригонометричні та обернені тригонометричні функції. У кожній формулі \( C \) позначає довільну сталу. Чому її потрібно додавати? Річ у тім, що похідна будь-якої сталої дорівнює нулю. Отже, для однієї функції існує нескінченно багато первісних, які відрізняються лише сталим доданком.
| Функція | Інтеграл |
|---|---|
| \( k \) | \( \int k\,dx=k\cdot x+C \) |
| \( x^n \) | \( \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( \int \frac{1}{x}\,dx=\ln\left(\lvert x\rvert\right)+C \) |
| \( e^x \) | \( \int e^x\,dx=e^x+C \) |
| \( a^x \) | \( \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln(a)}+C \) |
| \( \sin(x) \) | \( \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C \) |
| \( \cos(x) \) | \( \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C \) |
| \( \frac{1}{\sin^2(x)} \) | \( \int \frac{1}{\sin^2(x)}\,dx=-\cot(x)+C \) |
| \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) | \(\int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx=\tan(x)+C \) |
| \( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \) | \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\,dx=\frac{1}{\cos(x)}+C \) |
| \( \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \) | \( \int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\,dx=-\frac{1}{\sin(x)}+C \) |
| \( \tan(x) \) | \( \int \tan(x)\,dx=-\ln\left(\lvert\cos(x)\rvert\right)+C \) |
| \( \cot(x) \) | \( \int \cot(x)\,dx=\ln\left(\lvert\sin(x)\rvert\right)+C \) |
| \( \frac{1}{1+x^2} \) | \( \int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C \) |
| \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) | \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(x)+C \) |
| \( \frac{1}{a^2+x^2} \) | \( \int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx=\frac{1}{a}\cdot\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C \) |
| \( \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \) | \( \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C \) |
| \( \frac{1}{x^2-a^2} \) | \( \int \frac{1}{x^2-a^2}\,dx=\frac{1}{2\cdot a}\cdot\ln\left(\left\lvert\frac{x-a}{x+a}\right\rvert\right)+C \) |
| \( \frac{1}{a^2-x^2} \) | \( \int \frac{1}{a^2-x^2}\,dx=\frac{1}{2\cdot a}\cdot\ln\left(\left\lvert\frac{a+x}{a-x}\right\rvert\right)+C \) |
| \( \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \) | \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx=\ln\left(\left\lvert x+\sqrt{x^2+a^2}\right\rvert\right)+C \) |
| \( \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} \) | \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\,dx=\ln\left(\left\lvert x+\sqrt{x^2-a^2}\right\rvert\right)+C \) |
Отже, таблиця дає готову відповідь тоді, коли підінтегральна функція відповідає одній із наведених форм. Проте на практиці вираз може містити сталі множники або кілька доданків. Що робити в такому разі? Потрібно використати властивості невизначеного інтеграла, а потім застосувати відповідні табличні формули.
Практична Частина: Таблиця Інтегралів у Прикладах
Тепер перейдемо до обчислень. У кожному прикладі спочатку визначимо вид підінтегральної функції, а потім виберемо відповідну формулу з таблиці. Такий підхід допомагає не лише знайти інтеграл, а й зрозуміти послідовність розв’язання.
Приклад 1. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int x^5\,dx.
\]
Підінтегральна функція \( x^5 \) є степеневою. Тому скористаємося формулою:
\[
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
\]
У нашому випадку \( n=5 \). Збільшуємо показник степеня на одиницю, а потім ділимо на отримане число:
\[
\int x^5\,dx
=
\frac{x^{5+1}}{5+1}+C
=
\frac{x^6}{6}+C.
\]
Перевіримо знайдену первісну за допомогою похідної:
\[
\left(\frac{x^6}{6}\right)’
=
\frac{1}{6}\cdot 6\cdot x^5
=
x^5.
\]
Отже, обчислення виконано правильно.
Приклад 2. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int \left(e^x+\cos(x)\right)\,dx.
\]
Під знаком інтеграла маємо суму двох функцій. Тому інтеграл суми можна подати як суму відповідних інтегралів:
\[
\int \left(e^x+\cos(x)\right)\,dx
=
\int e^x\,dx+\int \cos(x)\,dx.
\]
Тепер використаємо дві формули з таблиці:
\[
\int e^x\,dx=e^x+C,
\qquad
\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.
\]
Після підстановки маємо:
\[
\int \left(e^x+\cos(x)\right)\,dx
=
e^x+\sin(x)+C.
\]
Чому записуємо лише одну сталу \( C \)? Сума кількох довільних сталих також є довільною сталою, тому її позначають однією літерою.
Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int \left(\frac{3}{x}-2\cdot\sin(x)\right)\,dx.
\]
Спочатку подамо інтеграл різниці як різницю двох інтегралів. Сталі множники винесемо за знак інтеграла:
\[
\int \left(\frac{3}{x}-2\cdot\sin(x)\right)\,dx
=
3\cdot\int \frac{1}{x}\,dx
–
2\cdot\int \sin(x)\,dx.
\]
Для першого інтеграла використовуємо формулу:
\[
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln\left(\lvert x\rvert\right)+C.
\]
Для другого інтеграла маємо:
\[
\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C.
\]
Після підстановки отримуємо:
\[
3\cdot\int \frac{1}{x}\,dx
–
2\cdot\int \sin(x)\,dx
=
3\cdot\ln\left(\lvert x\rvert\right)
–
2\cdot\left(-\cos(x)\right)+C.
\]
Перед другим інтегралом стоїть знак мінус, а первісна синуса також має знак мінус. Тому після спрощення отримуємо знак плюс:
\[
\int \left(\frac{3}{x}-2\cdot\sin(x)\right)\,dx
=
3\cdot\ln\left(\lvert x\rvert\right)+2\cdot\cos(x)+C.
\]
Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int \left(\frac{1}{1+x^2}
+
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\,dx.
\]
Обидві підінтегральні функції відповідають формулам із таблиці інтегралів. Тому подамо інтеграл суми як суму двох інтегралів:
\[
\int \left(
\frac{1}{1+x^2}
+
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\right)\,dx
=
\int \frac{1}{1+x^2}\,dx
+
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
\]
Для першої функції застосовуємо формулу:
\[
\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x)+C.
\]
Для другої функції використовуємо формулу:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(x)+C.
\]
Після підстановки маємо:
\[
\int \left(
\frac{1}{1+x^2}
+
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\right)\,dx
=
\arctan(x)+\arcsin(x)+C.
\]
У цьому прикладі формули застосовуються без додаткових перетворень, оскільки підінтегральні функції точно відповідають табличним виразам.
Приклад 5. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int \left(\frac{4}{\cos^2(x)}+2\cdot\tan(x)\right)\,dx.
\]
Підінтегральний вираз містить дві тригонометричні функції. Подамо інтеграл суми як суму двох інтегралів і винесемо сталі множники:
\[
\int \left(
\frac{4}{\cos^2(x)}
+
2\cdot\tan(x)
\right)\,dx
=
4\cdot\int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx
+
2\cdot\int \tan(x)\,dx.
\]
З таблиці інтегралів відомо:
\[
\int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx=\tan(x)+C,
\qquad
\int \tan(x)\,dx=-\ln\left(\lvert\cos(x)\rvert\right)+C.
\]
Підставимо ці формули:
\[
4\cdot\int \frac{1}{\cos^2(x)}\,dx
+
2\cdot\int \tan(x)\,dx
=
4\cdot\tan(x)
+
2\cdot\left(-\ln\left(\lvert\cos(x)\rvert\right)\right)+C.
\]
Після спрощення отримуємо:
\[
\int \left(
\frac{4}{\cos^2(x)}
+
2\cdot\tan(x)
\right)\,dx
=
4\cdot\tan(x)-2\cdot\ln\left(\lvert\cos(x)\rvert\right)+C.
\]
Отже, таблиця інтегралів дає змогу швидко знаходити первісні, якщо правильно визначити вид кожної функції. Проте важливо не лише пам’ятати формули. Потрібно також уважно враховувати знаки, сталі множники та властивості невизначеного інтеграла.
Що Вивчати Далі: Наступні Теми з Інтегрування
Таблиця інтегралів допомагає розпізнавати основні формули, але не кожен вираз можна обчислити без додаткових дій. Тож куди рухатися далі? Наступні теми покажуть, як працювати зі складнішими невизначеними інтегралами.
- Метод заміни змінної в інтегралах: Як працює підстановка — У статті розглянемо, як правильно вибирати нову змінну, виконувати підстановку та зводити складний інтеграл до табличної форми.
- Інтегрування частинами: Формула та покрокові приклади — Ви дізнаєтеся, як вибирати частини підінтегрального виразу та послідовно обчислювати інтеграли добутків різних функцій.
- Інтегрування раціональних дробів: Розклад на прості дроби — Матеріал пояснить, як розкладати раціональний дріб на прості складові та обчислювати отримані інтеграли за відомими правилами.
Таблиця Інтегралів: Від Блок-Схеми до Власної Програми
Захоплюєтеся програмуванням? Тоді спробуйте застосувати знання про таблицю інтегралів на практиці: уважно розгляньте блок-схему та реалізуйте поданий алгоритм у своїй улюбленій мові програмування. Програма має отримувати номер функції, вибирати відповідну формулу й виводити невизначений інтеграл обраної функції, а в разі неправильного введення — повідомляти про помилку. Pascal, Python, C++, JavaScript чи інша мова — вибір за вами. Коли базова версія запрацює, спробуйте самостійно доповнити її новими функціями з таблиці.
