Похідна арккотангенса — це продовження теми про обернені тригонометричні функції, коли хочеться не лише запам’ятати результат, а й зрозуміти, як він з’являється. Функція \( \operatorname{arccot}(x) \) поводиться не так, як \( \operatorname{arctan}(x) \): вона спадає, має характерні межі, і ця поведінка добре читається на графіку. Чому похідна виходить від’ємною? Звідки знову з’являється знайомий вираз \( 1+x^2 \) у знаменнику? І як усе це випливає з означення похідної через границю? Далі ми зафіксуємо формулу, звіримо її з графіками, а потім детально виведемо результат через означення похідної та закріпимо все на прикладах.
Основна Формула: Як Похідна Арккотангенса Описує Спадання Функції
Почнемо з виразу, навколо якого будується вся тема. Нехай \( y=\operatorname{arccot}(x) \). Тоді її похідна має вигляд:
\[
\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}(x)=-\frac{1}{1+x^2}.
\]
Ця формула працює для всіх дійсних \( x \). І одразу видно важливий зміст. По-перше, похідна всюди від’ємна, бо \( 1+x^2>0 \) для будь-якого \( x \). Отже, \( \operatorname{arccot}(x) \) спадає на всій числовій прямій. По-друге, коли \( |x| \) зростає, знаменник \( 1+x^2 \) стає більшим, а сама похідна наближається до нуля. Тобто зміна функції стає «повільнішою» далеко від нуля. Хіба не цікаво, як одна формула одразу підказує характер поведінки графіка?
Нижче — зображення графіка самої функції \( f(x)=\operatorname{arccot}(x) \) та її похідної \( f'(x)=-\frac{1}{1+x^2} \) в одній системі координат.
На рисунку добре видно, що \( \operatorname{arccot}(x) \) проходить через значення \( \pi/2 \) при \( x=0 \), далі спадає: при \( x\to +\infty \) прямує до \( 0 \), а при \( x\to -\infty \) — до \( \pi \) (за стандартного вибору значень \( \operatorname{arccot}(x)\in(0,\pi)) \). Похідна, у свою чергу, має найменше значення \( -1 \) при \( x=0 \) і далі піднімається до нуля, але залишається від’ємною. Отже, знак похідної, форма кривої та межова поведінка узгоджуються між собою.
Доведення Формули: Як Похідна Арккотангенса Випливає з Означення?
Тепер перейдемо до виведення. Якщо хочеться справді впевнено користуватися темою «похідна арккотангенса», важливо побачити, як формула виникає з означення похідної, крок за кроком, через чіткі перетворення та стандартні границі.
Старт з означення похідної
Починаємо з базового означення похідної. Для \( y=\operatorname{arccot}(x) \) маємо:
\[
\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{arccot}(x+h)-\operatorname{arccot}(x)}{h}.
\]
Тут у чисельнику стоїть приріст значення функції, а в знаменнику — приріст аргументу \( h \). Основна робота далі полягає в тому, щоб переписати цей дріб у такому вигляді, де легко застосовуються відомі тригонометричні тотожності та границі.
Введення позначень і перехід до котангенса
Щоб запис був компактнішим, введемо позначення \( A=\operatorname{arccot}(x) \) та \(B=\operatorname{arccot}(x+h) \). Тоді чисельник перетворюється на різницю \( B-A \).
Далі використаємо означення оберненої функції. Якщо \( A=\operatorname{arccot}(x) \), то \( \cot(A)=x \). Аналогічно, з \( B=\operatorname{arccot}(x+h) \) маємо \( \cot(B)=x+h \). Звідси приріст аргументу можна переписати у вигляді різниці котангенсів: \( h=(x+h)-x=\cot(B)-\cot(A) \). Отже, вираз під границею набуває вигляду:
\[
\frac{\operatorname{arccot}(x+h)-\operatorname{arccot}(x)}{h}
=\frac{B-A}{\cot(B)-\cot(A)}.
\]
Саме цей дріб тепер і потрібно дослідити при \( h\to 0 \).
Перетворення різниці котангенсів у дріб
Наступний крок — акуратно спростити знаменник. Розпишемо різницю:
\[
\cot(B)-\cot(A)=\frac{\cos(B)}{\sin(B)}-\frac{\cos(A)}{\sin(A)}
=\frac{\cos(B) \cdot \sin(A)-\cos(A) \cdot \sin(B)}{\sin(A) \cdot \sin(B)}.
\]
У чисельнику з’являється вираз \( \sin(A) \cdot \cos(B)-\cos(A) \cdot \sin(B) \). Це рівно те, що дає формула синуса різниці:
\[
\sin(A-B)=\sin(A) \cdot \cos(B)-\cos(A) \cdot \sin(B).
\]
Тому:
\[
\cot(B)-\cot(A)=\frac{\sin(A-B)}{\sin(A) \cdot \sin(B)}.
\]
Після підстановки в попередній дріб отримуємо:
\[
\frac{B-A}{\cot(B)-\cot(A)}
=\frac{B-A}{\dfrac{\sin(A-B)}{\sin(A) \cdot \sin(B)}}
=(B-A) \cdot \frac{\sin(A) \cdot \sin(B)}{\sin(A-B)}.
\]
Тут важливо, що ми переписали різницю котангенсів так, щоб у знаменнику з’явився синус різниці кутів. Саме це підводить до стандартної границі \( \frac{\sin t}{t} \).
Ключова границя і перехід до проміжного результату
Тепер введемо позначення \( t=B-A \). Коли \( h\to 0 \), точка \( x+h \) наближається до \( x \), отже \( \operatorname{arccot}(x+h)\to \operatorname{arccot}(x) \), тобто \( B\to A \). Звідси \( t=B-A\to 0 \).
Також \( \sin(A-B)=\sin(-(B-A))=\sin(-t)=-\sin(t) \). Тому попередній вираз переписується так:
\[
(B-A) \cdot \frac{\sin(A) \cdot \sin(B)}{\sin(A-B)}
=t \cdot \frac{\sin(A) \cdot \sin(B)}{-\sin(t)}
=-\left(\sin(A) \cdot \sin(B)\right) \cdot \frac{t}{\sin(t)}.
\]
Отже, похідна стає:
\[
\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}(x)
=\lim_{h\to 0}\left(-\left(\sin(A) \cdot \sin(B)\right) \cdot \frac{t}{\sin(t)}\right).
\]
Тепер дивимося на кожний множник у границі. Коли \( h\to 0 \), маємо \( B\to A \), тому \( \sin(B)\to \sin(A) \), і добуток \( \sin(A) \cdot \sin(B)\to \sin^2(A) \). Одночасно \( t\to 0 \), а отже можна застосувати відому границю \( \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1 \), звідки випливає \( \lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin(t)}=1 \). Тому з границі виходить проміжний результат:
\[
\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}(x)=-\sin^2(A).
\]
Повернення від кута до змінної
Залишається виразити \( \sin^2(A) \) через \( x \). Ми знаємо, що \( \cot(A)=x \). Скористаємося тотожністю \( 1+\cot^2(A)=\csc^2(A)=\frac{1}{\sin^2(A)} \). Звідси одразу маємо \( \sin^2(A)=\frac{1}{1+\cot^2(A)} \). Підставляючи \( \cot(A)=x \), отримуємо \( \sin^2(A)=\frac{1}{1+x^2} \).
Тепер підставляємо це в проміжний результат \( \frac{d}{dx}\operatorname{arccot}(x)=-\sin^2(A) \) і дістаємо остаточно:
\[
\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}(x)=-\frac{1}{1+x^2}.
\]
Так ми отримали потрібну формулу з означення похідної, послідовно використовуючи тригонометричні тотожності та стандартні границі, зберігаючи логічний ланцюжок на кожному кроці.
Практичний Блок: Похідна Арккотангенса на Прикладах
Теорія дає загальну картину, але справжня впевненість з’являється тоді, коли ви починаєте обчислювати конкретні похідні. У цьому розділі ми розглянемо \( 5 \) типових задач, де похідна арккотангенса поєднується з правилом ланцюга, добутку та частки. Перед тим як дивитися розв’язання, спробуйте знайти похідну самостійно — так результат запам’ятовується значно краще.
Приклад 1. Знайти похідну функції \( f(x)=\operatorname{arccot}(3 \cdot x) \)
Тут маємо складену функцію. Зовнішня частина — \( g(u)=\operatorname{arccot}(u) \), внутрішня — \( u=3 \cdot x \). За правилом ланцюга спершу диференціюємо зовнішню функцію, не змінюючи аргумент \( u \):
\[
g'(u)=-\frac{1}{1+u^2}.
\]
Далі множимо на похідну внутрішньої функції: \( u’=3 \). Отже,
\[
f'(x)=g'(3 \cdot x) \cdot 3=-\frac{1}{1+(3 \cdot x)^2} \cdot 3=-\frac{3}{1+9 \cdot x^2}.
\]
Підсумовуємо: похідна функції \( \operatorname{arccot}(3 \cdot x) \) дорівнює \( f'(x)=-\frac{3}{1+9 \cdot x^2} \).
Приклад 2. Знайти похідну функції \( f(x)=x \cdot \operatorname{arccot}(x) \)
У цьому прикладі маємо добуток двох функцій, тому застосовуємо правило добутку. Позначимо \( u=x \) і \( v=\operatorname{arccot}(x) \). Тоді \( u’=1 \), а \( v’=-\frac{1}{1+x^2} \). За формулою \( (u \cdot v)’=u’ \cdot v+u \cdot v’ \) маємо:
\[
f'(x)=1 \cdot \operatorname{arccot}(x)+x \cdot \left(-\frac{1}{1+x^2}\right)
=\operatorname{arccot}(x)-\frac{x}{1+x^2}.
\]
Отже, кінцевий результат: \( f'(x)=\operatorname{arccot}(x)-\frac{x}{1+x^2} \).
Приклад 3. Знайти похідну функції \( f(x)=\big(\operatorname{arccot}(2 \cdot x)\big)^2 \)
Тут бачимо композицію: зовнішня функція — квадрат, а всередині стоїть \( \operatorname{arccot}(2 \cdot x) \). Зручно рухатися «ззовні всередину». Спершу диференціюємо квадрат:
\[
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccot}(2 \cdot x)\big)^2
=2 \cdot \operatorname{arccot}(2 \cdot x) \cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccot}(2 \cdot x)\big).
\]
Тепер знайдемо похідну \( \operatorname{arccot}(2 \cdot x) \). Це знову правило ланцюга: зовнішня частина \( \operatorname{arccot}(u) \) має похідну \( -\frac{1}{1+u^2} \), внутрішня \( u=2 \cdot x \) має похідну \( u’=2 \). Отже,
\[
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccot}(2 \cdot x)\big)
=-\frac{1}{1+(2 \cdot x)^2} \cdot 2=-\frac{2}{1+4 \cdot x^2}.
\]
Повертаємося до похідної початкової функції:
\[
f'(x)=2 \cdot \operatorname{arccot}(2 \cdot x) \cdot \left(-\frac{2}{1+4 \cdot x^2}\right)
=-\frac{4 \cdot \operatorname{arccot}(2 \cdot x)}{1+4 \cdot x^2}.
\]
Отже, остаточний результат: \( f'(x)=-\frac{4 \cdot \operatorname{arccot}(2 \cdot x)}{1+4 \cdot x^2} \).
Приклад 4. Знайти похідну функції \( f(x)=\dfrac{\operatorname{arccot}(x)}{1+x^2} \)
Тепер маємо частку, тому користуємося правилом частки. Позначимо \( u=\operatorname{arccot}(x) \) та \( v=1+x^2 \). Тоді \( u’=-\frac{1}{1+x^2} \), а \( v’=2 \cdot x \). За формулою \( \left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’ \cdot v-u \cdot v’}{v^2} \) одержуємо:
\[
f'(x)=\frac{\left(-\frac{1}{1+x^2}\right) \cdot (1+x^2)-\operatorname{arccot}(x) \cdot 2 \cdot x}{(1+x^2)^2}.
\]
У першому доданку \( (1+x^2) \) скорочується, тому маємо:
\[
f'(x)=\frac{-1-2 \cdot x \cdot \operatorname{arccot}(x)}{(1+x^2)^2}.
\]
Результат уже доволі компактний, тож його зручно залишити саме так.
Приклад 5. Знайти похідну функції \( f(x)=e^{2 \cdot x} \cdot \operatorname{arccot}(x) \)
Тут знову добуток двох функцій, але одна з них — експонента. Позначимо \( u=e^{2 \cdot x} \) і \( v=\operatorname{arccot}(x) \). Для \( u \) застосовуємо правило ланцюга: похідна \( e^{2 \cdot x} \) дорівнює \( 2 \cdot e^{2 \cdot x} \). Для \( v \) маємо знайому похідну \( v’=-\frac{1}{1+x^2} \).
Тепер використовуємо правило добутку:
\[
f'(x)=2 \cdot e^{2 \cdot x} \cdot \operatorname{arccot}(x)+e^{2 \cdot x} \cdot \left(-\frac{1}{1+x^2}\right).
\]
Зручно винести спільний множник \( e^{2 \cdot x} \), щоб відповідь виглядала охайніше:
\[
f'(x)=e^{2 \cdot x} \cdot \left(2 \cdot \operatorname{arccot}(x)-\frac{1}{1+x^2}\right).
\]
Це і є кінцева відповідь.
Далі — ще Цікавіше: Куди Рухатися Після Теми «Похідна Арккотангенса»?
Хочеться не просто запам’ятати формулу, а відчути, що ви справді контролюєте тему? Тоді логічний крок — перейти до похідних споріднених обернених тригонометричних функцій. Так ви швидше почнете впізнавати типові прийоми в задачах і впевненіше працюватимете з різними видами прикладів.
- Похідна арксинуса: Формула, доведення, приклади — У статті розберемо, як знаходити похідну арксинуса, звідки береться формула та як застосовувати її в типових задачах.
- Похідна арккосинуса: Формула, доведення, приклади — Поговоримо про похідну арккосинуса, її знак і поведінку, а також розв’яжемо кілька прикладів із детальними поясненнями.
- Похідна арктангенса: Формула, доведення, приклади — Дізнаєтеся, як працює похідна арктангенса, як вона пов’язана з поведінкою графіка та як швидко розв’язувати практичні вправи.
Якщо ви вже активно тренуєтеся з похідними, але інколи сумніваєтеся у відповіді, зручно скористатися онлайн-калькулятором похідних, щоб швидко перевірити свої обчислення.
Похідна Арккотангенса: Від Математичної Ідеї до Власної Реалізації
Тепер, коли ви вже розібралися з похідною арккотангенса, саме час перетворити ці знання на невеликий, але цілком практичний проєкт: візьміть блок-схему, що міститься нижче, й реалізуйте її у своїй улюбленій мові — Python, JavaScript, C#, Java чи навіть у Pascal. Уявіть, що ви створюєте міні-інструмент: він перебирає значення \( x \) на відрізку, обчислює похідну та знаходить точку найшвидшого спаду — це корисне тренування і для циклів, і для точності обчислень, і для акуратного форматування результатів. А ще цікавіше перевірити, чи завжди результат збігається з тим, що підказує математика: де саме похідна стає найменшою та як це залежить від параметра \( k \)? Саме такі задачі допомагають відчути, що математичний аналіз і програмування працюють разом, а не існують окремо.
