Похідна котангенса — важлива тема для старту вищої математики. Навіщо вона потрібна? Вона показує, як означення похідної працює разом із класичними тригонометричними тотожностями. Спершу отримаємо основну формулу та крок за кроком пояснимо кожний етап доведення. А далі, щоб закріпити розуміння, розв’яжемо кілька прикладів і побачимо її практичне застосування.
Похідна Котангенса: Від’ємний Квадрат Оберненого Синуса
Почнемо з результату, який будемо доводити. Похідна котангенса дорівнює мінус один поділити на синус у квадраті:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\cot (x)\bigr)=-\frac{1}{\sin^2 (x)}=-\csc^2 (x);
\]
Ця рівність підкреслює важливу деталь: похідна не існує в точках, де \(sin (x)=0\), тобто при \(x=k\cdot\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\). І це логічно, адже в цих точках сама \(cot (x)\) має розрив.
Тепер подивімося на картину на осях. Крива \(cot (x)\) спадає між сусідніми вертикальними асимптотами \(x=k\cdot\pi\), а її похідна \(-1/\sin^2 (x)\) всюди від’ємна на всій області визначення й прямує до \(-\infty\) поблизу асимптот. Так ми бачимо узгодженість алгебри та геометрії: спадання \(cot (x)\) відповідає від’ємності похідної.
Доведення Через Означення Похідної: Покроково
Як підійти з базових принципів? Скористаймося першим означенням похідної:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(\cot (x)\bigr)
=\lim_{h\to 0}\frac{\cot(x+h)-\cot (x)}{h};
\]
Далі розпишемо котангенс через синус і косинус. Так легше виконати алгебру дробів:
\[
\cot(x+h)-\cot (x)
=\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)}-\frac{\cos (x)}{\sin (x)};
\]
Приведемо до спільного знаменника й згрупуємо чисельник:
\[
\frac{\cos(x+h)}{\sin(x+h)}-\frac{\cos (x)}{\sin (x)}
=\frac{\cos(x+h)\cdot\sin x-\sin(x+h)\cdot\cos (x)}{\sin(x+h)\cdot\sin (x)};
\]
Що ми бачимо у чисельнику? Класичну тотожність різниці для синуса:
\[
\cos(x + h) \cdot \sin(x) – \sin(x + h) \cdot \cos(x) = -\bigl(\sin(x + h) \cdot \cos(x) – \cos(x + h) \cdot \sin(x)\bigr) = \\
-\sin\bigl((x + h) – x\bigr) = -\sin(h);
\]
Підставляємо це у границю:
\[
\frac{d}{dx} \bigl(\cot(x)\bigr) = \lim_{h \to 0} \left(\frac{-\sin(h)}{h} \cdot \frac{1}{\sin(x + h) \cdot \sin(x)}\right);
\]
Тепер ключовий крок. Використаємо відому граничну рівність \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1\) і неперервність синуса, тобто \(\sin(x + h) \to \sin(x)\) при \(h \to 0\). Отже:
\[
\frac{d}{dx} \bigl(\cot(x)\bigr) = -1 \cdot \frac{1}{\sin(x) \cdot \sin(x)} = -\frac{1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x);
\]
Отже, ми отримали точний результат, що співпадає з основною формулою похідної котангенса.
Це доведення є основним і використовує лише базові властивості тригонометричних функцій, границі та означення похідної. Завдяки цьому ми отримуємо точний результат без використання складних перетворень.
Практичний Розділ: Похідна Котангенса на Прикладах
Щоб формула працювала впевнено у ваших руках, потрібна практика. Нижче розберемо п’ять типових ситуацій — крок за кроком, із чіткими поясненнями та акцентами на потрібних правилах. Спробуйте спочатку розв’язати кожний приклад самостійно, а потім звіртеся з рішенням.
Приклад 1: Знайти похідну функції \(f(x) = \cot(3 \cdot x)\)
Перед нами складена функція: зовнішня частина — \(g(u) = \cot(u)\), внутрішня — \(u = 3 \cdot x\). За правилом ланцюга спершу диференціюємо зовнішню: \(g'(u) = -\frac{1}{\sin^2(u)}\), залишивши \(u\) незмінним, а потім множимо на \(u’ = 3\). Отримуємо:
\[
f'(x) = \left(-\frac{1}{\sin^2(3 \cdot x)}\right) \cdot 3 = -\frac{3}{\sin^2(3 \cdot x)};
\]
Підсумовуємо: \(f'(x) = -\frac{3}{\sin^2(3 \cdot x)}\).
Приклад 2: Знайти похідну функції \(f(x) = x \cdot \cot(x)\)
Тут добуток двох функцій, тож застосовуємо правило добутку. Нехай \(u = x\) та \(v = \cot(x)\). Тоді, \(u’ = 1\), \(v’ = -\csc^2(x)\). Підставляємо у формулу \((u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’\):
\[
f'(x) = 1 \cdot \cot(x) + x \cdot \bigl(-\csc^2(x)\bigr) = \cot(x) – x \cdot \csc^2(x);
\]
Отже, \(f'(x) = \cot(x) – x \cdot \csc^2(x)\).
Приклад 3: Знайти похідну функції \(f(x) = \cot^2(3 \cdot x)\)
Перед нами композиція “квадрат → котангенс → лінійна функція“. Спершу диференціюємо зовнішній квадрат:
\[
\frac{d}{dx} \bigl(\cot(3 \cdot x)\bigr)^2 = 2 \cdot \cot(3 \cdot x) \cdot \frac{d}{dx} \bigl(\cot(3 \cdot x)\bigr);
\]
Далі використовуємо правило ланцюга для \(\cot(3 \cdot x)\): \(\bigl(\cot(3 \cdot x)\bigr)’ = -\csc^2(3 \cdot x) \cdot 3\). Об’єднуючи кроки, отримуємо:
\[
f'(x) = 2 \cdot \cot(3 \cdot x) \cdot \bigl(-\csc^2(3 \cdot x) \cdot 3\bigr) = -6 \cdot \cot(3 \cdot x) \cdot \csc^2(3 \cdot x);
\]
Отже, кінцевий результат: \(f'(x) = -6 \cdot \cot(3 \cdot x) \cdot \csc^2(3 \cdot x)\).
Приклад 4: Знайти похідну функції \(f(x) = \frac{\cot(x)}{1 + x^2}\)
Маємо частку, тож застосовуємо правило частки. Нехай \(u = \cot(x)\), \(v = 1 + x^2\). Тоді \(u’ = -\csc^2(x)\) і \(v’ = 2 \cdot x\). За формулою \(\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2}\) маємо:
\[
f'(x) = \frac{-\csc^2(x) \cdot (1 + x^2) – \cot(x) \cdot 2 \cdot x}{(1 + x^2)^2};
\]
За потреби чисельник можна лише впорядкувати, не змінюючи суті обчислення:
\[
f'(x) = \frac{-(1 + x^2) \cdot \csc^2(x) – 2 \cdot x \cdot \cot(x)}{(1 + x^2)^2};
\]
Це і є шуканий вираз для похідної.
Приклад 5: Знайти похідну функції \(f(x) = e^{2 \cdot x} \cdot \cot(x)\)
Знову добуток, тому працює правило добутку. Позначимо \(u = e^{2 \cdot x}\) і \(v = \cot(x)\). Для \(u\) застосовуємо правило ланцюга: \(u’ = 2 \cdot e^{2 \cdot x}\). Для \(v\) маємо \(v’ = -\csc^2(x)\). Об’єднуємо:
\[
f'(x) = 2 \cdot e^{2 \cdot x} \cdot \cot(x) + e^{2 \cdot x} \cdot \bigl(-\csc^2(x)\bigr) = e^{2 \cdot x} \cdot \bigl(2 \cdot \cot(x) – \csc^2(x)\bigr);
\]
Отже, \(f'(x) = e^{2 \cdot x} \cdot \bigl(2 \cdot \cot(x) – \csc^2(x)\bigr)\).
Що Далі? Рекомендовані Теми Після Похідної Котангенса
Хочете закріпити навички та побачити ширшу картину? Нижче — три матеріали, що логічно продовжують тему і допоможуть швидше розв’язувати подібні задачі.
- Похідна арксинуса: Формула, доведення, приклади – У статті розглянемо, як правильно диференціювати арксинус, розберемо основну формулу та детально виведемо її через означення похідної.
- Похідна арккосинуса: Формула, доведення, приклади – Оскільки арккосинус і арксинус тісно пов’язані, варто вивчити, як знаходити похідну цієї функції, використовуючи формулу та практичні приклади.
- Похідна арккотангенса: Формула, доведення, приклади – Покажемо виведення через означення, згадаємо потрібні тотожності та розберемо кілька базових прикладів.
Якщо ви вже активно розв’язуєте задачі на похідні, але іноді сумніваєтесь у правильності, спробуйте онлайн-калькулятор похідних — зручний спосіб швидко перевірити себе.
Похідна Котангенса в Коді: Від Блок-схеми до Програми
Любите поєднувати математику й програмування? Спробуйте перетворити готову блок-схему на невелику програму, яка за введеною користувачем точкою будує рівняння дотичної до графіка котангенса. Використайте схему як орієнтир: реалізуйте введення даних, обчисліть потрібні величини та виведіть підсумкове рівняння у зручному для читача вигляді. Це коротке завдання допоможе закріпити тему й побачити, як ідеї з розділу працюють у коді.
