Нагадаємо, що кругом називається частина площини, обмежена колом. Тобто круг радіуса з центром
містить точку
і всі точки площини, що знаходяться від даної точки на відстані, що не більша за
.
Знаходження площі круга з допомогою багатокутників
Виведемо формулу, яка дозволить знайти площу круга радіус якого дорівнює . Для цього розглянемо правильний
-кутник
, вписаний в коло, що обмежує круг. Очевидно, площа
даного кола більша площі
багатокутника
, так як він цілком міститься в даному колі. З іншого боку, площа
кола, вписаного в багатокутник, менша
, так як це коло цілком міститься в даному багатокутнику. Отже:
Будемо тепер необмежено збільшувати число сторін -кутника. Зазначимо, що в такому випадку збільшуватиметься і радіус
вписаного в багатокутник кола і при
, величина
буде як завгодно мало відрізнятися від
, а отже,
наближатиметься до одиниці, тому
. Іншими словами, при необмеженому збільшенні числа сторін багатокутника, вписане в нього коло збігатиметься до описаного кола, тому
при
. Звідси і з нерівності (1) випливає, що
при
.
Далі, скориставшись формулою обчислення площі правильного -кутника, а саме
(де
– його периметр і
– радіус вписаного кола) і врахувавши, що
при
, будемо мати:
. Отже, для обчислення площі круга
радіус якого дорівнює
, отримаємо наступну формулу:
Зауваження: оскільки радіус тісно пов’язаний з діаметром і довжиною кола, то шляхом нехитрих замін можна також обчислити площу круга через діаметр або довжину кола. Діаметр – це подвоєний радіус, отже, підставляючи його в формулу замість останнього, потрібно розділити його на два. Так як в формулі (2) радіус зводиться до другого степеня, отримана половина діаметра також повинна бути в квадраті. Таким чином, формула площу круга через його діаметр буде виглядати наступним чином:
Довжина кола являє собою подвоєний добуток радіуса і числа :
. Зворотним методом отримуємо, що радіус дорівнює довжині кола, розділеної на його множник:
. Підставляючи це в формулу (2) (не забуваємо звести вираз в другу степінь), отримаємо формулу обчислення площі круга через довжину кола:
Сектором круга або просто сектором називається частина круга, обмежена дугою і двома радіусами, що з’єднують кінці дуги з центром кола. Дуга, яка обмежує сектор, називається дугою сектора. На малюнку що міститься нижче, зображено два сектора з дугами і
. Перший з цих секторів зафарбований.
Сектор круга з градусною мірою α
Виведемо формулу для обчислення площі сектора круга радіуса
, обмеженого дугою з градусною мірою
. Отже, виходячи з того, що площа всього круга дорівнює
, то площа кругового сектора, обмеженого дугою в
, дорівнює
. Тому площа
виражається формулою:
Площа круга – приклад:
Довжина кола дорівнює . Знайти площу круга, обмеженого цим колом.
Оскільки довжина кола визначається формулою , то за умовою
. Звідси
— радіус заданого кола. Далі, прийнявши в якості наближеного значення
число
та скориставшись формулою (2), отримаємо шукану площу круга:
.
Площа сектора круга – приклад:
Сторона квадрата, зображеного на малюнку, що міститься нижче, дорівнює . Обчислити площу зафарбованої фігури
.
Фігура EFGH
Як відомо, площа квадрата дорівнює квадрату його сторони, значить . В квадраті
виділено чотири кругових сектори. Радіус кожного з цих секторів дорівнює половині сторони квадрата, тобто
. Так як нам дано квадрат, то градусна міра
кожного з розглядуваних секторів дорівнює
. Отже, згідно з сказаним вище приходимо до висновку, що площа кожного з секторів дорівнює:
Далі, віднявши від площі квадрата площі кругових секторів, визначимо площу зафарбованої фігури :
.