Формули для обчислення площі круга та кругового сектора

Нагадаємо, що кругом називається частина площини, обмежена колом. Тобто круг радіуса з центром містить точку і всі точки площини, що знаходяться від даної точки на відстані, що не більша за .

Знаходження площі круга з допомогою багатокутників

Виведемо формулу, яка дозволить знайти площу круга радіус якого дорівнює . Для цього розглянемо правильний -кутник , вписаний в коло, що обмежує круг. Очевидно, площа даного кола більша площі багатокутника , так як він цілком міститься в даному колі. З іншого боку, площа кола, вписаного в багатокутник, менша , так як це коло цілком міститься в даному багатокутнику. Отже:

Будемо тепер необмежено збільшувати число сторін -кутника. Зазначимо, що в такому випадку збільшуватиметься і радіус вписаного в багатокутник кола і при , величина буде як завгодно мало відрізнятися від , а отже, наближатиметься до одиниці, тому . Іншими словами, при необмеженому збільшенні числа сторін багатокутника, вписане в нього коло збігатиметься до описаного кола, тому при . Звідси і з нерівності (1) випливає, що при .

Далі, скориставшись формулою обчислення площі правильного -кутника, а саме (де – його периметр і – радіус вписаного кола) і врахувавши, що при , будемо мати: . Отже, для обчислення площі круга радіус якого дорівнює , отримаємо наступну формулу:

Зауваження: оскільки радіус тісно пов’язаний з діаметром і довжиною кола, то шляхом нехитрих замін можна також обчислити площу круга через діаметр або довжину кола. Діаметр – це подвоєний радіус, отже, підставляючи його в формулу замість останнього, потрібно розділити його на два. Так як в формулі (2) радіус зводиться до другого степеня, отримана половина діаметра також повинна бути в квадраті. Таким чином, формула площу круга через його діаметр буде виглядати наступним чином:

Довжина кола являє собою подвоєний добуток радіуса і числа : . Зворотним методом отримуємо, що радіус дорівнює довжині кола, розділеної на його множник: . Підставляючи це в формулу (2) (не забуваємо звести вираз в другу степінь), отримаємо формулу обчислення площі круга через довжину кола:

Сектором круга або просто сектором називається частина круга, обмежена дугою і двома радіусами, що з’єднують кінці дуги з центром кола. Дуга, яка обмежує сектор, називається дугою сектора. На малюнку що міститься нижче, зображено два сектора з дугами і . Перший з цих секторів зафарбований.

Площа сектора круга

Сектор круга з градусною мірою α

Виведемо формулу для обчислення площі сектора круга радіуса , обмеженого дугою з градусною мірою . Отже, виходячи з того, що площа всього круга дорівнює , то площа кругового сектора, обмеженого дугою в , дорівнює . Тому площа виражається формулою:

Площа круга – приклад:

Довжина кола дорівнює . Знайти площу круга, обмеженого цим колом.

Оскільки довжина кола визначається формулою , то за умовою . Звідси — радіус заданого кола. Далі, прийнявши в якості наближеного значення число та скориставшись формулою (2), отримаємо шукану площу круга: .

Площа сектора круга – приклад:

Сторона квадрата, зображеного на малюнку, що міститься нижче, дорівнює . Обчислити площу зафарбованої фігури .

Площа сектора круга приклад

Фігура EFGH

Як відомо, площа квадрата дорівнює квадрату його сторони, значить . В квадраті виділено чотири кругових сектори. Радіус кожного з цих секторів дорівнює половині сторони квадрата, тобто . Так як нам дано квадрат, то градусна міра кожного з розглядуваних секторів дорівнює . Отже, згідно з сказаним вище приходимо до висновку, що площа кожного з секторів дорівнює: