У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов’язані з обчисленням периметра, тобто суми довжин сторін різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура – багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Що ж робити, якщо необхідно знайти довжину кола? Відповіді на це питання і присвячений даний параграф.
Отже, як відомо, периметр будь-якого правильного вписаного в коло багатокутника є наближеним значенням довжини цього кола. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше це наближене значення, так як багатокутник при збільшенні числа сторін все ближче і ближче прилягає до кола. Точне значення довжини кола – це границя, до якої збігається периметр правильного вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін.
Знаходження довжини кола з допомогою багатокутників
Скориставшись даним фактом, виведемо формулу, яка дозволить знайти довжину кола через його радіус. Для цього, розглянемо два кола радіус яких дорівнює 
та 
відповідно. Впишемо в кожне з них правильний 
-кутник і позначимо через 
і 
їх периметри, а через 
і 
їх сторони. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (
), отримаємо:
Звідси:
Ця рівність справедлива при будь-якому значенні . Будемо тепер необмежено збільшувати число . Так як 
, 
при 
(де 
та 
довжини розглядуваних кіл), то границя відношення 
дорівнює 
. З іншого боку, в силу рівності (2) ця границя дорівнює 
. Таким чином, 
. З цієї рівності випливає, що 
, тобто відношення довжини кола до його діаметра є одне і те ж число для всіх кіл. Це число прийнято позначати грецькою буквою 
.
З рівності 
отримуємо формулу, яка дозволяє знайти довжину кола через радіус :
Зауваження: формула (3) може бути представлена і через інші величини. Наприклад, так як діаметр кола дорівнює двом радіусам, то формула довжини кола через діаметр приймає наступний вигляд:
Також можна підставити замість радіуса рівний йому вираз, виведений з формули площі круга:
Доведено, що є нескінченним неперіодичним десятковим дробом, тобто ірраціональним числом. Раціональне число 
є наближеним значенням числа з точністю до 
. Це наближене значення було знайдено ще в 
столітті до нашої ери великим грецьким вченим Архімедом. При рішенні задач, зазвичай, користуються наближеним значенням з точністю до 
: 
.
Дуга кола з градусною мірою α
Виведемо тепер формулу для знаходження довжини дуги кола з градусною мірою 
. Так як довжина всього кола дорівнює 
, то довжина дуги в 
дорівнює 
. Тому довжина 
виражається формулою:
Довжина кола – приклад:
Якою має бути довжина металевої стрічки, щоб зробити з неї коло, яке обмежує круг площею 
?
Оскільки площа кола визначається за формулою 
, то за умовою 
. Звідси, враховуючи що , визначимо радіус даного кола: 
. Далі, скориставшись формулою (3) знайдемо необхідну нам довжину стрічки: 
.
Зауваження: розв’язок даної задачі можна отримати і дещо простішим шляхом, якщо застосувати для її рішення формулу (5): 
.
Довжина дуги кола – приклад:
Знайти довжину дуги кола радіуса 
, яка становить 
довжини кола.
Дуга кола
Як нам відомо, довжина всього кола обчислюється за формулою . Тоді, за умовою, 
. Звідси, прийнявши в якості наближеного значення число 
, знайдемо довжину заданої дуги: 
.
Блок-схема алгоритму знаходження довжини кола через радіус
Блок-схема алгоритму знаходження довжини дуги кола з градусною мірою
