Довжина кола і дуги кола

У своєму повсякденному житті ми часто стикаємося з завданнями, які пов’язані з обчисленням периметра, тобто суми довжин сторін різних геометричних фігур. У разі, якщо геометрична фігура – багатокутник, знаходження його периметра не складає особливих труднощів: для цього достатньо визначити довжину кожної зі сторін і скласти отримані результати. Що ж робити, якщо необхідно знайти довжину кола? Відповіді на це питання і присвячений даний параграф.

Отже, як відомо, периметр будь-якого правильного вписаного в коло багатокутника є наближеним значенням довжини цього кола. Чим більше число сторін такого багатокутника, тим точніше це наближене значення, так як багатокутник при збільшенні числа сторін все ближче і ближче прилягає до кола. Точне значення довжини кола – це границя, до якої збігається периметр правильного вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін.

Знаходження довжини кола з допомогою багатокутників

Скориставшись даним фактом, виведемо формулу, яка дозволить знайти довжину кола через його радіус. Для цього, розглянемо два кола радіус яких дорівнює  та  відповідно. Впишемо в кожне з них правильний -кутник і позначимо через і їх периметри, а через і їх сторони. Тоді, використовуючи формулу для знаходження сторони правильного багатокутника (), отримаємо:

Звідси:

Ця рівність справедлива при будь-якому значенні . Будемо тепер необмежено збільшувати число . Так як , при (де  та  довжини розглядуваних кіл), то границя відношення дорівнює . З іншого боку, в силу рівності (2) ця границя дорівнює . Таким чином, . З цієї рівності випливає, що , тобто відношення довжини кола до його діаметра є одне і те ж число для всіх кіл. Це число прийнято позначати грецькою буквою .

З рівності отримуємо формулу, яка дозволяє знайти довжину кола через радіус :

Зауваження: формула (3) може бути представлена і через інші величини. Наприклад, так як діаметр кола дорівнює двом радіусам, то формула довжини кола через діаметр приймає наступний вигляд:

Також можна підставити замість радіуса рівний йому вираз, виведений з формули площі круга:

Доведено, що  є нескінченним неперіодичним десятковим дробом, тобто ірраціональним числом. Раціональне число є наближеним значенням числа  з точністю до . Це наближене значення було знайдено ще в столітті до нашої ери великим грецьким вченим Архімедом. При рішенні задач, зазвичай, користуються наближеним значенням  з точністю до : .

Дуга кола з градусною мірою α

Виведемо тепер формулу для знаходження довжини дуги кола з градусною мірою . Так як довжина всього кола дорівнює , то довжина дуги в дорівнює . Тому довжина виражається формулою:

Довжина кола – приклад:

Якою має бути довжина металевої стрічки, щоб зробити з неї коло, яке обмежує круг площею ?

Оскільки площа кола визначається за формулою , то за умовою . Звідси, враховуючи що , визначимо радіус даного кола: . Далі, скориставшись формулою (3) знайдемо необхідну нам довжину стрічки: .

Зауваження: розв’язок даної задачі можна отримати і дещо простішим шляхом, якщо застосувати для її рішення формулу (5): .

Довжина дуги кола – приклад:

Знайти довжину дуги кола радіуса , яка становить довжини кола.

Дуга кола

Як нам відомо, довжина всього кола обчислюється за формулою . Тоді, за умовою, . Звідси, прийнявши в якості наближеного значення число , знайдемо довжину заданої дуги: .

Блок-схема алгоритму знаходження довжини кола через радіус

Блок-схема алгоритму знаходження довжини дуги кола з градусною мірою