Метод простої ітерації (також відомий як метод послідовних наближень) є одним з найбільш важливих способів чисельного розв’язання рівняня. Основна ідея даного методу полягає в тому, що ми замінюємо рівняння рівносильним йому рівнянням виду:
При цьому вважаємо, що є неперервною на проміжку
.
Оберемо, довільним чином, наближене значення кореня і підставимо його в праву частину рівняння (1) . Тоді отримаємо число:
Підставивши, тепер в праву частину рівняння (2) замість число
, отримаємо нове число
і так далі продовжуємо даний процес. В результаті отримаємо послідовність чисел:
Якщо отримана послідовність збіжна, тобто існує , то переходячи до границі в рівнянні (3) отримаємо:
або
,
тобто границя є коренем рівняння (1) з довільним степенем точності.
Також, слід зазначити, що ітераційний процес збігається до єдиного кореня рівняння , якщо на відрізку
, який містить корінь, виконується умова:
, де
і збіжність процесу ітерації буде тим швидшою, чим менше число , яке задовольняє нерівність (4).
Якщо ж умова (4) не виконується, то потрібно рівняння перетворювати до рівняння виду (1), таким чином, щоб дана умова виконувалась. Цього можна досягнути, наприклад, шукаючи функцію
із наступного співвідношення:
де обираємо так, щоб
.
Процес ітерації слід продовжувати до тих пір, поки не буде виконуватись умова:
де – задана похибка обчислень.
Також давайте розглянемо більш загальний метод переходу від рівняннядо рівняння виду (1). Для цього помножимо ліву і праву частини рівняння
на константу
і додамо до обох частин рівняння невідоме
, отримаємо:
Зауважимо, що при цьому шуканий корінь вхідного рівняння не зміниться. Тобто рівняння (5) еквівалентне рівнянню (1) з функцією . Довільний вибір константи
дозволяє забезпечити умову збіжності (4). Оскільки в даному випадку
, то значення для
слід вибирати таке, щоб біля кореня рівняння виконувалась умова
.