Метод простої ітерації для розв’язання одного нелінійного рівняння

Метод простої ітерації (також відомий як метод послідовних наближень) є одним з найбільш важливих способів чисельного розв’язання рівняня. Основна ідея даного методу полягає в тому, що ми замінюємо рівняння рівносильним йому рівнянням виду:

При цьому вважаємо, що є неперервною на проміжку .

Оберемо, довільним чином, наближене значення кореня і підставимо його в праву частину рівняння (1) . Тоді отримаємо число:

Підставивши, тепер в праву частину рівняння (2) замість число , отримаємо нове число і так далі продовжуємо даний процес. В результаті отримаємо послідовність чисел:

Якщо отримана послідовність збіжна, тобто існує , то переходячи до границі в рівнянні (3) отримаємо:

або ,

тобто границя є коренем рівняння (1) з довільним степенем точності.

Також, слід зазначити, що ітераційний процес збігається до єдиного кореня рівняння , якщо на відрізку , який містить корінь, виконується умова:

, де

і збіжність процесу ітерації буде тим швидшою, чим менше число , яке задовольняє нерівність (4).

Якщо ж умова (4) не виконується, то потрібно рівняння перетворювати до рівняння виду (1), таким чином, щоб дана умова виконувалась. Цього можна досягнути, наприклад, шукаючи функцію із наступного співвідношення:

де обираємо так, щоб .

Процес ітерації слід продовжувати до тих пір, поки не буде виконуватись умова:

де – задана похибка обчислень.

Також давайте розглянемо більш загальний метод переходу від рівняннядо рівняння виду (1). Для цього помножимо ліву і праву частини рівняння на константу і додамо до обох частин рівняння невідоме , отримаємо:

Зауважимо, що при цьому шуканий корінь вхідного рівняння не зміниться. Тобто рівняння (5) еквівалентне рівнянню (1) з функцією . Довільний вибір константи дозволяє забезпечити умову збіжності (4). Оскільки в даному випадку , то значення для слід вибирати таке, щоб біля кореня рівняння виконувалась умова .