Лінійні рівняння з двома змінними

Лінійні рівняння з двома змінними (невідомими) – це рівняння, які містять дві невідомі, не піднесені до жодного степеня. Прикладом рівняння з двома змінними є .

Лінійні рівняння з двома змінними можна розв’язати, лише якщо відомим є значення однієї зі змінних. В іншому випадку рівняння має нескінченну кількість розв’язків.

У цій публікації ми познайомимося з розв’язуванням лінійних рівнянь із двома невідомими на прикладах, які допоможуть зрозуміти поняття.

Що таке рівняння з двома змінними?

Лінійні рівняння мають ту властивість, що вони містять тільки змінні, піднесені до першої степіні після приведення до найпростішого вигляду.

Рівняння з двома змінними можна записати у загальному вигляді , де коефіціжнти  і  відмінні від 0. До прикладу, рівняння  і  є лінійними рівняннями з двома змінними.

На перший погляд, рівняння  здається нелінійним. Однак, при записі його в найпростішій формі, тобто, при зведенні подібних доданків і спрощенні, доданки, що містять , скорочуються, і ми отримуємо рівняння . Таким чином, це лінійне рівняння з двома змінними.

Як розв’язати лінійне рівняння з двома змінними.

Щоб розв’язати лінійні рівняння з двома змінними необхідно виконати такі кроки:

• довільним чином вибрати значення для однієї зі змінних рівянння (найчастіше, значення вибирають для змінної );
• підставити це значення у рівняння (зазначимо, що в результаті отримаємо лінійне рівняння з однією змінною);
• спростимти та розв’язати отримане на попередньому кроці рівняння.

Скільки розв’язків має лінійне рівнянь з двома змінними.

Як відомо, кожне лінійне рівняння з однією змінною має єдиний розв’язок. Що можна сказати про розв’язок лінійного рівняння з двома змінними?

Оскільки в рівнянні є дві змінні, рішення означає пару значень, одне для і одне для , які задовольняють дане рівняння.

Розглянемо рівняння . Тут  і  є розв’язком цього рівняня. Підставивши дані значення у рівняння , ми можемо легко це перевірити:

Зазначимо, що це рішення, як правило, записується у вигляді впорядкованої пари , де, спочатку записують значення для , а потім значення для . Подібним чином  також є розв’язком цього рівняння.

З іншого боку,  не є розв’язком рівняння , оскільки, поклавши  і , отримаємо , що не дорівнює 12. Зауважте, що  є розв’язком, але не . Таким чином, нам відомі, принаймні, два розв’язки для рівняння , а саме, і .

Виникає питання, чи існують для даного рівняння інші рішення? Чи згодні Ви, що  є ще одним його розв’язком? Перевірте це самостійно.

Знайдемо далі розв’язок лінійного рівняння з двома змінними використовуючи розглянутий вище алгоритм: довільним чином вибрати значення для змінно , скажімо, .

Тоді, рівняння зводиться до вигляду . Тобто, в результаті ми отримали лінійне рівняння з однією змінною. Розв’язавши це рівняння, отримаємо . Отже,  є іншим розв’язком рівняння .

Подібним чином, вибравши в якості значення для змінної , число -5 отримаємо, що рівняння зводиться до вигялду . Результатом розв’язку останнього рівняння є значення . Отже,  є ще одним розв’язком рівняння .

Таким чином, немає кінця різним розв’язкам лінійного рівняння з двома змінними. Тобто, лінійне рівняння з двома змінними має нескінченну кількість розв’язків.

Лінійні рівняння з двома змінними – приклади з відповідями.

Приклад 1: для лінійного рівняння з двома змінними , знайти значення , якщо .

Отже, для того, щоб знайти значення «», на першому кроці, підставляємо значення в задане рівняння. В результаті матимемо:

На наступному кроці, перенесемо доданок 8 у праву частину рівянння, а доданок  – у ліву (змінивши їх знаки на протилежні) та зведемо подібні доданки:

Далі, розділимо обидві частини рівняння на 3:

Таким чином, розв’язком лінійного рівняння з двома змінними є значення , .

Приклад 2: знаючи значення , для рівняння  знайти значення змінної .

Діючи як і у попередньому прикладі, матимемо:

Отже, розв’язком лінійного рівняння з двома змінними є значення , .

Приклад 3: знайти чотири різні розв’язки рівняння .

Отже, згідно з розглянутим алгоритмом, і є розв’язком заданого рівянння, оскільки для даних значень маємо:

 та  також є розв’язком рівняння .

Подібним чином, взявши , задане рівняння зводиться до . Отже, , також є розв’язком рівняння .

Нарешті, взявши , задане рівняння зводиться до , розв’язком якого є значення . Отже,  також є розв’язком заданого лінійного рівняння з двома змінними.

Таким чином, чотири з нескінченної кількості розв’язків лінійного рівняння є наступні значення: .

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про лінійні рівняння? Перегляньте ці сторінки:

1. Лінійні рівняння – визначення та форми запису.
2. Лінійні рівняння з однією змінною.

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку лінійного рівняння з двома змінними