Інтегрування ірраціональних функцій часто зводиться до одного головного завдання — правильно змінити вигляд підінтегрального виразу. Корені та дробові степені ускладнюють безпосереднє застосування стандартних формул, але вдало обрана заміна змінної дозволяє усунути цю складність. Тому спочатку важливо розпізнати структуру підінтегрального виразу, а вже потім переходити до обчислень.
Ірраціональні Функції Під Знаком Інтеграла: Основна Ідея Раціоналізації
В інтегральному численні до ірраціональних зазвичай відносять алгебраїчні вирази, у яких змінна міститься під знаком кореня або має дробовий степінь. Наприклад, підінтегральна функція може містити
\[
\sqrt[n]{a\cdot x+b},
\qquad
x^{\frac{m}{n}},
\]
або квадратний радикал
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}.
\]
Чому такі вирази створюють труднощі? Причина в тому, що після безпосереднього застосування стандартних формул корінь зазвичай нікуди не зникає. Тому спочатку намагаються перетворити змінну так, щоб дробові степені стали цілими або радикал набув простішої форми.
Такий процес називають раціоналізацією підінтегрального виразу. У найзручнішому випадку після заміни отримують раціональну функцію нової змінної. Тоді можна застосовувати стандартні правила інтегрування.
Проте одна заміна не підходить для всіх випадків. Якщо під коренем стоїть лінійний вираз, використовується один підхід. Якщо маємо суму або різницю квадратів — інший. Саме тому перед вибором заміни потрібно визначити, яку структуру має підінтегральний вираз.
Інтегрування Ірраціональних Функцій: Корені Лінійних Виразів
Почнемо з найпростішої ситуації. Нехай підінтегральна функція містить корінь
\[
\sqrt[n]{a\cdot x+b}.
\]
Тут зручно зробити так, щоб сам корінь став новою змінною:
\[
t=\sqrt[n]{a\cdot x+b}.
\]
Тоді
\[
t^n=a\cdot x+b.
\]
Звідси легко виразити початкову змінну:
\[
x=\frac{t^n-b}{a}.
\]
Після диференціювання отримуємо
\[
dx=\frac{n\cdot t^{n-1}}{a}\,dt.
\]
У чому перевага такого переходу? Корінь зникає і перетворюється на звичайний степінь \( t \). Якщо решта підінтегрального виразу також виражається через \( t \), ми отримуємо значно простіший інтеграл.
Наприклад, якщо зустрічається вираз
\[
\sqrt[3]{2\cdot x+1},
\]
природно покласти
\[
t=\sqrt[3]{2\cdot x+1}.
\]
Тоді лінійний вираз \( 2\cdot x+1 \) стає рівним \( t^3 \). Уже на цьому етапі видно, як корінь переходить у цілий степінь.
Отже, для одного кореня лінійного виразу головна ідея досить проста: нову змінну обирають так, щоб ірраціональна частина стала степенем із цілим показником.
Дробові Степені: Спільна Заміна Для Кількох Показників
Тепер ускладнимо ситуацію. Що робити, якщо підінтегральний вираз містить одразу кілька дробових степенів однієї змінної? Наприклад,
\[
x^{\frac12},
\qquad
x^{\frac13},
\qquad
x^{\frac14}.
\]
Окрема заміна для кожного степеня була б незручною. Значно краще підібрати одну змінну так, щоб усі дробові показники одночасно стали цілими.
Для цього використовують найменше спільне кратне знаменників дробових показників. Якщо маємо степені
\[
x^{\frac{m_1}{n_1}},
\qquad
x^{\frac{m_2}{n_2}},
\qquad
\dots,
\qquad
x^{\frac{m_k}{n_k}},
\]
позначимо через \( N \) найменше спільне кратне чисел
\[
n_1,n_2,\ldots,n_k.
\]
Тоді вводять заміну
\[
x=t^N.
\]
Звідси
\[
dx=N\cdot t^{N-1}\,dt.
\]
Кожний дробовий степінь набуває вигляду
\[
x^{\frac{m_i}{n_i}}
=
t^{\frac{N\cdot m_i}{n_i}}.
\]
Оскільки \( N \) кратне \( n_i \), показник
\[
\frac{N\cdot m_i}{n_i}
\]
є цілим числом.
Наприклад, для степенів \( x^{\frac12} \) і \( x^{\frac13} \) знаменники дорівнюють \( 2 \) і \( 3 \), а їх найменше спільне кратне дорівнює \( 6 \). Тому доцільно покласти
\[
x=t^6.
\]
Тоді \( x^{\frac12}=t^3 \), а \( x^{\frac13}=t^2 \). Отже, замість двох дробових степенів отримуємо степені з цілими показниками. Саме це і є головною метою такої заміни.
Квадратні Радикали: Тригонометричні Заміни
Наступний тип ірраціональних виразів уже не зводиться до простого вибору степеня нової змінної. Йдеться про квадратні радикали, що містять суму або різницю квадратів.
Розглянемо форму
\[
\sqrt{a^2-x^2}.
\]
Тут зручно покласти
\[
x=a\cdot\sin(t).
\]
Чому саме синус? Після заміни вираз під коренем стає
\[
a^2-a^2\cdot\sin^2(t)
=
a^2\cdot\left(1-\sin^2(t)\right).
\]
А за тотожністю
\[
1-\sin^2(t)=\cos^2(t)
\]
отримуємо квадрат тригонометричної функції. Отже, сам радикал суттєво спрощується.
Для виразу
\[
\sqrt{x^2+a^2}
\]
зручніше використати заміну
\[
x=a\cdot\tan(t),
\]
оскільки тоді виникає тотожність
\[
1+\tan^2(t)=\frac{1}{\cos^2(t)}.
\]
А якщо маємо
\[
\sqrt{x^2-a^2},
\]
типовою є заміна
\[
x=\frac{a}{\cos(t)}.
\]
У цьому випадку працює співвідношення
\[
\frac{1}{\cos^2(t)}-1=\tan^2(t).
\]
Наприклад, для радикала
\[
\sqrt{9-x^2}
\]
природно покласти
\[
x=3\cdot\sin(t).
\]
Тоді вираз під коренем перетворюється на квадрат косинуса, тому радикал спрощується.
Таким чином, тригонометрична заміна обирається не випадково. Її підбирають так, щоб вираз під коренем перетворився на квадрат тригонометричної функції.
Квадратний Тричлен Під Коренем: Перехід до Стандартної Форми
А що робити, якщо під коренем стоїть не готова різниця або сума квадратів, а загальний квадратний тричлен
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c?
\]
У такій ситуації відразу застосовувати тригонометричну заміну зазвичай незручно. Спочатку потрібно перетворити сам тричлен.
Для \( a\neq0 \) виділяємо повний квадрат:
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c
=
a\left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2
+
c-\frac{b^2}{4\cdot a}.
\]
Тепер структура стає набагато зрозумілішою. Після відповідної лінійної заміни підкореневий вираз можна привести до однієї зі стандартних форм:
\[
\begin{gathered}
A^2-u^2,\\[4pt]
u^2+A^2,
\end{gathered}
\]
або
\[
u^2-A^2.
\]
Тобто цей випадок логічно зводиться до попереднього. Спочатку квадратний тричлен перетворюємо, а вже потім застосовуємо відповідну тригонометричну заміну.
Наприклад, якщо під коренем маємо
\[
x^2+4\cdot x+8,
\]
то спочатку записуємо
\[
x^2+4\cdot x+8
=
(x+2)^2+4.
\]
Після заміни
\[
u=x+2
\]
радикал набуває форми
\[
\sqrt{u^2+4}.
\]
Тепер уже легко визначити, яка тригонометрична заміна відповідає цьому типу.
Отже, виділення повного квадрата тут не є самостійним методом інтегрування. Це підготовчий крок, який приводить складніший радикал до вже знайомої форми.
Інтегрування Ірраціональних Функцій: Підстановки Ейлера
Тригонометричні заміни добре працюють із квадратними радикалами, але існує й інший підхід. Для виразів виду
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
\]
можна застосовувати підстановки Ейлера. Їхня основна мета — раціоналізувати і змінну \( x \), і сам квадратний корінь.
Якщо \( a>0 \), можна використати співвідношення
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
=
\sqrt{a}\cdot x+t.
\]
Після піднесення обох частин до квадрата маємо
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c
=
a\cdot x^2+2\cdot\sqrt{a}\cdot x\cdot t+t^2.
\]
Члени \( a\cdot x^2 \) скорочуються. У результаті залишається рівняння, з якого \( x \) виражається через \( t \) як раціональна функція.
Якщо ж \( c>0 \), можна використовувати іншу підстановку:
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
=
t\cdot x+\sqrt{c}.
\]
Після піднесення до квадрата знову виникає рівняння, яке дозволяє раціонально виразити \( x \) через нову змінну.
Третій варіант пов’язаний із випадком, коли квадратний тричлен має дійсні корені. Якщо
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c
=
a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2),
\]
можна використати підстановку
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
=
t\cdot(x-x_1).
\]
Після піднесення до квадрата спільний множник \( x-x_1 \) скорочується, а змінну \( x \) знову можна виразити через \( t \) раціонально.
У чому принципова відмінність від тригонометричної заміни? Там радикал перетворюється на вираз із тригонометричними функціями. Тут же мета полягає в іншому: отримати раціональні функції нової змінної. Саме тому підстановки Ейлера особливо корисні тоді, коли потрібно звести інтеграл до інтегрування раціонального дробу.
Коректність Заміни: Область Визначення та Повернення до Змінної
Після того як заміну знайдено, залишається ще одне важливе питання: чи можна виконувати всі подальші перетворення без додаткових обмежень?
Не завжди. Особливо уважними потрібно бути з квадратними коренями. Наприклад,
\[
\sqrt{\cos^2(t)}
=
|\cos(t)|,
\]
а не просто \( \cos(t) \).
Тому під час заміни
\[
x=a\cdot\sin(t)
\]
зазвичай обирають такий проміжок для \( t \), на якому знак \( \cos(t) \) відомий. Наприклад, можна взяти
\[
-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}.
\]
На цьому проміжку
\[
\cos(t)\geq0,
\]
тому
\[
|\cos(t)|=\cos(t).
\]
Подібні міркування потрібні й для інших тригонометричних замін. Інакше під час спрощення радикала можна непомітно змінити знак виразу.
Крім того, важливо враховувати область визначення початкової функції. Якщо під коренем стоїть
\[
a^2-x^2,
\]
то для дійсних значень потрібно виконання умови
\[
a^2-x^2\geq0.
\]
Отже,
\[
|x|\leq|a|.
\]
Для радикала
\[
\sqrt{x^2-a^2}
\]
умова вже інша:
\[
x^2-a^2\geq0.
\]
Тому
\[
|x|\geq|a|.
\]
Нарешті, після інтегрування потрібно повернутися від нової змінної до початкової. Якщо, наприклад,
\[
x=a\cdot\tan(t),
\]
то
\[
t=\arctan\left(\frac{x}{a}\right).
\]
Якщо ж під час подальших перетворень з’являються \( \sin(t) \), \( \cos(t) \) або інші функції, їх також потрібно правильно виразити через \( x \).
Отже, вдала заміна — це не лише спосіб позбутися радикала. Вона повинна бути коректною на відповідному проміжку, не порушувати область визначення та дозволяти правильно повернутися до початкової змінної. Саме тоді перетворення ірраціонального інтеграла буде не лише зручним, а й математично правильним.
Інтегрування Ірраціональних Функцій: Покрокове Застосування Типових Замін
Розглянемо, як інтегрування ірраціональних функцій виконується на практиці за допомогою типових замін. У кожному випадку спочатку визначимо структуру підінтегрального виразу, потім оберемо відповідну заміну та зведемо початковий інтеграл до стандартного.
Приклад 1. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx.
\]
Підінтегральний вираз містить квадратний корінь лінійного виразу \( 2\cdot x+1 \). Тому доцільно ввести нову змінну так, щоб сам корінь перетворився на \( t \):
\[
t=\sqrt{2\cdot x+1}.
\]
Піднесемо обидві частини до квадрата:
\[
t^2=2\cdot x+1.
\]
Звідси виразимо \( x \):
\[
\begin{gathered}
2\cdot x=t^2-1,\\[4pt]
x=\frac{t^2-1}{2}.
\end{gathered}
\]
Тепер знайдемо диференціал \( dx \). Диференціюючи останню рівність, отримуємо
\[
dx=t\,dt.
\]
Крім того,
\[
\sqrt{2\cdot x+1}=t.
\]
Підставляємо всі отримані вирази в початковий інтеграл:
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx
=
\int\frac{\frac{t^2-1}{2}}{t}\cdot t\,dt.
\]
Скорочуємо \( t \):
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx
=
\frac{1}{2}\int(t^2-1)\,dt.
\]
Тепер маємо звичайний інтеграл від многочлена:
\[
\frac{1}{2}\int(t^2-1)\,dt
=
\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+C.
\]
Отже,
\[
\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+C
=
\frac{t^3}{6}-\frac{t}{2}+C.
\]
Повертаємося до початкової змінної:
\[
t=\sqrt{2\cdot x+1}.
\]
Тому
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx
=
\frac{(2\cdot x+1)^{\frac32}}{6}
–
\frac{\sqrt{2\cdot x+1}}{2}
+C.
\]
У цьому випадку заміна дозволила повністю позбутися кореня і перейти до інтегрування многочлена.
Приклад 2. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int\frac{dx}{x^{\frac12}+x^{\frac13}}.
\]
Тут підінтегральний вираз містить одразу два дробові степені \( x^{\frac12} \) і \( x^{\frac13} \). Оскільки працюємо з дійсними значеннями, для існування квадратного кореня потрібно \( x\geq0 \), а знаменник не повинен дорівнювати нулю. Тому для цього інтеграла розглядаємо
\[
x>0.
\]
Як підібрати одну заміну для обох дробових степенів? Знаменники показників дорівнюють \( 2 \) і \( 3 \), а їх найменше спільне кратне дорівнює \( 6 \). Тому покладемо
\[
x=t^6.
\]
Для \( x>0 \) можемо взяти
\[
t=x^{\frac16}>0.
\]
Тоді
\[
dx=6\cdot t^5\,dt.
\]
Обидва дробові степені перетворюються на степені з цілими показниками:
\[
\begin{gathered}
x^{\frac12}
=
(t^6)^{\frac12}
=
t^3,\\[4pt]
x^{\frac13}
=
(t^6)^{\frac13}
=
t^2.
\end{gathered}
\]
Підставляємо отримані вирази:
\[
\int\frac{dx}{x^{\frac12}+x^{\frac13}}
=
\int\frac{6\cdot t^5}{t^3+t^2}\,dt.
\]
У знаменнику винесемо \( t^2 \):
\[
t^3+t^2=t^2\cdot(t+1).
\]
Тоді
\[
\int\frac{6\cdot t^5}{t^3+t^2}\,dt
=
6\int\frac{t^3}{t+1}\,dt.
\]
Отримали раціональний дріб. Щоб його проінтегрувати, виконаємо ділення многочленів:
\[
\frac{t^3}{t+1}
=
t^2-t+1-\frac{1}{t+1}.
\]
Тому
\[
6\int\frac{t^3}{t+1}\,dt
=
6\int\left(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\right)dt.
\]
Інтегруємо кожний доданок:
\[
6\cdot\left(
\frac{t^3}{3}
–
\frac{t^2}{2}
+
t
–
\ln|t+1|
\right)+C.
\]
Після множення на \( 6 \) маємо
\[
2\cdot t^3
–
3\cdot t^2
+
6\cdot t
–
6\cdot\ln|t+1|
+C.
\]
Тепер повернемося до \( x \). Оскільки
\[
t=x^{\frac16},
\]
маємо
\[
t^2=x^{\frac13},
\qquad
t^3=x^{\frac12}.
\]
Тому
\[
\int\frac{dx}{x^{\frac12}+x^{\frac13}}
=
2\cdot x^{\frac12}
–
3\cdot x^{\frac13}
+
6\cdot x^{\frac16}
–
6\cdot\ln\left|x^{\frac16}+1\right|
+C.
\]
Оскільки \( x>0 \), вираз \( x^{\frac16}+1 \) додатний, тому модуль у цьому випадку можна також опустити.
Тут одна спільна заміна одночасно усунула обидва дробові показники. Саме для цього й використовують найменше спільне кратне їх знаменників.
Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx.
\]
Під коренем маємо різницю квадратів:
\[
9-x^2=3^2-x^2.
\]
Це стандартна форма
\[
a^2-x^2,
\]
тому використаємо тригонометричну заміну
\[
x=3\cdot\sin(t).
\]
Візьмемо
\[
-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2},
\]
щоб
\[
\cos(t)\geq0.
\]
Знайдемо диференціал:
\[
dx=3\cdot\cos(t)\,dt.
\]
Тепер перетворимо радикал:
\[
\sqrt{9-x^2}
=
\sqrt{9-9\cdot\sin^2(t)}.
\]
Виносимо \( 9 \):
\[
\sqrt{9-9\cdot\sin^2(t)}
=
3\cdot\sqrt{1-\sin^2(t)}.
\]
Використовуємо тотожність
\[
1-\sin^2(t)=\cos^2(t).
\]
Отже, на обраному проміжку
\[
\sqrt{9-x^2}
=
3\cdot\cos(t).
\]
Підставляємо все в інтеграл:
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx
=
\int3\cdot\cos(t)\cdot3\cdot\cos(t)\,dt.
\]
Тобто
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx
=
9\int\cos^2(t)\,dt.
\]
Для інтегрування використаємо формулу пониження степеня:
\[
\cos^2(t)
=
\frac{1+\cos(2\cdot t)}{2}.
\]
Тоді
\[
9\int\cos^2(t)\,dt
=
\frac{9}{2}\int\left(1+\cos(2\cdot t)\right)dt.
\]
Інтегруємо:
\[
\frac{9}{2}\cdot\left(
t+\frac{\sin(2\cdot t)}{2}
\right)+C.
\]
Оскільки
\[
\sin(2\cdot t)
=
2\cdot\sin(t)\cdot\cos(t),
\]
отримуємо
\[
\frac{9}{2}\cdot
\left(
t+\sin(t)\cdot\cos(t)
\right)+C.
\]
Тепер повернемося до \( x \). Із заміни
\[
x=3\cdot\sin(t)
\]
маємо
\[
\sin(t)=\frac{x}{3},
\]
а також
\[
t=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right).
\]
Косинус виразимо через \( x \):
\[
\cos(t)
=
\sqrt{1-\sin^2(t)}
=
\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}
=
\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}.
\]
Отже,
\[
\sin(t)\cdot\cos(t)
=
\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}
=
\frac{x\cdot\sqrt{9-x^2}}{9}.
\]
Після підстановки отримуємо
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx
=
\frac{x\cdot\sqrt{9-x^2}}{2}
+
\frac{9}{2}\cdot\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)
+C.
\]
Тригонометрична заміна спрацювала завдяки тому, що різниця квадратів перетворилася на вираз із \( \cos^2(t) \), а квадратний корінь вдалося усунути.
Приклад 4. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4\cdot x}}.
\]
Під коренем стоїть квадратний тричлен, який ще не має стандартної форми. Тому спочатку виділимо повний квадрат:
\[
x^2+4\cdot x
=
x^2+4\cdot x+4-4.
\]
Отже,
\[
x^2+4\cdot x
=
(x+2)^2-4.
\]
Початковий інтеграл набуває вигляду
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2-4}}.
\]
Зробимо лінійну заміну
\[
u=x+2.
\]
Тоді
\[
du=dx.
\]
Отримуємо
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}.
\]
Під коренем тепер маємо різницю квадратів
\[
u^2-2^2.
\]
Для дійсних значень початкової функції потрібно
\[
x^2+4\cdot x>0,
\]
оскільки радикал міститься у знаменнику. Тому інтеграл розглядаємо на проміжках \( x<-4 \) або \( x>0 \).
Спочатку розглянемо проміжок \( x>0 \). Тоді \( u>2 \), тому зручно використати тригонометричну заміну
\[
u=\frac{2}{\cos(t)},
\]
де
\[
0<t<\frac{\pi}{2}.
\]
На цьому проміжку
\[
\cos(t)>0,
\qquad
\tan(t)>0.
\]
Диференціюємо:
\[
du
=
2\cdot\frac{\sin(t)}{\cos^2(t)}\,dt.
\]
Тепер перетворимо радикал:
\[
\sqrt{u^2-4}
=
\sqrt{\frac{4}{\cos^2(t)}-4}.
\]
Виносимо \( 4 \):
\[
\sqrt{u^2-4}
=
2\cdot\sqrt{\frac{1}{\cos^2(t)}-1}.
\]
Використовуємо тотожність
\[
\frac{1}{\cos^2(t)}-1=\tan^2(t).
\]
Тому на обраному проміжку
\[
\sqrt{u^2-4}
=
2\cdot\tan(t).
\]
Підставляємо отримані вирази:
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}
=
\int
\frac{
2\cdot\frac{\sin(t)}{\cos^2(t)}
}{
2\cdot\tan(t)
}
\,dt.
\]
Оскільки
\[
\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)},
\]
маємо
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}
=
\int\frac{1}{\cos(t)}\,dt.
\]
Це стандартний інтеграл:
\[
\int\frac{1}{\cos(t)}\,dt
=
\ln\left|
\frac{1}{\cos(t)}+\tan(t)
\right|+C.
\]
Тепер повернемося до \( u \). Із заміни
\[
u=\frac{2}{\cos(t)}
\]
отримуємо
\[
\frac{1}{\cos(t)}=\frac{u}{2}.
\]
Крім того,
\[
2\cdot\tan(t)=\sqrt{u^2-4},
\]
тому
\[
\tan(t)=\frac{\sqrt{u^2-4}}{2}.
\]
Отже,
\[
\ln\left|
\frac{1}{\cos(t)}+\tan(t)
\right|
=
\ln\left|
\frac{u+\sqrt{u^2-4}}{2}
\right|.
\]
Сталий множник \( 1/2 \) усередині логарифма можна включити до довільної сталої інтегрування. Тому
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}
=
\ln\left|u+\sqrt{u^2-4}\right|+C.
\]
Повертаємося до \( x \):
\[
u=x+2.
\]
Отже,
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4\cdot x}}
=
\ln\left|
x+2+\sqrt{x^2+4\cdot x}
\right|
+C.
\]
Цю саму первісну, з відповідною сталою інтегрування, можна використовувати і для \( x<-4 \).
У цьому випадку виділення повного квадрата перетворило квадратний тричлен на стандартну форму \( u^2-a^2 \). Після цього тригонометрична заміна дозволила усунути радикал і перейти до стандартного інтеграла.
Приклад 5. Знайти невизначений інтеграл
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}.
\]
Під коренем маємо квадратний тричлен, причому коефіцієнт при \( x^2 \) додатний. Тому використаємо одну з підстановок Ейлера:
\[
\sqrt{x^2+x+1}=x+t.
\]
Мета цієї заміни полягає в тому, щоб виразити \( x \), \( dx \) і сам квадратний корінь через \( t \) за допомогою раціональних функцій.
Спочатку виразимо \( x \) через \( t \). Піднесемо обидві частини рівності до квадрата:
\[
x^2+x+1
=
(x+t)^2.
\]
Розкриваємо квадрат:
\[
x^2+x+1
=
x^2+2\cdot x\cdot t+t^2.
\]
Скорочуємо \( x^2 \):
\[
x+1
=
2\cdot x\cdot t+t^2.
\]
Переносимо члени з \( x \) в одну частину:
\[
x-2\cdot x\cdot t
=
t^2-1.
\]
Виносимо \( x \):
\[
x\cdot(1-2\cdot t)
=
t^2-1.
\]
Звідси
\[
x=
\frac{t^2-1}{1-2\cdot t}.
\]
Тепер знайдемо \( dx \). Диференціюємо отриману дробово-раціональну функцію:
\[
dx
=
\frac{
2\cdot t(1-2\cdot t)+2\cdot(t^2-1)
}{
(1-2\cdot t)^2
}\,dt.
\]
Спрощуємо чисельник:
\[
2\cdot t-4\cdot t^2+2\cdot t^2-2
=
-2\cdot(t^2-t+1).
\]
Отже,
\[
dx
=
-\frac{2\cdot(t^2-t+1)}{(1-2\cdot t)^2}\,dt.
\]
Залишилося виразити через \( t \) сам радикал. За початковою підстановкою
\[
\sqrt{x^2+x+1}=x+t.
\]
Підставляємо знайдений вираз для \( x \):
\[
x+t
=
\frac{t^2-1}{1-2\cdot t}+t.
\]
Зводимо до спільного знаменника:
\[
x+t
=
\frac{t^2-1+t-2\cdot t^2}{1-2\cdot t}.
\]
Отже,
\[
x+t
=
\frac{-t^2+t-1}{1-2\cdot t}.
\]
Помноживши чисельник і знаменник на \( -1 \), отримуємо
\[
\sqrt{x^2+x+1}
=
\frac{t^2-t+1}{2\cdot t-1}.
\]
Оскільки
\[
(1-2\cdot t)^2=(2\cdot t-1)^2,
\]
диференціал можна записати у вигляді
\[
dx
=
-\frac{2\cdot(t^2-t+1)}{(2\cdot t-1)^2}\,dt.
\]
Тепер підставляємо обидва вирази в інтеграл:
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}
=
\int
\frac{
-\frac{2\cdot(t^2-t+1)}{(2\cdot t-1)^2}
}{
\frac{t^2-t+1}{2\cdot t-1}
}
\,dt.
\]
Скорочуємо спільний множник \( t^2-t+1 \):
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}
=
-2\int\frac{dt}{2\cdot t-1}.
\]
Отже, початковий ірраціональний інтеграл перетворився на звичайний раціональний інтеграл.
Виконаємо просту заміну
\[
u=2\cdot t-1.
\]
Тоді
\[
du=2\,dt.
\]
Маємо
\[
-2\int\frac{dt}{2\cdot t-1}
=
-\int\frac{du}{u}.
\]
Звідси
\[
-\int\frac{du}{u}
=
-\ln|u|+C.
\]
Повертаємося до \( t \):
\[
-\ln|2\cdot t-1|+C.
\]
Із початкової підстановки Ейлера
\[
\sqrt{x^2+x+1}=x+t
\]
маємо
\[
t=\sqrt{x^2+x+1}-x.
\]
Тому
\[
-\ln\left|
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}-2\cdot x-1
\right|+C.
\]
Цей результат можна записати у більш звичній формі. Для цього використаємо рівність
\[
\left(
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}-2\cdot x-1
\right)
\cdot
\left(
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}+2\cdot x+1
\right)
=
3.
\]
Отже, різниця між двома логарифмічними формами результату зводиться до сталої \( \ln(3) \), яку можна включити до довільної сталої інтегрування. Тому остаточно отримуємо
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}
=
\ln\left|
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}+2\cdot x+1
\right|
+C.
\]
Цей приклад добре показує особливість підстановки Ейлера. Початковий вираз із квадратним радикалом після заміни перетворився на раціональну функцію нової змінної, після чого інтегрування вже не потребувало роботи з коренем.
Наступний Крок в Інтегральному Численні: Теми Для Продовження
Ірраціональні функції — лише одна з важливих тем інтегрального числення. Далі варто перейти до визначених інтегралів, їх обчислення та практичного застосування в геометричних задачах.
- Визначений інтеграл: Геометричний зміст і властивості — Розберемо, що означає визначений інтеграл геометрично, як його пов’язують із площею та які основні властивості використовують в обчисленнях.
- Формула Ньютона–Лейбніца: Як обчислювати визначений інтеграл — Дізнаємося, як за допомогою первісної знаходити значення визначеного інтеграла та правильно підставляти межі інтегрування.
- Площа фігури за допомогою інтеграла: Формули та приклади — Розглянемо, як визначений інтеграл застосовують для знаходження площ областей, обмежених графіками функцій і заданими прямими.
Інтегрування Ірраціональних Функцій: Від Первісної до Програмного Коду
Захоплюєтеся програмуванням? Тоді спробуйте реалізувати поданий на блок-схемі алгоритм своєю улюбленою мовою — Pascal, Python, JavaScript чи C++. Програма перевіряє знайдену первісну
\[
F(x)=\frac{(2\cdot x+1)^{\frac32}}{6}-\frac{\sqrt{2\cdot x+1}}{2}
\]
для підінтегральної функції
\[
f(x)=\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}.
\]
Алгоритм обчислює значення \( f(x) \), наближено знаходить похідну \( F'(x) \) та визначає різницю між отриманими значеннями. Так ви зможете застосувати знання про інтегрування ірраціональних функцій на практиці й побачити, як математичні обчислення реалізуються у програмному коді.
