Коли плоска фігура обертається навколо певної прямої, у просторі утворюється геометричне тіло. Щоб знайти об’єм тіла обертання, використовують визначений інтеграл, який пов’язує площі поперечних перерізів із загальним об’ємом. Спочатку розглянемо основні формули, а потім застосуємо їх у прикладах різної складності.
Від Плоскої Фігури До Просторового Тіла: Як Виникає Тіло Обертання
Почнемо з основної ідеї. Нехай на площині задано область, обмежену графіком функції, віссю координат і двома прямими. Якщо цю область обертати навколо певної осі, кожна її точка рухатиметься по колу.
У результаті плоска область утворює просторове тіло. Його форма залежить від самої області та від того, яку пряму вибрано віссю обертання.
Наприклад, якщо область розташована між графіком функції \( y=f(x) \) та віссю \( Ox \), а обертання відбувається навколо цієї осі, то відстань від графіка до осі визначає радіус кругових перерізів утвореного тіла.
Чому тут з’являється визначений інтеграл? Тіло можна уявити як сукупність дуже тонких шарів. Для кожного такого шару можна наближено визначити об’єм, а потім підсумувати отримані значення. Під час переходу до границі така сума приводить до визначеного інтеграла.
Отже, для знаходження об’єму потрібно визначити площу поперечного перерізу тіла та проінтегрувати її на відповідному проміжку.
Обертання Навколо Осі Ox: Формула Через Кругові Перерізи
Розглянемо функцію
\[ y=f(x), \]
яка є неперервною на відрізку \( [a,b] \). Нехай область між її графіком, віссю \( Ox \) та прямими \( x=a \) і \( x=b \) обертається навколо осі \( Ox \).
Зафіксуємо деяке значення \( x \). Переріз тіла площиною, перпендикулярною до осі \( Ox \), буде кругом. Його радіус дорівнює відстані від графіка функції до осі обертання:
\[ R(x)=|f(x)|. \]
Площу поперечного перерізу позначимо через \( A(x) \). Тоді
\[ A(x)=\pi\cdot(R(x))^2. \]
Оскільки
\[ (|f(x)|)^2=(f(x))^2, \]
отримуємо
\[ A(x)=\pi\cdot(f(x))^2. \]
Об’єм тіла дорівнює
\[ V=\int_a^b A(x)\,dx. \]
Тому
\[ V=\pi\int_a^b (f(x))^2\,dx. \]
Чому функція підноситься до квадрата? Причина безпосередньо пов’язана з геометрією круга. Значення \( f(x) \) визначає відстань до осі обертання, а площа круга залежить від квадрата його радіуса.
Обертання Навколо Осі Oy: Зміна Змінної Інтегрування
А що зміниться, якщо область обертати навколо осі \( Oy \)? У цьому випадку зручно розглядати горизонтальні перерізи та описувати межу області як функцію від \( y \).
Нехай
\[ x=g(y), \]
а змінна \( y \) набуває значень від \( c \) до \( d \).
Радіус кругового перерізу дорівнює
\[ R(y)=|g(y)|. \]
Тому його площа становить
\[ A(y)=\pi\cdot(g(y))^2. \]
Інтегруючи за \( y \), отримуємо
\[ V=\int_c^d A(y)\,dy, \]
або
\[ V=\pi\int_c^d (g(y))^2\,dy. \]
Отже, головна відмінність полягає у змінній інтегрування. Для перерізів, перпендикулярних до осі \( Oy \), радіус записують як функцію від \( y \) та інтегрують за цією змінною.
Кільцеві Перерізи: Коли Тіло Має Внутрішню Порожнину
Не кожний поперечний переріз тіла обертання є суцільним кругом. Якщо після обертання всередині тіла залишається порожнина, переріз має форму кільця.
Тоді потрібно визначити два радіуси. Зовнішній радіус \( R(x) \) — це більша відстань від осі обертання до межі області, а внутрішній радіус \( r(x) \) — менша.
Площа кільцевого перерізу дорівнює різниці площ двох кругів:
\[ A(x)=\pi\cdot(R(x))^2-\pi\cdot(r(x))^2. \]
Або
\[ A(x)=\pi\cdot\left((R(x))^2-(r(x))^2\right). \]
Тому об’єм становить
\[ V=\pi\int_a^b \left((R(x))^2-(r(x))^2\right)\,dx. \]
Чому площі потрібно віднімати? Зовнішній круг охоплює весь переріз разом із внутрішньою порожниною. Оскільки ця порожнина не належить тілу, її площу потрібно відняти.
При цьому зовнішній і внутрішній радіуси не слід визначати лише за тим, який графік розташований вище або нижче. Потрібно порівнювати саме відстані від меж області до осі обертання.
Об’єм Тіла Обертання: Практичні Обчислення За Допомогою Інтеграла
Після розгляду основних формул перейдемо до обчислень. У кожній задачі спочатку визначимо геометрію області та потрібні радіуси, а потім складемо відповідний визначений інтеграл.
Приклад 1. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox області, обмеженої графіком
\[
y=x,
\]
віссю \( Ox \) та прямими
\[
x=0,\qquad x=2.
\]
На відрізку \( [0,2] \) функція невід’ємна, тому радіус кругового перерізу дорівнює
\[ R(x)=x. \]
Його площа становить
\[ A(x)=\pi\cdot x^2. \]
Тоді
\[ V=\int_0^2 A(x)\,dx = \pi\int_0^2 x^2\,dx. \]
Знайдемо первісну:
\[ \int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}. \]
Отже,
\[ V=\pi\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2. \]
Підставимо межі:
\[ V = \pi\left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right) = \frac{8\pi}{3}. \]
Отже,
\[ V=\frac{8\pi}{3}. \]
Приклад 2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox області, обмеженої графіком
\[
y=x^2,
\]
віссю \( Ox \) та прямими
\[
x=0,\qquad x=2.
\]
На заданому відрізку
\[ R(x)=x^2. \]
Тому площа поперечного перерізу дорівнює
\[ A(x)=\pi\cdot(x^2)^2 = \pi\cdot x^4. \]
Отже,
\[ V=\pi\int_0^2 x^4\,dx. \]
Знайдемо первісну:
\[ \int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}. \]
Тоді
\[ V=\pi\left.\frac{x^5}{5}\right|_0^2. \]
Підставимо межі:
\[ V = \pi\left( \frac{2^5}{5} – \frac{0^5}{5} \right) = \frac{32\pi}{5}. \]
Отже,
\[ V=\frac{32\pi}{5}. \]
Зверніть увагу. Радіус дорівнює \( x^2 \), але у формулі площі круга він підноситься до квадрата ще раз. Саме тому під інтегралом з’являється \( x^4 \).
Приклад 3. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Oy області, обмеженої кривою
\[
x=\sqrt{y},
\]
віссю \( Oy \) та прямими
\[
y=0,\qquad y=4.
\]
Оскільки обертання відбувається навколо осі \( Oy \), інтегруємо за \( y \).
Радіус дорівнює
\[ R(y)=\sqrt{y}. \]
Тому
\[ A(y)=\pi\cdot(\sqrt{y})^2 = \pi\cdot y. \]
Отже,
\[ V=\pi\int_0^4 y\,dy. \]
Знайдемо первісну:
\[ \int y\,dy=\frac{y^2}{2}. \]
Тоді
\[ V=\pi\left.\frac{y^2}{2}\right|_0^4. \]
Підставимо межі:
\[ V = \pi\left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = 8\pi. \]
Отже,
\[ V=8\pi. \]
Приклад 4. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox області між графіками
\[
y=2,\qquad y=x,
\]
на відрізку
\[
0\leq x\leq2.
\]
Після обертання утворюються кільцеві перерізи. На відрізку \( [0,2] \) відстань від осі \( Ox \) до прямої \( y=2 \) є більшою або дорівнює відстані до графіка \( y=x \).
Тому
\[ R(x)=2, \]
а
\[ r(x)=x. \]
Площа кільцевого перерізу становить
\[ A(x) = \pi\cdot\left(2^2-x^2\right) = \pi\cdot(4-x^2). \]
Тоді
\[ V=\pi\int_0^2 (4-x^2)\,dx. \]
Знайдемо первісну:
\[ \int (4-x^2)\,dx = 4x-\frac{x^3}{3}. \]
Отже,
\[ V = \pi \left. \left( 4x-\frac{x^3}{3} \right) \right|_0^2. \]
Підставимо межі:
\[ V = \pi \left( 8-\frac{8}{3} \right) = \pi\cdot\frac{16}{3}. \]
Тому
\[ V=\frac{16\pi}{3}. \]
Приклад 5. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox області, обмеженої графіками
\[
y=2\cdot x,\qquad y=x^2.
\]
У цьому випадку межі інтегрування не задано, тому спочатку знайдемо точки перетину графіків:
\[ 2\cdot x=x^2. \]
Перенесемо всі члени в одну частину:
\[ x^2-2\cdot x=0. \]
Винесемо \( x \) за дужки:
\[ x\cdot(x-2)=0. \]
Звідси \( x=0 \) або \( x=2 \). Отже, область розташована на відрізку \( [0,2] \).
На цьому проміжку пряма \( y=2\cdot x \) розташована вище за параболу \( y=x^2 \), а в точках перетину їхні значення збігаються. Тому більша відстань від осі \( Ox \) дорівнює
\[ R(x)=2\cdot x, \]
а менша —
\[ r(x)=x^2. \]
Площа кільцевого перерізу становить
\[ A(x) = \pi\cdot \left( (2\cdot x)^2-(x^2)^2 \right). \]
Спростимо:
\[ A(x) = \pi\cdot \left( 4\cdot x^2-x^4 \right). \]
Тому
\[ V = \pi\int_0^2 \left( 4\cdot x^2-x^4 \right)\,dx. \]
Знайдемо первісну:
\[ \int \left( 4\cdot x^2-x^4 \right)\,dx = \frac{4\cdot x^3}{3} – \frac{x^5}{5}. \]
Отже,
\[ V = \pi \left. \left( \frac{4\cdot x^3}{3} – \frac{x^5}{5} \right) \right|_0^2. \]
Підставимо межі:
\[ V = \pi \left( \frac{4\cdot8}{3} – \frac{32}{5} \right). \]
Тоді
\[ V = \pi \left( \frac{32}{3} – \frac{32}{5} \right). \]
Зведемо дроби до спільного знаменника:
\[ V = \pi \left( \frac{160}{15} – \frac{96}{15} \right). \]
Отже,
\[ V=\frac{64\pi}{15}. \]
Цей приклад відрізняється тим, що межі інтегрування потрібно було знайти з рівняння перетину графіків. Після цього зовнішній і внутрішній радіуси визначили за їхніми відстанями до осі обертання.
Наступний Крок в Інтегральному Численні: Теми Для Продовження
Після обчислення об’ємів тіл обертання можна перейти до інших задач, у яких визначений інтеграл відіграє ключову роль. Які теми варто розглянути далі? Ось три логічні напрями для продовження.
- Довжина дуги кривої: Формула через визначений інтеграл — Розглянемо, як за допомогою визначеного інтеграла знаходити довжину ділянки кривої між заданими точками.
- Невласні інтеграли: Збіжність, розбіжність і приклади — Дізнаємося, як працювати з нескінченними межами та необмеженими функціями і визначати збіжність інтеграла.
- Подвійні інтеграли: Зміст, область інтегрування та приклади — Розберемо інтегрування функцій двох змінних, визначення області інтегрування та основні способи обчислення.
Об’єм Тіла Обертання: Від Блок-Схеми До Програмного Коду
Якщо вам подобається програмування, спробуйте реалізувати алгоритм із блок-схеми у своїй улюбленій мові. Він наближено обчислює об’єм тіла, що утворюється під час обертання навколо осі \( Ox \) області під графіком функції
\[ y=x^2+1. \]
Для цього відрізок розбивається на однакові частини, у кожній з них визначається радіус, а об’єми тонких шарів послідовно додаються. Спробуйте відтворити ці кроки в коді та перевірити, як змінюється результат зі збільшенням кількості частин.
