Невласні інтеграли розширюють поняття визначеного інтеграла на випадки, коли проміжок інтегрування є нескінченним або функція стає необмеженою. У таких ситуаціях головне питання полягає вже не лише в обчисленні інтеграла, а й у тому, чи можна взагалі отримати скінченний результат.
Саме тому під час роботи з невласними інтегралами особливу увагу приділяють збіжності та розбіжності. Далі розглянемо, які види невласних інтегралів існують, як їх правильно визначати через границі та за яких умов вони мають скінченне значення.
Невласний Інтеграл: Чому Потрібен Граничний Перехід
Для звичайного визначеного інтеграла функцію розглядають на скінченному проміжку \( [a,b] \). За відповідних умов можна записати
\[ \int_a^b f(x)\,dx. \]
Але що робити, якщо одна з меж інтегрування є нескінченною? Або якщо функція стає необмеженою поблизу певної точки проміжку? У таких випадках звичайне означення визначеного інтеграла безпосередньо застосувати не можна.
Натомість невласний інтеграл визначають за допомогою граничного переходу. Для цього нескінченну межу або точку, поблизу якої функція стає необмеженою, замінюють змінною межею інтегрування. Після цього обчислюють визначений інтеграл на відповідному скінченному проміжку, а далі досліджують границю отриманого виразу.
Наприклад, символ \( +\infty \) у верхній межі інтегрування не означає, що нескінченність потрібно підставити у первісну замість числа. Нескінченність не є числовим значенням. Вона лише показує, що верхня межа інтегрування необмежено віддаляється.
Схожий підхід використовують і тоді, коли функція стає необмеженою поблизу певної точки. У цьому випадку змінна межа інтегрування наближається до цієї точки зліва або справа залежно від її положення на проміжку.
Отже, невласний інтеграл не обчислюють безпосередньо так само, як звичайний визначений інтеграл. Спочатку його записують через відповідну границю, а вже потім досліджують отриманий вираз. Далі розглянемо, як цей підхід застосовують для невласних інтегралів першого та другого роду.
Нескінченний Проміжок: Невласні Інтеграли Першого Роду
Якщо хоча б одна з меж інтегрування є нескінченною, маємо невласний інтеграл першого роду.
Розглянемо спочатку випадок, коли нескінченною є права межа:
\[ \int_a^{+\infty} f(x)\,dx. \]
Щоб надати цьому запису точного математичного змісту, замінимо \( +\infty \) скінченною змінною межею \( b \):
\[ \int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_a^b f(x)\,dx. \]
Спочатку функцію інтегрують на звичайному скінченному проміжку \( [a,b] \). Потім значення \( b \) збільшують і досліджують, як змінюється значення отриманого визначеного інтеграла.
Якщо нескінченною є ліва межа, використовують аналогічний підхід:
\[ \int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty} \int_a^b f(x)\,dx. \]
Тут змінна межа \( a \) необмежено віддаляється у від’ємному напрямку.
Окремої уваги потребує випадок, коли нескінченними є обидві межі:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx. \]
Такий інтеграл не визначають одним одночасним переходом обох меж до нескінченності. Натомість обирають довільну скінченну точку \( c \) і розділяють проміжок:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx + \int_c^{+\infty} f(x)\,dx. \]
Після цього кожну частину записують через власну границю:
\[ \begin{gathered} \int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty} \int_a^c f(x)\,dx,\\[6pt] \int_c^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_c^b f(x)\,dx. \end{gathered} \]
Чому потрібно використовувати саме два незалежні переходи? Тому що поведінка функції при \( x\to-\infty \) та при \( x\to+\infty \) може бути різною. Отже, ліву та праву нескінченні частини необхідно досліджувати окремо.
Необмежена Функція: Невласні Інтеграли Другого Роду
Нескінченний проміжок — не єдина причина появи невласного інтеграла. Проміжок може залишатися скінченним, але сама функція може бути необмеженою поблизу однієї з його точок. У такому разі маємо невласний інтеграл другого роду.
Припустимо, що функція \( f(x) \) необмежена при наближенні до правого кінця проміжку \( b \). Тоді
\[ \int_a^b f(x)\,dx \]
визначають за формулою
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t\to b-} \int_a^t f(x)\,dx. \]
Позначення \( t\to b- \) означає, що точка \( t \) наближається до \( b \) зліва. Таким чином, під час обчислення звичайного визначеного інтеграла ми не доходимо безпосередньо до точки, поблизу якої функція стає необмеженою.
Якщо функція необмежена біля лівої межі \( a \), використовують правостороннє наближення:
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t\to a+} \int_t^b f(x)\,dx. \]
Тут запис \( t\to a+ \) означає, що \( t \) наближається до точки \( a \) справа.
Ще один важливий випадок виникає, коли функція необмежена у внутрішній точці проміжку. Нехай \( c\in(a,b) \), і саме поблизу \( c \) функція стає необмеженою. Тоді інтеграл розділяють на дві частини:
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx. \]
Першу частину визначають через лівосторонню границю:
\[ \int_a^c f(x)\,dx = \lim_{t\to c-} \int_a^t f(x)\,dx, \]
а другу — через правосторонню:
\[ \int_c^b f(x)\,dx = \lim_{t\to c+} \int_t^b f(x)\,dx. \]
Навіщо тут дві різні границі? Функція може поводитися по-різному зліва і справа від точки \( c \). Саме тому обидві частини потрібно досліджувати незалежно.
Іноді в одному інтегралі одночасно присутні кілька причин невласності. Наприклад, проміжок може бути нескінченним, а функція водночас — необмеженою у певній його точці. Тоді проміжок розбивають на частини так, щоб кожну причину невласності можна було дослідити окремим граничним переходом.
Збіжність і Розбіжність: Умови Існування Невласного Інтеграла
Тепер, коли невласний інтеграл можна правильно записати через одну або кілька границь, виникає головне питання: чи має він скінченне числове значення?
Невласний інтеграл називають збіжним, якщо відповідні границі існують і кожна з них дорівнює скінченному числу.
Наприклад, якщо
\[ \lim_{b\to+\infty} \int_a^b f(x)\,dx=L, \qquad L\in\mathbb{R}, \]
то
\[ \int_a^{+\infty}f(x)\,dx=L. \]
Число \( L \) у цьому випадку і є значенням невласного інтеграла.
Якщо ж потрібна границя не існує або не є скінченною, невласний інтеграл називають розбіжним. Зокрема, так відбувається, якщо відповідний вираз необмежено зростає, необмежено спадає або не наближається до скінченного числа.
Якщо невласний інтеграл складається з кількох невласних частин, він збігається лише тоді, коли кожна з них збігається окремо. Розбіжність хоча б однієї частини означає розбіжність усього інтеграла.
Отже, під час роботи з невласним інтегралом важливо дотримуватися чіткої послідовності. Спочатку потрібно визначити причину його невласності, потім правильно записати інтеграл через відповідні границі й лише після цього дослідити їх існування. Саме результат такого дослідження показує, чи можна надати невласному інтегралу скінченне числове значення.
Невласні Інтеграли На Практиці: Покрокове Обчислення і Перевірка Збіжності
Тепер застосуємо розглянуті означення безпосередньо під час обчислень. У кожному випадку спочатку визначимо причину невласності, потім перейдемо до відповідної границі, знайдемо визначений інтеграл і зробимо висновок про його збіжність або розбіжність.
Приклад 1. Обчислити невласний інтеграл
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
\]
та визначити, чи є він збіжним.
Функція
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
є неперервною на проміжку \( [1,+\infty) \). Причина невласності пов’язана з нескінченною верхньою межею.
Тому замінимо \( +\infty \) змінною межею \( b \):
\[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_1^b\frac{1}{x^2}\,dx. \]
Перепишемо підінтегральну функцію у степеневій формі:
\[ \frac{1}{x^2}=x^{-2}. \]
Знайдемо первісну:
\[ \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}. \]
Отже,
\[ \int_1^b\frac{1}{x^2}\,dx = \left.-\frac{1}{x}\right|_1^b. \]
Підставимо межі інтегрування:
\[ \left.-\frac{1}{x}\right|_1^b = -\frac{1}{b}-(-1) = 1-\frac{1}{b}. \]
Тепер знайдемо границю:
\[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \left(1-\frac{1}{b}\right). \]
Оскільки
\[ \lim_{b\to+\infty}\frac{1}{b}=0, \]
отримаємо
\[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=1. \]
Границя існує та має скінченне значення. Отже, невласний інтеграл збіжний, а його значення дорівнює \( 1 \).
Приклад 2. Дослідити невласний інтеграл
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx.
\]
Причиною невласності знову є нескінченна верхня межа. Тому запишемо інтеграл через границю:
\[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_1^b\frac{1}{x}\,dx. \]
Первісною для функції \( 1/x \) на проміжку \( x>0 \) є \( \ln(x) \). Тому
\[ \int_1^b\frac{1}{x}\,dx = \left.\ln(x)\right|_1^b. \]
Підставимо межі:
\[ \left.\ln(x)\right|_1^b = \ln(b)-\ln(1). \]
Оскільки
\[ \ln(1)=0, \]
отримаємо
\[ \int_1^b\frac{1}{x}\,dx=\ln(b). \]
Тоді
\[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b\to+\infty}\ln(b). \]
При \( b\to+\infty \) логарифм необмежено зростає:
\[ \lim_{b\to+\infty}\ln(b)=+\infty. \]
Отже, скінченної границі немає, тому
\[ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx \]
є розбіжним.
Цей результат показує, що самого існування первісної недостатньо для збіжності невласного інтеграла. Вирішальним є значення відповідної границі.
Приклад 3. Обчислити невласний інтеграл
\[
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
\]
та визначити його збіжність.
Тут проміжок інтегрування скінченний, але функція
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \]
необмежено зростає при \( x\to0+ \). Тому маємо невласний інтеграл другого роду.
Замінимо нижню межу \( 0 \) змінною \( a>0 \):
\[ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a\to0+} \int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx. \]
Перепишемо підінтегральну функцію:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac12}. \]
Знайдемо первісну:
\[ \int x^{-\frac12}\,dx = 2\cdot\sqrt{x}. \]
Тому
\[ \int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left.2\cdot\sqrt{x}\right|_a^1. \]
Підставимо межі:
\[ \left.2\sqrt{x}\right|_a^1 = 2-2\cdot\sqrt{a}. \]
Тепер знайдемо границю:
\[ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{a\to0+} \left(2-2\cdot\sqrt{a}\right). \]
Оскільки
\[ \lim_{a\to0+}\sqrt{a}=0, \]
отримаємо
\[ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2. \]
Отже, попри необмеженість функції поблизу точки \( x=0 \), відповідна границя є скінченною. Тому інтеграл збіжний, а його значення дорівнює \( 2 \).
Приклад 4. Дослідити невласний інтеграл
\[
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx.
\]
Межі інтегрування є скінченними, однак функція
\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]
не визначена при \( x=0 \) і необмежено зростає поблизу цієї точки.
Оскільки точка \(x=0\), у якій функція не визначена, розташована всередині проміжку \([-1,1]\), інтеграл потрібно розділити в цій точці:
\[ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx = \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}\,dx + \int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx. \]
Почнемо з лівої частини:
\[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to0-} \int_{-1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx. \]
Оскільки
\[ \int\frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x}, \]
отримаємо
\[ \int_{-1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx = \left.-\frac{1}{x}\right|_{-1}^{a}. \]
Підставимо межі:
\[ \left.-\frac{1}{x}\right|_{-1}^{a} = -\frac{1}{a}-1. \]
При \( a\to0- \)
\[ \frac{1}{a}\to-\infty, \]
тому
\[ \lim_{a\to0-} \left(-\frac{1}{a}-1\right) = +\infty. \]
Отже, ліва частина вже є розбіжною. Цього достатньо, щоб зробити висновок про розбіжність усього інтеграла.
Проте для повноти перевіримо також праву частину:
\[ \int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to0+} \int_b^1\frac{1}{x^2}\,dx. \]
Обчислимо визначений інтеграл:
\[ \int_b^1\frac{1}{x^2}\,dx = \left.-\frac{1}{x}\right|_b^1 = -1+\frac{1}{b}. \]
При \( b\to0+ \)
\[ \frac{1}{b}\to+\infty, \]
тому
\[ \lim_{b\to0+} \left(-1+\frac{1}{b}\right) = +\infty. \]
Отже, обидві невласні частини розбігаються. Тому
\[ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx \]
є розбіжним.
Цей випадок показує, чому перед застосуванням формули Ньютона–Лейбніца потрібно перевіряти поведінку функції на всьому проміжку інтегрування.
Приклад 5. Обчислити невласний інтеграл
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx
\]
та визначити його збіжність.
Тут нескінченними є обидві межі інтегрування. Тому виберемо скінченну точку \( 0 \) і розділимо інтеграл на дві частини:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx + \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx. \]
Спочатку розглянемо ліву частину:
\[ \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \lim_{a\to-\infty} \int_a^0\frac{1}{1+x^2}\,dx. \]
Первісною для підінтегральної функції є \( \arctan(x) \). Тому
\[ \int_a^0\frac{1}{1+x^2}\,dx = \left.\arctan(x)\right|_a^0. \]
Підставимо межі:
\[ \arctan(0)-\arctan(a) = -\arctan(a). \]
Оскільки
\[ \lim_{a\to-\infty}\arctan(a) = -\frac{\pi}{2}, \]
отримаємо
\[ \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}. \]
Тепер розглянемо праву частину:
\[ \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_0^b\frac{1}{1+x^2}\,dx. \]
Маємо
\[ \int_0^b\frac{1}{1+x^2}\,dx = \left.\arctan(x)\right|_0^b = \arctan(b). \]
Оскільки
\[ \lim_{b\to+\infty}\arctan(b) = \frac{\pi}{2}, \]
то
\[ \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}. \]
Обидві невласні частини збігаються. Тому їх значення можна додати:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi. \]
Отже,
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\pi. \]
Від Невласних Інтегралів До Нових Задач: Що Вивчати Далі
Невласні інтеграли — лише один із напрямів застосування інтегрального числення. Далі варто перейти до тем, у яких інтеграл допомагає розв’язувати геометричні задачі та працювати з функціями кількох змінних.
- Площа фігури за допомогою інтеграла: Формули та приклади — У статті розглянемо, як за допомогою визначеного інтеграла знаходити площі фігур, обмежених графіками функцій і заданими лініями.
- Довжина дуги кривої: Формула через визначений інтеграл — Дізнаємося, як обчислювати довжину дуги графіка функції на заданому проміжку та послідовно застосовувати визначений інтеграл.
- Подвійні інтеграли: Зміст, область інтегрування та приклади — Розберемо зміст подвійного інтеграла, навчимося задавати область інтегрування та побачимо, як виконуються основні обчислення.
Невласні Інтеграли В Коді: Від Блок-Схеми До Власної Програми
Якщо вам подобається програмування, спробуйте застосувати отримані знання про невласні інтеграли на практиці. На блок-схемі нижче показано алгоритм, який послідовно збільшує верхню межу інтегрування, порівнює сусідні наближення та завершує обчислення після досягнення заданої точності. Спробуйте реалізувати цей алгоритм у своїй улюбленій мові програмування, запустіть програму для різних значень точності та простежте, як обчислений результат наближається до значення невласного інтеграла.
