Визначений Інтеграл: Геометричний Зміст і Властивості

Визначений інтеграл — одне з основних понять математичного аналізу, яке характеризує функцію на заданому проміжку певним числом. Його можна отримати як границю наближених значень, побудованих за допомогою великої кількості вузьких прямокутників. А що означає отримане число з геометричної точки зору і які властивості допомагають працювати з ним?

Щоб відповісти на ці запитання, спочатку розглянемо, як утворюється інтегральна сума і як з неї виникає визначений інтеграл. Далі перейдемо до геометричного змісту, основних властивостей, способів оцінювання та особливостей інтегрування на симетричних проміжках.

Визначений Інтеграл: Від Інтегральної Суми до Числа

Нехай функція \( f(x) \) задана на відрізку \( [a,b] \). Розіб’ємо цей відрізок на менші частини точками

\[
a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b.
\]

У результаті отримаємо часткові відрізки

\[
[x_0,x_1],\ [x_1,x_2],\ \dots,\ [x_{n-1},x_n].
\]

Довжина кожного з них дорівнює

\[
\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.
\]

У кожному відрізку \( [x_{i-1},x_i] \) виберемо деяку точку \( \xi_i \). Значення функції в цій точці дорівнює \( f(\xi_i) \). Якщо

\[
f(x)\geq0,
\]

то число \( f(\xi_i) \) можна взяти за висоту невеликого прямокутника, а \( \Delta x_i \) — за його ширину. Тоді площа такого прямокутника дорівнює

\[
f(\xi_i)\cdot\Delta x_i.
\]

Виконаємо це для всіх частин відрізка та додамо отримані площі:

\[
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\cdot\Delta x_i.
\]

Таку суму називають інтегральною сумою.

Для невід’ємної функції інтегральну суму можна геометрично розглядати як суму площ вузьких прямокутників, якими приблизно замінюють криволінійну область під графіком функції. Поки прямокутники мають скінченну ширину, отримане значення залишається наближеним.

Як зробити це наближення точнішим? Для цього відрізок \( [a,b] \) розбивають на дедалі менші частини. Відповідно, прямокутники стають дедалі вужчими.

Позначимо найбільшу довжину часткового відрізка через

\[
\lambda=\max\Delta x_i.
\]

Розглянемо випадок, коли

\[
\lambda\to0.
\]

Це означає, що найбільша ширина частин розбиття прямує до нуля.

Якщо при цьому інтегральна сума прямує до одного й того самого скінченного числа незалежно від способу розбиття відрізка та вибору точок \( \xi_i \), то це число називають визначеним інтегралом функції \( f(x) \) на відрізку \( [a,b] \):

\[
\int_a^b f(x)\,dx=
\lim_{\lambda\to0}
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\cdot\Delta x_i.
\]
Інакше кажучи, інтегральна сума дає наближене значення, а визначений інтеграл — це число, до якого прямують такі суми, коли ширини частин розбиття прямують до нуля.

У записі

\[
\int_a^b f(x)\,dx
\]

\( a \) називають нижньою межею інтегрування, а \( b \) — верхньою межею інтегрування. Функція \( f(x) \) є підінтегральною функцією, а \( dx \) вказує змінну інтегрування.

Якщо функція \( f(x) \) неперервна на відрізку \( [a,b] \), то її визначений інтеграл на цьому відрізку існує.

Отже, визначений інтеграл отримують як границю інтегральних сум. Тепер можна з’ясувати, що саме це число означає геометрично.

Геометричний Зміст Визначеного Інтеграла: Площа і Знак

Нехай на всьому відрізку \( [a,b] \)

\[
f(x)\geq0.
\]

Тоді графік функції розташований на осі \( Ox \) або вище неї.

Область, обмежену графіком

\[
y=f(x),
\]

віссю \( Ox \) та вертикальними прямими

\[
x=a,\qquad x=b,
\]

називають криволінійною трапецією.

Якщо функція невід’ємна на всьому відрізку, то визначений інтеграл дорівнює площі цієї криволінійної трапеції:

\[
\int_a^b f(x)\,dx=A.
\]

Отже, у цьому випадку геометричний зміст визначеного інтеграла простий: він чисельно дорівнює площі області під графіком функції.

Проте графік не завжди розташований над віссю \( Ox \). Якщо на всьому проміжку

\[
f(x)\leq0,
\]

то

\[
\int_a^b f(x)\,dx\leq0.
\]

Звичайна геометрична площа не може бути від’ємною. Тому в загальному випадку визначений інтеграл не слід просто ототожнювати з площею.

Для його геометричного тлумачення використовують поняття орієнтованої, або алгебраїчної, площі. Частина області над віссю \( Ox \) враховується зі знаком «плюс», а частина під нею — зі знаком «мінус».

Нехай графік на одній частині проміжку розташований над віссю \( Ox \) і утворює площу \( A_1 \), а на іншій — під віссю й утворює площу \( A_2 \). Тоді

\[
\int_a^b f(x)\,dx=A_1-A_2.
\]

Якщо ж потрібно знайти звичайну геометричну площу всієї області між графіком і віссю \( Ox \), то маємо

\[
A=A_1+A_2.
\]

Саме тому визначений інтеграл і геометрична площа можуть мати різні значення.

Наприклад, якщо

\[
A_1=A_2,
\]

то

\[
\int_a^b f(x)\,dx=0,
\]

хоча сама геометрична площа не дорівнює нулю.

Отже, значення визначеного інтеграла залежить не лише від розміру областей між графіком і віссю \( Ox \), а й від того, з якого боку від цієї осі вони розташовані.

Тепер, коли геометричний зміст визначеного інтеграла зрозумілий, можна перейти до правил, які допомагають працювати з ним.

Основні Властивості Визначеного Інтеграла: Межі, Суми і Сталі

Почнемо з меж інтегрування. Якщо нижня та верхня межі збігаються, то

\[
\int_a^a f(x)\,dx=0.
\]

Проміжок \( [a,a] \) має нульову довжину, тому й значення інтеграла на ньому дорівнює нулю.

Якщо межі поміняти місцями, отримаємо

\[
\int_a^b f(x)\,dx
=
-\int_b^a f(x)\,dx.
\]

Отже, після перестановки меж інтеграл змінює знак на протилежний.

Наступна властивість стосується поділу проміжку. Нехай точка \( c \) належить відрізку \( [a,b] \). Тоді

\[
\int_a^b f(x)\,dx
=
\int_a^c f(x)\,dx+
\int_c^b f(x)\,dx.
\]

Цю властивість називають адитивністю визначеного інтеграла за проміжком інтегрування.

Її зміст простий. Якщо відрізок \( [a,b] \) поділити точкою \( c \) на дві частини, то інтеграл на всьому відрізку дорівнюватиме сумі інтегралів на отриманих частинах.

Тепер розглянемо властивості, які стосуються підінтегральних функцій.

Для суми двох інтегровних функцій виконується

\[
\int_a^b\left(f(x)+g(x)\right)\,dx
=
\int_a^b f(x)\,dx+
\int_a^b g(x)\,dx.
\]

Для різниці функцій відповідно маємо

\[
\int_a^b\left(f(x)-g(x)\right)\,dx
=
\int_a^b f(x)\,dx-
\int_a^b g(x)\,dx.
\]

Якщо функцію помножено на сталу \( k \), то цю сталу можна винести за знак інтеграла:

\[
\int_a^b k\cdot f(x)\,dx
=
k\cdot\int_a^b f(x)\,dx.
\]

У загальному вигляді ці властивості можна об’єднати:

\[
\int_a^b\left(\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x)\right)\,dx
=
\alpha\cdot\int_a^b f(x)\,dx+
\beta\cdot\int_a^b g(x)\,dx,
\]

де \( \alpha \) і \( \beta \) — сталі.

Цю властивість називають лінійністю визначеного інтеграла.

Таким чином, суму або різницю функцій можна інтегрувати окремо, а сталі множники — виносити за знак інтеграла. Крім того, сам проміжок інтегрування за потреби можна поділити на частини.

Ці властивості показують, як працювати з визначеними інтегралами та спрощувати їх запис. Вони також дозволяють порівнювати значення інтегралів і встановлювати певні межі.

Визначений Інтеграл: Порівняння та Оцінювання

Нехай на всьому відрізку \( [a,b] \), де \( a<b \),

\[
f(x)\leq g(x).
\]

Тоді

\[
\int_a^b f(x)\,dx
\leq
\int_a^b g(x)\,dx.
\]

Отже, якщо одна функція на всьому проміжку не перевищує іншу, то й її визначений інтеграл на цьому самому проміжку не буде більшим.

З цієї властивості безпосередньо випливає важлива оцінка.

Нехай для кожного \( x\in[a,b] \)

\[
m\leq f(x)\leq M,
\]

де \( m \) і \( M \) — сталі.

Це означає, що всі значення функції \( f(x) \) на відрізку лежать між числами \( m \) і \( M \). Тому її інтеграл можна порівняти з інтегралами від сталих функцій:

\[
\int_a^b m\,dx
\leq
\int_a^b f(x)\,dx
\leq
\int_a^b M\,dx.
\]

Для сталих функцій маємо

\[
\int_a^b m\,dx=m\cdot(b-a)
\]

та

\[
\int_a^b M\,dx=M\cdot(b-a).
\]

Отже,

\[
m\cdot(b-a)
\leq
\int_a^b f(x)\,dx
\leq
M\cdot(b-a).
\]

Ця нерівність дозволяє встановити межі, в яких знаходиться значення інтеграла.

Нехай, наприклад,

\[
2\leq f(x)\leq5,\qquad x\in[1,4].
\]

Тоді

\[
2\cdot(4-1)
\leq
\int_1^4 f(x)\,dx
\leq
5\cdot(4-1),
\]

звідки

\[
6\leq
\int_1^4 f(x)\,dx
\leq15.
\]

Отже, навіть без точного знаходження інтеграла можна встановити, що його значення лежить між \( 6 \) і \( 15 \).

Ще одна важлива оцінка пов’язана з модулем функції:

\[
\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|
\leq
\int_a^b |f(x)|\,dx.
\]

Чому виникає така нерівність? У визначеному інтегралі додатні та від’ємні частини можуть частково компенсувати одна одну. Для функції \( |f(x)| \) усі значення є невід’ємними, тому такої компенсації вже немає.

Таким чином, властивості порівняння дозволяють оцінювати можливе значення визначеного інтеграла ще до його точного знаходження.

В окремих випадках можна отримати ще простіший результат. Для цього достатньо врахувати симетрію проміжку та самої функції.

Симетрія Визначеного Інтеграла: Парні та Непарні Функції

Розглянемо симетричний проміжок \( [-a,a] \).На такому проміжку результат залежить від того, чи є функція парною або непарною.

Якщо функція \( f(x) \) парна, то

\[
f(-x)=f(x).
\]

Графік парної функції симетричний відносно осі \( Oy \). Тому частини графіка на відрізках \( [-a,0] \) і \( [0,a] \) мають однаковий вигляд.

Звідси випливає

\[
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx
=
2\cdot\int_0^a f(x)\,dx.
\]

Отже, для парної функції достатньо знайти інтеграл на половині симетричного проміжку, а потім подвоїти результат.

Якщо функція \( f(x) \) непарна, то

\[
f(-x)=-f(x).
\]

Її графік симетричний відносно початку координат. Значення функції в точках \( x \) і \( -x \) мають однакові модулі, але протилежні знаки.

Тому відповідні частини інтеграла на симетричному проміжку взаємно компенсуються:

\[
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
\]

Отже, перед знаходженням визначеного інтеграла на проміжку \( [-a,a] \) варто перевірити, чи є підінтегральна функція парною або непарною. Для парної функції інтегрування можна звести до половини проміжку, а для непарної значення інтеграла на всьому симетричному проміжку одразу дорівнює нулю.

Визначений Інтеграл На Практиці: Означення та Основні Властивості

Означення визначеного інтеграла та його властивості легше зрозуміти, якщо застосувати їх до конкретних задач. Розглянемо приклади, у яких використаємо інтегральну суму, симетрію функції, лінійність, адитивність, зміну меж інтегрування та оцінювання значення інтеграла.

Приклад 1. Знайти за означенням
\[
\int_1^4 3\,dx.
\]

Розіб’ємо відрізок \( [1,4] \) на \( n \) рівних частин.

Довжина всього відрізка дорівнює

\[
4-1=3.
\]

Тому довжина кожного часткового відрізка становить

\[
\Delta x=\frac{3}{n}.
\]

Підінтегральна функція є сталою:

\[
f(x)=3.
\]

Отже, незалежно від того, яку точку \( \xi_k \) вибрати в кожній частині відрізка,

\[
f(\xi_k)=3.
\]

Складемо інтегральну суму:

\[
S_n=
\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)\cdot\Delta x.
\]

Підставимо відомі значення:

\[
S_n=
\sum_{k=1}^{n}
3\cdot\frac{3}{n}.
\]

У сумі міститься \( n \) однакових доданків, тому

\[
S_n=
n\cdot3\cdot\frac{3}{n}.
\]

Скоротимо:

\[
S_n=9.
\]

У цьому випадку інтегральна сума не залежить від кількості частин розбиття. Тому при \( n\to\infty \) її значення залишається рівним \( 9 \).

За означенням визначеного інтеграла

\[
\int_1^4 3\,dx
=
\lim_{n\to\infty}S_n.
\]

Отже,

\[
\int_1^4 3\,dx=9.
\]

Цей результат можна перевірити геометрично. Графік функції \( y=3 \), вісь \( Ox \) та прямі \( x=1 \) і \( x=4 \) обмежують прямокутник. Його ширина дорівнює

\[
4-1=3,
\]

а висота — \( 3 \). Тому його площа становить

\[
3\cdot3=9.
\]

Отже,

\[
\int_1^4 3\,dx=9.
\]

Приклад 2. Функція \( f(x) \) є непарною. Знайти
\[
\int_{-4}^{4}f(x)\,dx.
\]

За умовою функція \( f(x) \) є непарною. Отже,

\[
f(-x)=-f(x).
\]

Межі інтегрування дорівнюють \( -4 \) і \( 4 \), тому проміжок \( [-4,4] \) є симетричним відносно нуля.

Для непарної функції на симетричному проміжку виконується властивість

\[
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.
\]

У нашому випадку \( a=4 \). Тому

\[
\int_{-4}^{4}f(x)\,dx=0.
\]

На відрізках \( [-4,0] \) і \( [0,4] \) значення непарної функції в симетричних точках мають однакові модулі, але протилежні знаки. Тому відповідні частини визначеного інтеграла взаємно компенсуються.

Отже,

\[
\int_{-4}^{4}f(x)\,dx=0.
\]

Приклад 3. Відомо, що
\[
\int_0^2 f(x)\,dx=5,
\qquad
\int_0^2 g(x)\,dx=3.
\]
Знайти
\[
\int_0^2\left(2\cdot f(x)-3\cdot g(x)\right)\,dx.
\]

Під знаком інтеграла маємо різницю двох функцій, помножених на сталі числа. Тому скористаємося властивістю лінійності визначеного інтеграла:

\[
\int_a^b
\left(
\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x)
\right)\,dx
=
\alpha\cdot\int_a^b f(x)\,dx
+
\beta\cdot\int_a^b g(x)\,dx.
\]

У нашому випадку перед \( f(x) \) стоїть множник \( 2 \), а перед \( g(x) \) — множник \( -3 \). Отже,

\[
\int_0^2
\left(
2\cdot f(x)-3\cdot g(x)
\right)\,dx
=
2\cdot\int_0^2 f(x)\,dx
–
3\cdot\int_0^2 g(x)\,dx.
\]

Підставимо відомі значення:

\[
\int_0^2
\left(
2\cdot f(x)-3\cdot g(x)
\right)\,dx
=
2\cdot5-3\cdot3.
\]

Виконаємо обчислення:

\[
2\cdot5-3\cdot3=10-9=1.
\]

Отже,

\[
\int_0^2
\left(
2\cdot f(x)-3\cdot g(x)
\right)\,dx=1.
\]

Приклад 4. Відомо, що
\[
\int_1^3 f(x)\,dx=4,
\qquad
\int_3^6 f(x)\,dx=7.
\]
Знайти
\[
\int_6^1 f(x)\,dx.
\]

Спочатку знайдемо значення інтеграла на проміжку від \( 1 \) до \( 6 \).

Точка \( 3 \) ділить цей проміжок на дві частини — \( [1,3] \) та \( [3,6] \). За властивістю адитивності визначеного інтеграла

\[
\int_1^6 f(x)\,dx
=
\int_1^3 f(x)\,dx+
\int_3^6 f(x)\,dx.
\]

Підставимо відомі значення:

\[
\int_1^6 f(x)\,dx=4+7.
\]

Отже,

\[
\int_1^6 f(x)\,dx=11.
\]

Проте в умові потрібно знайти інтеграл із межами, записаними у зворотному порядку:

\[
\int_6^1 f(x)\,dx.
\]

При перестановці меж інтегрування знак інтеграла змінюється на протилежний:

\[
\int_6^1 f(x)\,dx
=
-\int_1^6 f(x)\,dx.
\]

Тому

\[
\int_6^1 f(x)\,dx=-11.
\]

Отже,

\[
\int_6^1 f(x)\,dx=-11.
\]

Приклад 5. Для всіх \( x\in[-2,2] \) виконується \( 1\leq f(x)\leq3 \). Встановити межі, в яких знаходиться значення
\[
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx.
\]

За умовою на всьому проміжку \( [-2,2] \)

\[
1\leq f(x)\leq3.
\]

Якщо одна функція на всьому проміжку не перевищує іншу, то такий самий порядок зберігається і для їхніх визначених інтегралів. Тому

\[
\int_{-2}^{2}1\,dx
\leq
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx
\leq
\int_{-2}^{2}3\,dx.
\]

Довжина проміжку \( [-2,2] \) дорівнює

\[
2-(-2)=4.
\]

Тому

\[
\int_{-2}^{2}1\,dx
=
1\cdot4
=
4.
\]

Аналогічно

\[
\int_{-2}^{2}3\,dx
=
3\cdot4
=
12.
\]

Підставимо отримані значення в нерівність:

\[
4
\leq
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx
\leq
12.
\]

Отже, значення визначеного інтеграла знаходиться в межах

\[
4
\leq
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx
\leq
12.
\]

Наступний Крок в Інтегральному Численні: Теми Для Продовження

Визначений інтеграл відкриває шлях до багатьох важливих задач математичного аналізу. Далі варто перейти до способів його обчислення та практичних застосувань у геометрії.

1. Формула Ньютона–Лейбніца: Як обчислювати визначений інтеграл — У статті буде розглянуто, як за допомогою первісної знаходити значення визначеного інтеграла та правильно працювати з межами інтегрування.
2. Площа фігури за допомогою інтеграла: Формули та приклади — Матеріал пояснить, як визначений інтеграл використовують для знаходження площ областей, обмежених графіками функцій та координатними осями.
3. Об’єм тіла обертання: Застосування визначеного інтеграла — У статті йтиметься про знаходження об’ємів тіл, які утворюються під час обертання плоских фігур навколо координатних осей.

Визначений Інтеграл у Власній Програмі: Практика Для Програмістів

Якщо вам подобається програмування, спробуйте перетворити означення визначеного інтеграла на робочий алгоритм. Подана блок-схема показує, як за допомогою інтегральної суми наближено обчислити визначений інтеграл функції \( f(x)=x^2 \) на проміжку \( [0,2] \):

\[
\int_0^2 x^2\,dx.
\]

Простежте за послідовністю дій у блок-схемі, а потім реалізуйте цей алгоритм у своїй улюбленій мові програмування. Спробуйте запускати програму з різною кількістю частин розбиття та порівняйте, як змінюється отримане наближене значення інтеграла.