Подвійний Інтеграл: Означення, Геометричний Зміст і Основні Властивості

Подвійний інтеграл є узагальненням поняття визначеного інтеграла для функцій двох змінних. Вони дають змогу враховувати значення функції не на окремому відрізку, а в цілій області на площині. Завдяки цьому можна досліджувати величини, що залежать одночасно від двох змінних.

На перший погляд подвійний інтеграл може здаватися складнішим за звичайний визначений інтеграл. Проте основна ідея залишається схожою: область поділяють на малі частини, для кожної враховують значення функції та площу цієї частини, а отримані величини підсумовують. Далі розглянемо, як визначають подвійний інтеграл, який зміст він має та як його обчислюють.

Що Таке Подвійний Інтеграл: Від Області До Інтегральної Суми

Нехай функція \( f(x,y) \) задана в деякій обмеженій області \( D \) площини \( Oxy \). На відміну від звичайного визначеного інтеграла, тут ми працюємо не з відрізком, а з двовимірною областю.

Щоб перейти до інтеграла, область \( D \) розбивають на невеликі частини:

\[ D_1,D_2,\ldots,D_n. \]

Площу кожної такої частини позначимо через

\[ \Delta A_1,\Delta A_2,\ldots,\Delta A_n. \]

У кожній області \( D_i \) вибирають деяку точку \( (\xi_i,\eta_i) \) та знаходять значення функції в ній. Після цього утворюють суму

\[ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i)\cdot \Delta A_i. \]

Що показує ця сума? Вона враховує значення функції на кожній маленькій частині області та площу цієї частини. Чим меншими стають частини розбиття, тим точніше така сума описує значення функції в усій області.

Якщо розміри всіх частин розбиття прямують до нуля, а відповідні інтегральні суми прямують до однієї й тієї самої скінченної границі незалежно від способу розбиття та вибору точок, цю границю називають подвійним інтегралом функції \( f(x,y) \) по області \( D \):

\[ \iint_D f(x,y)\,dA = \lim \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i,\eta_i)\cdot \Delta A_i. \]

Тут \( dA \) позначає нескінченно малу частину площі області. Також часто використовують записи \( dx\,dy \) або \( dy\,dx \), коли подвійний інтеграл записують у вигляді повторного інтеграла.

Отже, подвійний інтеграл можна розглядати як границю сум, у яких одночасно враховуються значення функції та площі малих частин області.

Геометричний Зміст Подвійного Інтеграла: Від Площини До Об’єму

Як зрозуміти геометричний зміст подвійного інтеграла? Насамперед варто звернути увагу на його зв’язок з об’ємом.

Нехай

\[ z=f(x,y), \]

а функція невід’ємна в області \( D \):

\[ f(x,y)\geq 0. \]

Тоді поверхня \( z=f(x,y) \) розташована над площиною \( Oxy \). Область \( D \) є основою просторового тіла, а значення функції визначає його висоту в кожній точці.

У цьому випадку

\[ V=\iint_D f(x,y)\,dA \]

визначає об’єм тіла, розташованого над областю \( D \) та під поверхнею \( z=f(x,y) \).

Зв’язок із визначеним інтегралом тут добре помітний. Для функції однієї змінної інтеграл пов’язаний із площею між графіком і віссю абсцис. Для функції двох змінних подвійний інтеграл уже пов’язаний із просторовою областю.

А що відбувається, якщо \( f(x,y) \) набуває від’ємних значень? Тоді частини, розташовані нижче площини \( Oxy \), враховуються зі знаком мінус. Тому значення подвійного інтеграла в загальному випадку не слід безпосередньо ототожнювати зі звичайним геометричним об’ємом.

Подвійний Інтеграл На Прямокутній Області: Перехід До Повторного Інтеграла

Безпосередньо працювати з границею інтегральних сум не завжди зручно. На практиці подвійний інтеграл зазвичай обчислюють за допомогою двох звичайних визначених інтегралів.

Розглянемо прямокутну область

\[ D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d\}. \]

Якщо функція \( f(x,y) \) неперервна в цій області, то подвійний інтеграл можна записати у вигляді повторного інтеграла:

\[ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)\,dy \right)dx. \]

Що відбувається в такому записі? Спочатку змінну \( x \) вважають сталою та інтегрують функцію за \( y \). Після цього отриманий результат інтегрують за \( x \).

Проте можна діяти й у протилежному порядку:

\[ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)\,dx \right)dy. \]

Тепер змінну \( y \) вважають сталою, а інтегрування спочатку виконують за \( x \).

Для неперервної функції на прямокутнику обидва порядки приводять до одного значення:

\[ \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y)\,dy \right)dx = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y)\,dx \right)dy. \]

Цей результат пов’язаний із теоремою Фубіні. Саме вона дає можливість звести подвійний інтеграл до послідовного обчислення двох звичайних інтегралів.

Область Інтегрування: Як Задаються Межі Подвійного Інтеграла

Область \( D \) не обов’язково повинна бути прямокутником. Її межі можуть задаватися функціями, і тоді межі одного з інтегралів уже залежать від іншої змінної.

Якщо область можна описати умовами

\[ a\leq x\leq b, \qquad \varphi_1(x)\leq y\leq \varphi_2(x), \]

то подвійний інтеграл записують так:

\[ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy \right)dx. \]

У цьому записі для кожного фіксованого \( x \) змінна \( y \) змінюється від нижньої межі \( \varphi_1(x) \) до верхньої \( \varphi_2(x) \). Геометрично це означає, що область можна уявити як сукупність вертикальних відрізків між двома граничними лініями.

Область можна описати й навпаки:

\[ c\leq y\leq d, \qquad \psi_1(y)\leq x\leq \psi_2(y). \]

Тоді маємо

\[ \iint_D f(x,y)\,dA = \int_c^d \left( \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)\,dx \right)dy. \]

Тепер для кожного фіксованого \( y \) змінна \( x \) змінюється від нижньої межі до верхньої. Тобто ту саму область ми розглядаємо за допомогою горизонтальних відрізків.

Чому це важливо? Межі повторного інтеграла безпосередньо описують геометрію області \( D \). Тому перед обчисленням подвійного інтеграла потрібно правильно визначити, між якими лініями змінюються \( x \) та \( y \).

Крім того, одну й ту саму область нерідко можна описати обома способами. У такій ситуації порядок інтегрування можна вибирати залежно від того, який запис виявиться зручнішим.

Основні Властивості Подвійних Інтегралів: Правила Роботи З Ними

Подвійні інтеграли мають властивості, подібні до властивостей звичайного визначеного інтеграла. Завдяки цьому з ними можна виконувати знайомі алгебраїчні перетворення.

Передусім виконується властивість лінійності. Для сталих \( \alpha \) і \( \beta \) маємо

\[ \iint_D \left( \alpha\cdot f(x,y)+\beta\cdot g(x,y) \right)\,dA = \alpha\cdot\iint_D f(x,y)\,dA + \beta\cdot\iint_D g(x,y)\,dA. \]

Отже, суму функцій можна інтегрувати окремо, а сталий множник — виносити за знак подвійного інтеграла.

Важливою є й властивість адитивності відносно області інтегрування. Якщо область \( D \) складається з двох частин \( D_1 \) і \( D_2 \), які не перекриваються внутрішніми точками, то

\[ \iint_D f(x,y)\,dA = \iint_{D_1}f(x,y)\,dA + \iint_{D_2}f(x,y)\,dA. \]

Таким чином, складну область можна поділити на простіші частини та працювати з кожною окремо.

Зберігається також властивість порівняння. Якщо в усіх точках області \( D \)

\[ f(x,y)\leq g(x,y), \]

то

\[ \iint_D f(x,y)\,dA \leq \iint_D g(x,y)\,dA. \]

Зокрема, якщо

\[ f(x,y)\geq 0 \]

в усій області \( D \), то

\[ \iint_D f(x,y)\,dA\geq 0. \]

Отже, подвійний інтеграл зберігає основні принципи роботи зі звичайним визначеним інтегралом. Головна відмінність полягає в тому, що інтегрування тепер виконується по двовимірній області, а сама функція залежить від двох змінних.

Подвійний Інтеграл На Практиці: Послідовне Обчислення та Робота з Межами

Після означення та основних властивостей варто перейти до безпосередніх обчислень. Тут особливо важливо правильно визначити область інтегрування, записати межі та послідовно обчислити внутрішній і зовнішній інтеграли.

Приклад 1. Обчислити подвійний інтеграл
\[ \iint_D (x+2\cdot y)\,dA, \]
якщо
\[ D=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 2\}. \]

Область \( D \) є прямокутником, тому межі обох інтегралів будуть сталими. Запишемо подвійний інтеграл у вигляді повторного:

\[ \iint_D (x+2\cdot y)\,dA = \int_0^1 \left( \int_0^2 (x+2\cdot y)\,dy \right)dx. \]

Спочатку обчислюємо внутрішній інтеграл за змінною \( y \). При цьому \( x \) вважаємо сталою:

\[ \int_0^2 (x+2\cdot y)\,dy = \left. \left( x\cdot y+y^2 \right) \right|_0^2. \]

Підставляємо межі:

\[ \left( 2\cdot x+4 \right) – 0 = 2\cdot x+4. \]

Отже, залишається знайти зовнішній інтеграл:

\[ \int_0^1 (2\cdot x+4)\,dx. \]

Маємо

\[ \int_0^1 (2\cdot x+4)\,dx = \left. \left( x^2+4\cdot x \right) \right|_0^1. \]

Тому

\[ 1+4=5. \]

Отже,

\[ \iint_D (x+2\cdot y)\,dA=5. \]

Приклад 2. Обчислити подвійний інтеграл
\[ \iint_D x\cdot \cos(y)\,dA, \]
якщо
\[ D= \left\{ (x,y) \mid 0\leq x\leq 2,\; 0\leq y\leq \frac{\pi}{2} \right\}. \]

Знову маємо прямокутну область. Запишемо подвійний інтеграл у вигляді повторного:

\[ \iint_D x\cdot \cos(y)\,dA = \int_0^2 \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cdot \cos(y)\,dy \right)dx. \]

Спочатку інтегруємо за \( y \). Оскільки \( x \) не залежить від \( y \), його можна винести за знак внутрішнього інтеграла:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cdot \cos(y)\,dy = x\cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(y)\,dy. \]

Знаходимо первісну:

\[ x\cdot \left. \sin(y) \right|_0^{\frac{\pi}{2}}. \]

Підставляємо межі:

\[ x\cdot \left( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(0) \right) = x. \]

Таким чином, подвійний інтеграл зводиться до

\[ \int_0^2 x\,dx. \]

Обчислюємо:

\[ \int_0^2 x\,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^2 = \frac{4}{2} = 2. \]

Отже,

\[ \iint_D x\cdot \cos(y)\,dA=2. \]

Звернімо увагу. Якщо підінтегральна функція розпадається на множники, кожен з яких залежить лише від однієї змінної, обчислення часто помітно спрощується.

Приклад 3. Обчислити подвійний інтеграл
\[ \iint_D (x+y)\,dA, \]
якщо область \( D \) задана умовами
\[ 0\leq x\leq 1, \qquad 0\leq y\leq 1-x. \]

Тепер область інтегрування вже не є прямокутником. Для кожного фіксованого \( x \) змінна \( y \) змінюється від \( 0 \) до \( 1-x \).

Тому записуємо:

\[ \iint_D (x+y)\,dA = \int_0^1 \left( \int_0^{1-x} (x+y)\,dy \right)dx. \]

Спочатку обчислюємо внутрішній інтеграл:

\[ \int_0^{1-x} (x+y)\,dy = \left. \left( x\cdot y+\frac{y^2}{2} \right) \right|_0^{1-x}. \]

Після підстановки верхньої межі отримуємо

\[ x\cdot(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2}. \]

Розкриємо дужки:

\[ x-x^2 + \frac{1-2\cdot x+x^2}{2}. \]

Після спрощення маємо

\[ \frac{1}{2} – \frac{x^2}{2}. \]

Отже,

\[ \iint_D (x+y)\,dA = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} – \frac{x^2}{2} \right)dx. \]

Знаходимо первісну:

\[ \left. \left( \frac{x}{2} – \frac{x^3}{6} \right) \right|_0^1. \]

Підставляємо межі:

\[ \frac{1}{2} – \frac{1}{6} = \frac{1}{3}. \]

Отже,

\[ \iint_D (x+y)\,dA = \frac{1}{3}. \]

Тут верхня межа внутрішнього інтеграла залежить від \( x \). Саме така залежність відображає форму області \( D \).

Приклад 4. Обчислити
\[ \iint_D 1\,dA, \]
якщо область \( D \) обмежена умовами
\[ 0\leq x\leq 2, \qquad x^2\leq y\leq 2\cdot x. \]

Для кожного \( x \) від \( 0 \) до \( 2 \) змінна \( y \) змінюється від кривої

\[ y=x^2 \]

до прямої

\[ y=2\cdot x. \]

Тому подвійний інтеграл має вигляд

\[ \iint_D 1\,dA = \int_0^2 \left( \int_{x^2}^{2\cdot x} 1\,dy \right)dx. \]

Обчислюємо внутрішній інтеграл:

\[ \int_{x^2}^{2\cdot x} 1\,dy = \left. y \right|_{x^2}^{2\cdot x}. \]

Отримуємо

\[ 2\cdot x-x^2. \]

Тепер обчислюємо зовнішній інтеграл:

\[ \int_0^2 (2\cdot x-x^2)\,dx. \]

Знаходимо первісну:

\[ \left. \left( x^2-\frac{x^3}{3} \right) \right|_0^2. \]

Підставляємо межі:

\[ 4-\frac{8}{3} = \frac{12}{3}-\frac{8}{3} = \frac{4}{3}. \]

Отже,

\[ \iint_D 1\,dA = \frac{4}{3}. \]

Чому цей випадок особливий? Якщо підінтегральна функція дорівнює \( 1 \), значення подвійного інтеграла дорівнює площі області інтегрування.

Приклад 5. Обчислити подвійний інтеграл
\[ \iint_D 2\cdot x\,dA, \]
якщо область \( D \) задана умовами
\[ 0\leq y\leq 1, \qquad y\leq x\leq \sqrt{y}. \]

У цьому випадку спочатку задані межі для \( y \), а межі змінної \( x \) залежать від \( y \). Тому зручно спочатку інтегрувати за \( x \):

\[ \iint_D 2\cdot x\,dA = \int_0^1 \left( \int_y^{\sqrt{y}} 2\cdot x\,dx \right)dy. \]

Обчислюємо внутрішній інтеграл:

\[ \int_y^{\sqrt{y}} 2\cdot x\,dx = \left. x^2 \right|_y^{\sqrt{y}}. \]

Підставляємо межі:

\[ (\sqrt{y})^2-y^2. \]

Оскільки

\[ (\sqrt{y})^2=y, \]

отримуємо

\[ y-y^2. \]

Тепер маємо звичайний визначений інтеграл:

\[ \int_0^1 (y-y^2)\,dy. \]

Знаходимо первісну:

\[ \left. \left( \frac{y^2}{2} – \frac{y^3}{3} \right) \right|_0^1. \]

Підставляємо межі:

\[ \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \]

Отже,

\[ \iint_D 2\cdot x\,dA = \frac{1}{6}. \]

Цей приклад показує, що зовнішньою змінною не обов’язково має бути \( x \). Порядок інтегрування визначається тим, як задана область і який запис дає простіші межі.

Від Подвійних Інтегралів До Застосувань: Що Вивчати Далі

Після знайомства з подвійними інтегралами можна продовжити вивчення практичних можливостей інтегрального числення. Наступні теми покажуть, як інтеграл допомагає розв’язувати важливі геометричні задачі.

1. Площа фігури за допомогою інтеграла: Формули та приклади — Розглянемо, як за допомогою визначеного інтеграла знаходити площі областей, обмежених графіками функцій.
2. Об’єм тіла обертання: Застосування визначеного інтеграла — Дізнаємося, як визначений інтеграл дає змогу обчислювати об’єми тіл, утворених обертанням плоских фігур.
3. Довжина дуги кривої: Формула через визначений інтеграл — Розберемо, як за допомогою визначеного інтеграла знаходити довжину частини кривої на заданому проміжку.

Подвійний Інтеграл Та Програмування: Спробуйте Реалізувати Алгоритм Самостійно

Якщо вам подобається програмування, спробуйте застосувати отримані знання про подвійні інтеграли під час створення власної програми. На блок-схемі нижче показано алгоритм, який за допомогою розбиття області на малі прямокутники наближено обчислює інтеграл

\[ \iint_D (x+2\cdot y)\,dA, \qquad D=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq1,\;0\leq y\leq2\}. \]

Уважно простежте за послідовністю дій, а потім реалізуйте цей алгоритм у своїй улюбленій мові програмування. Спробуйте також змінювати кількість частин розбиття та спостерігати, як отримане значення наближається до точного результату.