Формула Ньютона–Лейбніца встановлює зв’язок між визначеним інтегралом і первісною функції. Завдяки цьому обчислення інтеграла зводиться до знаходження первісної та її значень на межах інтегрування. Як саме працює ця формула і на що потрібно звернути увагу під час її застосування? Розглянемо послідовно.
Формула Ньютона–Лейбніца: Обчислення Визначеного Інтеграла
Нехай функція \( f(x) \) неперервна на відрізку \( [a,b] \), а \( F(x) \) є її первісною. Тобто
\[
F'(x)=f(x).
\]
Тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою
\[
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).
\]
Це і є формула Ньютона–Лейбніца. Вона показує, що для знаходження значення визначеного інтеграла достатньо знайти первісну \( F(x) \), обчислити \( F(b) \) та відняти \( F(a) \).
Формулу також часто записують у скороченому вигляді:
\[
\int_a^b f(x)\,dx=\left.F(x)\right|_a^b,
\]
де позначення
\[
\left.F(x)\right|_a^b
\]
означає
\[
F(b)-F(a).
\]
Отже, порядок підстановки меж має значення. Спочатку обчислюють значення первісної для верхньої межі, а потім від нього віднімають значення первісної для нижньої межі.
Виникає природне запитання: яку саме первісну потрібно брати? Адже одна й та сама функція має нескінченно багато первісних, які відрізняються сталою:
\[
F_1(x)=F(x)+C.
\]
Проте ця стала не впливає на значення визначеного інтеграла, оскільки
\[
F_1(b)-F_1(a)=F(b)+C-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a).
\]
Саме тому під час обчислення визначеного інтеграла сталу \( C \) записувати не потрібно.
Отже, після знаходження первісної достатньо обчислити \( F(b) \) та \( F(a) \), а потім знайти їх різницю. Важливо пам’ятати, що межі інтегрування підставляють саме у первісну \( F(x) \), а не в початкову функцію \( f(x) \).
Крім того, з формули Ньютона–Лейбніца безпосередньо випливає, що зміна порядку меж змінює знак інтеграла:
\[
\int_b^a f(x)\,dx=F(a)-F(b)
=-\bigl(F(b)-F(a)\bigr),
\]
тому
\[
\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx.
\]
Якщо ж межі інтегрування збігаються, маємо
\[
\int_a^a f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0.
\]
Таким чином, формула Ньютона–Лейбніца дає змогу звести обчислення визначеного інтеграла до знаходження значень первісної. Головне — правильно знайти первісну, не переплутати порядок меж і уважно виконати підстановку.
Формула Ньютона–Лейбніца: Приклади Обчислення Інтегралів
Після знайомства з формулою Ньютона–Лейбніца варто розглянути, як вона працює під час безпосередніх обчислень. У кожному випадку спочатку знайдемо первісну, а потім обчислимо її значення для меж інтегрування.
Приклад 1. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx.
\]
Спочатку знайдемо первісну для підінтегральної функції:
\[
\int (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx=x^3+x^2.
\]
Отже,
\[
F(x)=x^3+x^2.
\]
Тепер застосуємо формулу Ньютона–Лейбніца:
\[
\int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx
=
\left.(x^3+x^2)\right|_0^2.
\]
Підставляємо верхню межу:
\[
F(2)=2^3+2^2=8+4=12.
\]
Далі підставляємо нижню межу:
\[
F(0)=0^3+0^2=0.
\]
Знаходимо різницю:
\[
F(2)-F(0)=12-0=12.
\]
Отже,
\[
\int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx=12.
\]
Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx.
\]
Первісною для функції \( \cos(x) \) є
\[
F(x)=\sin(x),
\]
оскільки
\[
(\sin(x))’=\cos(x).
\]
За формулою Ньютона–Лейбніца маємо
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx
=
\left.\sin(x)\right|_0^{\frac{\pi}{2}}.
\]
Спочатку обчислюємо значення первісної для верхньої межі:
\[
F\left(\frac{\pi}{2}\right)
=
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)
=
1.
\]
Потім знаходимо значення первісної для нижньої межі:
\[
F(0)=\sin(0)=0.
\]
Тому
\[
F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=1-0=1.
\]
Отже,
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=1.
\]
Приклад 3. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_1^e \frac{1}{x}\,dx.
\]
Первісною для функції
\[
\frac{1}{x}
\]
є
\[
F(x)=\ln(x),
\]
оскільки
\[
(\ln(x))’=\frac{1}{x}.
\]
Тому за формулою Ньютона–Лейбніца
\[
\int_1^e \frac{1}{x}\,dx
=
\left.\ln(x)\right|_1^e.
\]
Спочатку обчислюємо значення первісної для верхньої межі:
\[
F(e)=\ln(e)=1.
\]
Тепер підставляємо нижню межу:
\[
F(1)=\ln(1)=0.
\]
Знаходимо різницю:
\[
F(e)-F(1)=1-0=1.
\]
Отже,
\[
\int_1^e \frac{1}{x}\,dx=1.
\]
Приклад 4. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
\]
Спочатку перепишемо підінтегральну функцію у степеневому вигляді:
\[
\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}.
\]
Тоді
\[
\int x^{-\frac{1}{2}}\,dx
=
\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}
=
2\cdot\sqrt{x}.
\]
Отже, первісною є
\[
F(x)=2\cdot\sqrt{x}.
\]
За формулою Ньютона–Лейбніца
\[
\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
=
\left.2\cdot\sqrt{x}\right|_1^4.
\]
Обчислюємо значення первісної для верхньої межі:
\[
F(4)=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4.
\]
Тепер знаходимо значення первісної для нижньої межі:
\[
F(1)=2\cdot\sqrt{1}=2.
\]
Отже,
\[
F(4)-F(1)=4-2=2.
\]
Тому
\[
\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2.
\]
Приклад 5. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx.
\]
Звернімо увагу, що верхня межа тут менша за нижню. Проте формулу Ньютона–Лейбніца можна застосувати без додаткової перестановки меж.
Знайдемо первісну:
\[
\int (2\cdot x-3)\,dx=x^2-3\cdot x.
\]
Отже,
\[
F(x)=x^2-3\cdot x.
\]
Застосовуємо формулу Ньютона–Лейбніца:
\[
\int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx
=
\left.(x^2-3\cdot x)\right|_2^{-1}.
\]
Спочатку підставляємо верхню межу \( -1 \):
\[
F(-1)=(-1)^2-3\cdot(-1)=1+3=4.
\]
Далі підставляємо нижню межу \( 2 \):
\[
F(2)=2^2-3\cdot2=4-6=-2.
\]
Тепер знаходимо різницю:
\[
F(-1)-F(2)=4-(-2)=6.
\]
Отже,
\[
\int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx=6.
\]
Наступний Крок в Інтегральному Численні: Теми Для Продовження
Після формули Ньютона–Лейбніца логічно перейти до задач, у яких визначений інтеграл набуває геометричного змісту. Наступні теми покажуть, як визначені інтеграли використовують для знаходження площ, об’ємів і довжин.
- Площа фігури за допомогою інтеграла: Формули та приклади — У статті розглянемо, як за допомогою визначеного інтеграла знаходити площі фігур, обмежених графіками функцій і прямими.
- Об’єм тіла обертання: Застосування визначеного інтеграла — Матеріал пояснить, як визначений інтеграл допомагає обчислювати об’єми тіл, утворених під час обертання плоских фігур.
- Довжина дуги кривої: Формула через визначений інтеграл — У статті йтиметься про обчислення довжини дуги графіка функції та про роль визначеного інтеграла в таких задачах.
Формула Ньютона–Лейбніца: Від Математики До Програмування
Якщо вам подобається програмування, спробуйте перетворити отримані знання про формулу Ньютона–Лейбніца на власний програмний код. На блок-схемі нижче показано алгоритм обчислення визначеного інтеграла для функції
\[
f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c.
\]
Алгоритм приймає коефіцієнти функції та межі інтегрування, обчислює значення первісної для кожної межі та знаходить їх різницю. Реалізуйте цей алгоритм у своїй улюбленій мові програмування та перевірте його для різних вхідних даних.
