Формула Ньютона–Лейбніца встановлює зв’язок між визначеним інтегралом і первісною функції. Завдяки цьому обчислення інтеграла зводиться до знаходження первісної та її значень на межах інтегрування. Як саме працює ця формула і на що потрібно звернути увагу під час її застосування? Розглянемо послідовно.
Формула Ньютона–Лейбніца: Обчислення Визначеного Інтеграла
Нехай функція \( f(x) \) неперервна на відрізку \( [a,b] \), а \( F(x) \) є її первісною. Тобто
\[ F'(x)=f(x). \]
Тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою
\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \]
Це і є формула Ньютона–Лейбніца. Вона показує, що для знаходження значення визначеного інтеграла достатньо знайти первісну \( F(x) \), обчислити \( F(b) \) та відняти \( F(a) \).
Формулу також часто записують у скороченому вигляді:
\[ \int_a^b f(x)\,dx=\left.F(x)\right|_a^b, \]
де позначення
\[ \left.F(x)\right|_a^b \]
означає
\[ F(b)-F(a). \]
Отже, порядок підстановки меж має значення. Спочатку обчислюють значення первісної для верхньої межі, а потім від нього віднімають значення первісної для нижньої межі.
Виникає природне запитання: яку саме первісну потрібно брати? Адже одна й та сама функція має нескінченно багато первісних, які відрізняються сталою:
\[ F_1(x)=F(x)+C. \]
Проте ця стала не впливає на значення визначеного інтеграла, оскільки
\[
F_1(b)-F_1(a)=F(b)+C-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a).
\]
Саме тому під час обчислення визначеного інтеграла сталу \( C \) записувати не потрібно.
Отже, після знаходження первісної достатньо обчислити \( F(b) \) та \( F(a) \), а потім знайти їх різницю. Важливо пам’ятати, що межі інтегрування підставляють саме у первісну \( F(x) \), а не в початкову функцію \( f(x) \).
Крім того, з формули Ньютона–Лейбніца безпосередньо випливає, що зміна порядку меж змінює знак інтеграла:
\[ \int_b^a f(x)\,dx=F(a)-F(b) =-\bigl(F(b)-F(a)\bigr), \]
тому
\[ \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx. \]
Якщо ж межі інтегрування збігаються, маємо
\[ \int_a^a f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0. \]
Таким чином, формула Ньютона–Лейбніца дає змогу звести обчислення визначеного інтеграла до знаходження значень первісної. Головне — правильно знайти первісну, не переплутати порядок меж і уважно виконати підстановку.
Формула Ньютона–Лейбніца: Приклади Обчислення Інтегралів
Після знайомства з формулою Ньютона–Лейбніца варто розглянути, як вона працює під час безпосередніх обчислень. У кожному випадку спочатку знайдемо первісну, а потім обчислимо її значення для меж інтегрування.
Приклад 1. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx.
\]
Спочатку знайдемо первісну для підінтегральної функції:
\[ \int (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx=x^3+x^2. \]
Отже,
\[ F(x)=x^3+x^2. \]
Тепер застосуємо формулу Ньютона–Лейбніца:
\[ \int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx = \left.(x^3+x^2)\right|_0^2. \]
Підставляємо верхню межу:
\[ F(2)=2^3+2^2=8+4=12. \]
Далі підставляємо нижню межу:
\[ F(0)=0^3+0^2=0. \]
Знаходимо різницю:
\[ F(2)-F(0)=12-0=12. \]
Отже,
\[ \int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx=12. \]
Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx.
\]
Первісною для функції \( \cos(x) \) є
\[ F(x)=\sin(x), \]
оскільки
\[ (\sin(x))'=\cos(x). \]
За формулою Ньютона–Лейбніца маємо
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx = \left.\sin(x)\right|_0^{\frac{\pi}{2}}. \]
Спочатку обчислюємо значення первісної для верхньої межі:
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1. \]
Потім знаходимо значення первісної для нижньої межі:
\[ F(0)=\sin(0)=0. \]
Тому
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=1-0=1. \]
Отже,
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=1. \]
Приклад 3. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_1^e \frac{1}{x}\,dx.
\]
Первісною для функції
\[ \frac{1}{x} \]
є
\[ F(x)=\ln(x), \]
оскільки
\[ (\ln(x))'=\frac{1}{x}. \]
Тому за формулою Ньютона–Лейбніца
\[ \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \left.\ln(x)\right|_1^e. \]
Спочатку обчислюємо значення первісної для верхньої межі:
\[ F(e)=\ln(e)=1. \]
Тепер підставляємо нижню межу:
\[ F(1)=\ln(1)=0. \]
Знаходимо різницю:
\[ F(e)-F(1)=1-0=1. \]
Отже,
\[ \int_1^e \frac{1}{x}\,dx=1. \]
Приклад 4. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
\]
Спочатку перепишемо підінтегральну функцію у степеневому вигляді:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}. \]
Тоді
\[ \int x^{-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\cdot\sqrt{x}. \]
Отже, первісною є
\[ F(x)=2\cdot\sqrt{x}. \]
За формулою Ньютона–Лейбніца
\[ \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left.2\cdot\sqrt{x}\right|_1^4. \]
Обчислюємо значення первісної для верхньої межі:
\[ F(4)=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4. \]
Тепер знаходимо значення первісної для нижньої межі:
\[ F(1)=2\cdot\sqrt{1}=2. \]
Отже,
\[ F(4)-F(1)=4-2=2. \]
Тому
\[ \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2. \]
Приклад 5. Обчислити визначений інтеграл
\[
\int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx.
\]
Звернімо увагу, що верхня межа тут менша за нижню. Проте формулу Ньютона–Лейбніца можна застосувати без додаткової перестановки меж.
Знайдемо первісну:
\[ \int (2\cdot x-3)\,dx=x^2-3\cdot x. \]
Отже,
\[ F(x)=x^2-3\cdot x. \]
Застосовуємо формулу Ньютона–Лейбніца:
\[ \int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx = \left.(x^2-3\cdot x)\right|_2^{-1}. \]
Спочатку підставляємо верхню межу \( -1 \):
\[ F(-1)=(-1)^2-3\cdot(-1)=1+3=4. \]
Далі підставляємо нижню межу \( 2 \):
\[ F(2)=2^2-3\cdot2=4-6=-2. \]
Тепер знаходимо різницю:
\[ F(-1)-F(2)=4-(-2)=6. \]
Отже,
\[ \int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx=6. \]
Наступний Крок в Інтегральному Численні: Теми Для Продовження
Після формули Ньютона–Лейбніца логічно перейти до задач, у яких визначений інтеграл набуває геометричного змісту. Наступні теми покажуть, як визначені інтеграли використовують для знаходження площ, об’ємів і довжин.
- Площа фігури за допомогою інтеграла: Формули та приклади — У статті розглянемо, як за допомогою визначеного інтеграла знаходити площі фігур, обмежених графіками функцій і прямими.
- Об’єм тіла обертання: Застосування визначеного інтеграла — Матеріал пояснить, як визначений інтеграл допомагає обчислювати об’єми тіл, утворених під час обертання плоских фігур.
- Довжина дуги кривої: Формула через визначений інтеграл — У статті йтиметься про обчислення довжини дуги графіка функції та про роль визначеного інтеграла в таких задачах.
Формула Ньютона–Лейбніца: Від Математики До Програмування
Якщо вам подобається програмування, спробуйте перетворити отримані знання про формулу Ньютона–Лейбніца на власний програмний код. На блок-схемі нижче показано алгоритм обчислення визначеного інтеграла для функції
\[ f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c. \]
Алгоритм приймає коефіцієнти функції та межі інтегрування, обчислює значення первісної для кожної межі та знаходить їх різницю. Реалізуйте цей алгоритм у своїй улюбленій мові програмування та перевірте його для різних вхідних даних.
