Собственные значения матрицы часто вычисляют последовательно, начиная с наибольшего по модулю. Однако повторное применение степенного метода к той же матрице снова приведёт к уже найденному значению. Метод исчерпывания, также называемый методом дефляции, решает эту проблему с помощью преобразования, после которого найденное собственное значение заменяется нулём.
Собственные Значения Матрицы: Идея Метода Исчерпывания
Пусть задана действительная квадратная матрица \( A \) порядка \( n \):
\[ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}. \]
Предположим, что матрица \( A \) имеет \( n \) линейно независимых собственных векторов, а её собственные значения являются действительными и упорядочены по убыванию модулей:
\[ |\lambda_1|>|\lambda_2|>\dots>|\lambda_n|. \]
Такое упорядочение позволяет последовательно находить собственные значения с помощью степенного метода. Совокупность всех собственных значений матрицы называют её спектром.
Правые собственные векторы матрицы \( A \) обозначим через
\[ X_1,X_2,\dots,X_n. \]
Для каждого из них выполняется равенство
\[ A\cdot X_j=\lambda_j\cdot X_j,\qquad j=1,2,\dots,n. \]
Наибольшее по модулю собственное значение \( \lambda_1 \) и соответствующий ему собственный вектор \( X_1 \) можно найти степенным методом. Если повторно применить этот метод к исходной матрице, он снова будет приближать значение \( \lambda_1 \). Поэтому перед нахождением \( \lambda_2 \) необходимо построить преобразованную матрицу, в спектре которой значение \( \lambda_1 \) будет заменено нулём.
Для несимметричной матрицы наряду с правыми собственными векторами рассматривают левые собственные векторы
\[ Y_1,Y_2,\dots,Y_n. \]
Они являются собственными векторами транспонированной матрицы \( A^{T} \):
\[ A^{T}\cdot Y_j=\lambda_j\cdot Y_j. \]
После транспонирования получаем
\[ Y_j^{T}\cdot A=\lambda_j\cdot Y_j^{T}. \]
Правые и левые собственные векторы нормируют так, чтобы выполнялось условие биортогональности:
\[ Y_i^{T}\cdot X_j= \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i\ne j. \end{cases} \]
В частности,
\[ Y_1^{T}\cdot X_1=1, \]
а для остальных правых собственных векторов
\[ Y_1^{T}\cdot X_j=0,\qquad j=2,3,\dots,n. \]
Эти соотношения позволяют заменить собственное значение \( \lambda_1 \) нулём, не изменяя остальную часть спектра матрицы.
Преобразование Матрицы: Замена Первого Собственного Значения Нулём
Предположим, что собственное значение \( \lambda_1 \), правый собственный вектор \( X_1 \) и левый собственный вектор \( Y_1 \) уже найдены. Построим новую матрицу:
\[ A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}. \]
Матрица
\[ \lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T} \]
представляет собой часть спектрального разложения, связанную с собственным значением \( \lambda_1 \). Она образуется в результате умножения вектора-столбца на вектор-строку, поэтому её ранг равен единице.
Пусть собственные векторы имеют вид
\[ X_1= \begin{pmatrix} x_{11}\\ x_{21}\\ \vdots\\ x_{n1} \end{pmatrix}, \qquad Y_1^{T}= \begin{pmatrix} y_{11} & y_{21} & \dots & y_{n1} \end{pmatrix}. \]
Тогда их произведение равно
\[ X_1\cdot Y_1^{T}= \begin{pmatrix} x_{11}\cdot y_{11} & x_{11}\cdot y_{21} & \dots & x_{11}\cdot y_{n1}\\ x_{21}\cdot y_{11} & x_{21}\cdot y_{21} & \dots & x_{21}\cdot y_{n1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n1}\cdot y_{11} & x_{n1}\cdot y_{21} & \dots & x_{n1}\cdot y_{n1} \end{pmatrix}. \]
Элементы преобразованной матрицы \( A_1 \) вычисляют по формуле
\[ a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-\lambda_1\cdot x_{i1}\cdot y_{j1},\qquad i,j=1,2,\dots,n. \]
Покажем, что после такого преобразования вектору \( X_1 \) будет соответствовать нулевое собственное значение:
\[ A_1\cdot X_1= \left(A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}\right)\cdot X_1= A\cdot X_1-\lambda_1\cdot X_1\cdot\left(Y_1^{T}\cdot X_1\right). \]
Поскольку
\[ A\cdot X_1=\lambda_1\cdot X_1 \]
и
\[ Y_1^{T}\cdot X_1=1, \]
получаем
\[ A_1\cdot X_1= \lambda_1\cdot X_1-\lambda_1\cdot X_1\cdot 1=0. \]
Следовательно,
\[ A_1\cdot X_1=0\cdot X_1. \]
Таким образом, вектор \( X_1 \) остаётся собственным вектором матрицы \( A_1 \), но теперь ему соответствует нулевое собственное значение.
Рассмотренная формула подходит для общего случая. Если матрица \( A \) является симметричной, её левые и правые собственные векторы совпадают. Кроме того, их можно выбрать ортонормированными:
\[ X_i^{T}\cdot X_j= \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i\ne j. \end{cases} \]
Поэтому для симметричной матрицы преобразование принимает более простой вид:
\[ A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}. \]
Сохранение Спектра: Почему Другие Собственные Значения Не Изменяются
Теперь проверим, как это преобразование влияет на собственные векторы \( X_2,X_3,\dots,X_n \). Рассмотрим собственный вектор \( X_j \), для которого
\[ j=2,3,\dots,n. \]
Умножим матрицу \( A_1 \) на этот вектор:
\[ A_1\cdot X_j= \left(A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}\right)\cdot X_j= A\cdot X_j-\lambda_1\cdot X_1\cdot\left(Y_1^{T}\cdot X_j\right). \]
Для вектора \( X_j \) выполняется равенство
\[ A\cdot X_j=\lambda_j\cdot X_j. \]
В то же время условие биортогональности даёт
\[ Y_1^{T}\cdot X_j=0. \]
Поэтому
\[ A_1\cdot X_j= \lambda_j\cdot X_j-\lambda_1\cdot X_1\cdot 0= \lambda_j\cdot X_j. \]
Следовательно, собственные значения
\[ \lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n \]
и соответствующие им собственные векторы остаются неизменными. Спектр матрицы \( A_1 \) имеет вид
\[ 0,\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n. \]
Таким образом, преобразование изменяет только первое собственное значение, тогда как остальная часть спектра матрицы сохраняется.
Последовательное Преобразование: Переход к Следующим Собственным Значениям
Поскольку собственные значения упорядочены по убыванию модулей, наибольшим по модулю собственным значением матрицы \( A_1 \) является \( \lambda_2 \). Поэтому применение степенного метода к преобразованной матрице позволяет определить второе по модулю собственное значение исходной матрицы и соответствующий ему собственный вектор.
После нахождения \( \lambda_2 \) строят следующую матрицу:
\[ A_2=A_1-\lambda_2\cdot X_2\cdot Y_2^{T}. \]
Её спектр имеет вид
\[ 0,0,\lambda_3,\dots,\lambda_n. \]
Наибольшим по модулю собственным значением матрицы \( A_2 \) становится \( \lambda_3 \). После его нахождения можно построить матрицу
\[ A_3=A_2-\lambda_3\cdot X_3\cdot Y_3^{T} \]
и продолжить вычисления.
В общем случае после последовательной замены первых \( k \) собственных значений нулями получают матрицу
\[ A_k=A-\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\cdot X_i\cdot Y_i^{T}. \]
Её ненулевыми собственными значениями остаются
\[ \lambda_{k+1},\lambda_{k+2},\dots,\lambda_n. \]
Таким образом, метод исчерпывания позволяет последовательно преобразовывать матрицу так, чтобы уже найденные собственные значения заменялись нулями. После каждого такого преобразования к полученной матрице применяют степенной метод для нахождения следующего по модулю собственного значения.
Практическая Часть: Собственные Значения Матрицы Методом Исчерпывания
Теперь рассмотрим, как метод исчерпывания работает для матриц разных порядков. В каждом примере построим матрицу, в спектре которой наибольшее по модулю собственное значение заменено нулём, а затем применим к ней степенной метод с точностью \( \varepsilon=0.1 \).
Пример 1. Найти второе по модулю собственное значение матрицы методом исчерпывания:
\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для исходной матрицы наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий нормированный собственный вектор равны
\[ \lambda_1\approx4.414, \qquad X_1\approx \begin{pmatrix} 0.924\\ 0.383 \end{pmatrix}. \]
Поскольку заданная матрица является симметричной, для построения \( A_1 \) используем формулу
\[ A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}. \]
Транспонированный собственный вектор имеет вид
\[ X_1^{T}\approx \begin{pmatrix} 0.924 & 0.383 \end{pmatrix}. \]
Умножим вектор-столбец \( X_1 \) на вектор-строку \( X_1^{T} \):
\[ X_1\cdot X_1^{T}\approx \begin{pmatrix} 0.924\\ 0.383 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.924 & 0.383 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.854 & 0.354\\ 0.354 & 0.146 \end{pmatrix}. \]
Умножим полученную матрицу на \( \lambda_1 \):
\[ \lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx 4.414\cdot \begin{pmatrix} 0.854 & 0.354\\ 0.354 & 0.146 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.768 & 1.561\\ 1.561 & 0.646 \end{pmatrix}. \]
Вычтем полученную спектральную составляющую из исходной матрицы:
\[ A_1\approx \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} — \begin{pmatrix} 3.768 & 1.561\\ 1.561 & 0.646 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.232 & -0.561\\ -0.561 & 1.354 \end{pmatrix}. \]
К матрице \( A_1 \) применим степенной метод. Выберем начальный нормированный вектор
\[ V^{(0)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.707\\ 0.707 \end{pmatrix}. \]
На первой итерации умножим матрицу \( A_1 \) на вектор \( V^{(0)} \):
\[ Z^{(1)}= A_1\cdot V^{(0)} \approx \begin{pmatrix} 0.232 & -0.561\\ -0.561 & 1.354 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.707\\ 0.707 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.232\\ 0.561 \end{pmatrix}. \]
Вычислим норму полученного вектора:
\[ \left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2 \approx \sqrt{(-0.232)^2+0.561^2} \approx0.607. \]
Нормируем вектор:
\[ V^{(1)}= \frac{1}{0.607}\cdot \begin{pmatrix} -0.232\\ 0.561 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.383\\ 0.924 \end{pmatrix}. \]
Первое приближение второго по модулю собственного значения найдём с помощью отношения Рэлея:
\[ \lambda_2^{(1)}= \frac{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(1)}} {\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot V^{(1)}} \approx1.586. \]
Выполним вторую итерацию:
\[ Z^{(2)}= A_1\cdot V^{(1)} \approx \begin{pmatrix} 0.232 & -0.561\\ -0.561 & 1.354 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.383\\ 0.924 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.607\\ 1.465 \end{pmatrix}. \]
Вычислим норму:
\[ \left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2 \approx \sqrt{(-0.607)^2+1.465^2} \approx1.586. \]
Нормируем вектор:
\[ V^{(2)}= \frac{1}{1.586}\cdot \begin{pmatrix} -0.607\\ 1.465 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.383\\ 0.924 \end{pmatrix}. \]
Новое приближение равно
\[ \lambda_2^{(2)}= \frac{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(2)}} {\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot V^{(2)}} \approx1.586. \]
Проверим условие завершения:
\[ \left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right| = |1.586-1.586| = 0 \leq0.1. \]
Необходимая точность достигнута. Следовательно,
\[ \lambda_2\approx1.586. \]
Пример 2. Найти второе по модулю собственное значение матрицы методом исчерпывания:
\[
A=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для исходной матрицы наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий нормированный собственный вектор равны
\[ \lambda_1\approx5.461, \qquad X_1\approx \begin{pmatrix} 0.902\\ 0.415\\ 0.12 \end{pmatrix}. \]
Поскольку заданная матрица является симметричной, построим преобразованную матрицу по формуле
\[ A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}. \]
Транспонированный собственный вектор имеет вид
\[ X_1^{T}\approx \begin{pmatrix} 0.902 & 0.415 & 0.12 \end{pmatrix}. \]
Вычислим внешнее произведение:
\[ X_1\cdot X_1^{T}\approx \begin{pmatrix} 0.902\\ 0.415\\ 0.12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.902 & 0.415 & 0.12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.813 & 0.374 & 0.108\\ 0.374 & 0.172 & 0.05\\ 0.108 & 0.05 & 0.014 \end{pmatrix}. \]
Умножим полученную матрицу на \( \lambda_1 \):
\[ \lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx 5.461\cdot \begin{pmatrix} 0.813 & 0.374 & 0.108\\ 0.374 & 0.172 & 0.05\\ 0.108 & 0.05 & 0.014 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.44 & 2.045 & 0.591\\ 2.045 & 0.942 & 0.272\\ 0.591 & 0.272 & 0.079 \end{pmatrix}. \]
Вычтем спектральную составляющую из исходной матрицы:
\[ A_1\approx \begin{pmatrix} 5 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} — \begin{pmatrix} 4.44 & 2.045 & 0.591\\ 2.045 & 0.942 & 0.272\\ 0.591 & 0.272 & 0.079 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.56 & -1.045 & -0.591\\ -1.045 & 2.058 & 0.728\\ -0.591 & 0.728 & 1.921 \end{pmatrix}. \]
Выберем начальный нормированный вектор
\[ V^{(0)}= \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0.577\\ 0.577\\ 0.577 \end{pmatrix}. \]
На первой итерации получаем
\[ Z^{(1)}= A_1\cdot V^{(0)} \approx \begin{pmatrix} 0.56 & -1.045 & -0.591\\ -1.045 & 2.058 & 0.728\\ -0.591 & 0.728 & 1.921 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.577\\ 0.577\\ 0.577 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.621\\ 1.005\\ 1.188 \end{pmatrix}. \]
Вычислим норму:
\[ \left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2 \approx \sqrt{(-0.621)^2+1.005^2+1.188^2} \approx1.676. \]
Нормируем вектор:
\[ V^{(1)}= \frac{1}{1.676}\cdot \begin{pmatrix} -0.621\\ 1.005\\ 1.188 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.371\\ 0.6\\ 0.709 \end{pmatrix}. \]
Первое приближение второго по модулю собственного значения равно
\[ \lambda_2^{(1)}= \frac{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(1)}} {\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot V^{(1)}} \approx3.178. \]
На второй итерации получаем
\[ Z^{(2)}= A_1\cdot V^{(1)} \approx \begin{pmatrix} 0.56 & -1.045 & -0.591\\ -1.045 & 2.058 & 0.728\\ -0.591 & 0.728 & 1.921 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.371\\ 0.6\\ 0.709 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.253\\ 2.138\\ 2.018 \end{pmatrix}. \]
Вычислим норму:
\[ \left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2 \approx \sqrt{(-1.253)^2+2.138^2+2.018^2} \approx3.196. \]
Нормируем вектор:
\[ V^{(2)}= \frac{1}{3.196}\cdot \begin{pmatrix} -1.253\\ 2.138\\ 2.018 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.392\\ 0.669\\ 0.631 \end{pmatrix}. \]
Второе приближение равно
\[ \lambda_2^{(2)}= \frac{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(2)}} {\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot V^{(2)}} \approx3.229. \]
Проверим точность:
\[ \left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right| = |3.229-3.178| = 0.051 \leq0.1. \]
Необходимая точность достигнута. Следовательно,
\[ \lambda_2\approx3.229. \]
Пример 3. Найти второе по модулю собственное значение матрицы методом исчерпывания:
\[
A=
\begin{pmatrix}
6 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для исходной матрицы наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий нормированный собственный вектор равны
\[ \lambda_1\approx6.464, \qquad X_1\approx \begin{pmatrix} 0.899\\ 0.417\\ 0.129\\ 0.029 \end{pmatrix}. \]
Поскольку заданная матрица является симметричной, построим преобразованную матрицу по формуле
\[ A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}. \]
Транспонированный собственный вектор имеет вид
\[ X_1^{T}\approx \begin{pmatrix} 0.899 & 0.417 & 0.129 & 0.029 \end{pmatrix}. \]
Вычислим внешнее произведение:
\[ X_1\cdot X_1^{T}\approx \begin{pmatrix} 0.899\\ 0.417\\ 0.129\\ 0.029 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.899 & 0.417 & 0.129 & 0.029 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.809 & 0.375 & 0.116 & 0.026\\ 0.375 & 0.174 & 0.054 & 0.012\\ 0.116 & 0.054 & 0.017 & 0.004\\ 0.026 & 0.012 & 0.004 & 0.001 \end{pmatrix}. \]
Умножим полученную матрицу на \( \lambda_1 \):
\[ \lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx 6.464\cdot \begin{pmatrix} 0.809 & 0.375 & 0.116 & 0.026\\ 0.375 & 0.174 & 0.054 & 0.012\\ 0.116 & 0.054 & 0.017 & 0.004\\ 0.026 & 0.012 & 0.004 & 0.001 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5.226 & 2.425 & 0.748 & 0.168\\ 2.425 & 1.125 & 0.347 & 0.078\\ 0.748 & 0.347 & 0.107 & 0.024\\ 0.168 & 0.078 & 0.024 & 0.005 \end{pmatrix}. \]
Вычтем эту спектральную составляющую из исходной матрицы:
\[ A_1\approx \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} — \begin{pmatrix} 5.226 & 2.425 & 0.748 & 0.168\\ 2.425 & 1.125 & 0.347 & 0.078\\ 0.748 & 0.347 & 0.107 & 0.024\\ 0.168 & 0.078 & 0.024 & 0.005 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\ -1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\ -0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\ -0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995 \end{pmatrix}. \]
Выберем начальный нормированный вектор
\[ V^{(0)}= \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5\\ 0.5\\ 0.5\\ 0.5 \end{pmatrix}. \]
На первой итерации получаем
\[ Z^{(1)}= A_1\cdot V^{(0)} \approx \begin{pmatrix} 0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\ -1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\ -0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\ -0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5\\ 0.5\\ 0.5\\ 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.784\\ 1.013\\ 1.887\\ 1.363 \end{pmatrix}. \]
Вычислим норму:
\[ \left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2 \approx \sqrt{(-0.784)^2+1.013^2+1.887^2+1.363^2} \approx2.656. \]
Нормируем вектор:
\[ V^{(1)}= \frac{1}{2.656}\cdot \begin{pmatrix} -0.784\\ 1.013\\ 1.887\\ 1.363 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.295\\ 0.381\\ 0.71\\ 0.513 \end{pmatrix}. \]
Первое приближение второго по модулю собственного значения равно
\[ \lambda_2^{(1)}= \frac{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(1)}} {\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot V^{(1)}} \approx4.189. \]
На второй итерации вычисляем
\[ Z^{(2)}= A_1\cdot V^{(1)} \approx \begin{pmatrix} 0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\ -1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\ -0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\ -0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.295\\ 0.381\\ 0.71\\ 0.513 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.389\\ 1.94\\ 3.025\\ 1.736 \end{pmatrix}. \]
Вычислим норму:
\[ \left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2 \approx \sqrt{(-1.389)^2+1.94^2+3.025^2+1.736^2} \approx4.226. \]
Нормируем вектор:
\[ V^{(2)}= \frac{1}{4.226}\cdot \begin{pmatrix} -1.389\\ 1.94\\ 3.025\\ 1.736 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.329\\ 0.459\\ 0.716\\ 0.411 \end{pmatrix}. \]
Второе приближение равно
\[ \lambda_2^{(2)}= \frac{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(2)}} {\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot V^{(2)}} \approx4.31. \]
Проверим точность:
\[ \left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right| = |4.31-4.189| = 0.121 > 0.1. \]
Необходимая точность ещё не достигнута, поэтому выполним третью итерацию:
\[ Z^{(3)}= A_1\cdot V^{(2)} \approx \begin{pmatrix} 0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\ -1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\ -0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\ -0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0.329\\ 0.459\\ 0.716\\ 0.411 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.513\\ 2.223\\ 3.017\\ 1.538 \end{pmatrix}. \]
Вычислим норму:
\[ \left\lVert Z^{(3)}\right\rVert_2 \approx \sqrt{(-1.513)^2+2.223^2+3.017^2+1.538^2} \approx4.325. \]
Нормируем вектор:
\[ V^{(3)}= \frac{1}{4.325}\cdot \begin{pmatrix} -1.513\\ 2.223\\ 3.017\\ 1.538 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0.35\\ 0.514\\ 0.698\\ 0.356 \end{pmatrix}. \]
Третье приближение равно
\[ \lambda_2^{(3)}= \frac{\left(V^{(3)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(3)}} {\left(V^{(3)}\right)^{T}\cdot V^{(3)}} \approx4.359. \]
Проверим критерий завершения:
\[ \left|\lambda_2^{(3)}-\lambda_2^{(2)}\right| = |4.359-4.31| = 0.049 \leq0.1. \]
Необходимая точность достигнута. Следовательно,
\[ \lambda_2\approx4.359. \]
Что Изучать Дальше: Другие Методы Вычисления Спектра
Метод исчерпывания — лишь один из способов исследования спектра матрицы. Далее стоит сравнить его с другими подходами и посмотреть, как в каждом из них организованы вычисления.
- Метод вращений: Как диагонализировать симметричную матрицу — Статья объяснит, как последовательные вращения обнуляют внедиагональные элементы и позволяют приближённо находить собственные значения и собственные векторы.
- Метод LU-разложения: Как приближённо вычислять спектр матрицы — Материал покажет, как повторные LU-разложения преобразуют матрицу и постепенно приближают её диагональные элементы к собственным значениям.
- Метод Фаддеева: Как построить характеристический многочлен — В статье будет рассмотрено вычисление коэффициентов характеристического многочлена по следам степеней матрицы и нахождение его корней.
Собственные Значения Матрицы: От Блок-Схемы к Программному Коду
Увлекаетесь программированием? Попробуйте реализовать алгоритм, представленный на блок-схеме, на своём любимом языке программирования и создать программу, которая методом исчерпывания находит второе по модулю собственное значение матрицы второго порядка. Такая реализация поможет лучше понять построение преобразованной матрицы, нормирование векторов, проверку точности и организацию итерационных вычислений.
