Собственные значения матрицы можно находить не только через непосредственное вычисление характеристического определителя. Один из удобных подходов — метод Фаддеева. Он относится к точным численным методам и тесно связан с методом Леверье.
Его главное преимущество заключается в последовательном построении вычислений. Сначала формируются вспомогательные матрицы. Затем через их следы находятся коэффициенты характеристического многочлена. А уже после этого определяются собственные значения матрицы. Кроме того, метод Фаддеева можно использовать для нахождения обратной матрицы и собственных векторов.
Собственные Значения Матрицы Методом Фаддеева: Основная Идея
Метод Фаддеева можно рассматривать как модификацию метода Леверье. В методе Леверье для нахождения коэффициентов характеристического многочлена используют степени матрицы:
\[
A,\ A^2,\ \dots,\ A^n.
\]
Метод Фаддеева работает иначе. В нём вместо прямого вычисления степеней матрицы строят вспомогательные матрицы. Именно эта последовательность постепенно приводит к коэффициентам характеристического многочлена.
Пусть задана квадратная матрица \( A \) порядка \( n \):
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
\]
Нужно найти её собственные значения. С чего начать? Сначала нужно построить характеристический многочлен.
В методе Фаддеева его удобно записывать так:
\[
D(\lambda)=\lambda^n-\sigma_1\cdot\lambda^{n-1}-\sigma_2\cdot\lambda^{n-2}-\dots-\sigma_{n-1}\cdot\lambda-\sigma_n.
\]
Тогда собственные значения матрицы находят из характеристического уравнения:
\[
D(\lambda)=0.
\]
Итак, задача метода Фаддеева состоит в том, чтобы найти коэффициенты
\[
\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n.
\]
После этого остаётся решить характеристическое уравнение. Именно его корни и будут собственными значениями матрицы \( A \).
Метод Фаддеева: Построение Вспомогательных Матриц
Теперь перейдём к самому алгоритму. Пусть \( I \) — единичная матрица того же порядка, что и матрица \( A \):
\[
I=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \dots & 0\\
0 & 1 & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \dots & 1
\end{pmatrix}.
\]
В методе Фаддеева последовательно строят матрицы
\[
A_1,A_2,\dots,A_n
\]
и
\[
B_1,B_2,\dots,B_n.
\]
Начнём с первого шага. Сначала берём исходную матрицу:
\[
A_1=A.
\]
Затем через след матрицы \( A_1 \) находим число \( q_1 \):
\[
q_1=tr(A_1).
\]
После этого строим первую вспомогательную матрицу:
\[
B_1=A_1-q_1\cdot I.
\]
Зачем нужна матрица \( B_1 \)? Она используется для построения следующей матрицы \( A_2 \). То есть первый шаг не завершает вычисления, а подготавливает переход к следующему этапу.
Переходим ко второму шагу. Теперь исходную матрицу \( A \) умножаем на уже найденную матрицу \( B_1 \):
\[
A_2=A\cdot B_1.
\]
Далее находим число \( q_2 \). Для этого берём след матрицы \( A_2 \) и делим его на номер шага:
\[
q_2=\frac{tr(A_2)}{2}.
\]
После этого строим вторую вспомогательную матрицу:
\[
B_2=A_2-q_2\cdot I.
\]
Матрица \( B_2 \), как и \( B_1 \), нужна для продолжения алгоритма. Она будет использована уже на следующем шаге при построении матрицы \( A_3 \).
После второго шага схема становится понятной. Каждый следующий шаг строится по тому же принципу: новая матрица \( A_k \) образуется через предыдущую матрицу \( B_{k-1} \), число \( q_k \) находится через след матрицы \( A_k \), а матрица \( B_k \) подготавливает следующий шаг.
В общем случае, если матрица \( B_{k-1} \) уже найдена, то для шага \( k \) имеем:
\[
A_k=A\cdot B_{k-1},\qquad q_k=\frac{tr(A_k)}{k},\qquad B_k=A_k-q_k\cdot I,
\]
где \( k=3,4,\dots,n \).
След матрицы — это сумма элементов её главной диагонали. Если на некотором шаге матрица \( A_k \) имеет вид
\[
A_k=
\begin{pmatrix}
a_{11}^{(k)} & a_{12}^{(k)} & \dots & a_{1n}^{(k)}\\
a_{21}^{(k)} & a_{22}^{(k)} & \dots & a_{2n}^{(k)}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1}^{(k)} & a_{n2}^{(k)} & \dots & a_{nn}^{(k)}
\end{pmatrix},
\]
то в общем случае её след вычисляется так:
\[
tr(A_k)=a_{11}^{(k)}+a_{22}^{(k)}+\dots+a_{nn}^{(k)}.
\]
Именно числа
\[
q_1,q_2,\dots,q_n
\]
имеют ключевое значение в алгоритме. После завершения построения матриц они используются как коэффициенты характеристического многочлена с учётом выбранной записи этого многочлена.
Таким образом, во втором разделе мы получили саму вычислительную схему метода Фаддеева. Теперь остаётся понять, как из чисел \( q_k \) перейти к характеристическому многочлену и собственным значениям.
Характеристический Многочлен: Переход к Собственным Значениям
После завершения построения вспомогательных матриц имеем числа
\[
q_1,q_2,\dots,q_n.
\]
Теперь они задают коэффициенты характеристического многочлена:
\[
\sigma_1=q_1,\qquad \sigma_2=q_2,\qquad \dots,\qquad \sigma_n=q_n.
\]
Или кратко:
\[
\sigma_k=q_k,\qquad k=1,2,\dots,n.
\]
Поэтому характеристический многочлен матрицы \( A \) записывается в виде:
\[
D(\lambda)=\lambda^n-\sigma_1\cdot\lambda^{n-1}-\sigma_2\cdot\lambda^{n-2}-\dots-\sigma_{n-1}\cdot\lambda-\sigma_n.
\]
С учётом найденных чисел \( q_1,q_2,\dots,q_n \) имеем:
\[
D(\lambda)=\lambda^n-q_1\cdot\lambda^{n-1}-q_2\cdot\lambda^{n-2}-\dots-q_{n-1}\cdot\lambda-q_n.
\]
Далее решаем характеристическое уравнение:
\[
D(\lambda)=0.
\]
Его корни
\[
\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n
\]
являются собственными значениями матрицы \( A \).
Итак, важно не смешивать два этапа. Метод Фаддеева сначала даёт коэффициенты характеристического многочлена. А уже потом собственные значения находятся как корни характеристического уравнения.
Кроме нахождения собственных значений, как уже отмечалось, метод Фаддеева имеет ещё одно полезное свойство. Если матрица \( A \) является невырожденной, то есть
\[
\det A\neq 0,
\]
то можно найти обратную матрицу:
\[
A^{-1}=\frac{B_{n-1}}{\sigma_n}.
\]
В этой формуле используется тот же знак коэффициента \( \sigma_n \), что и в записанном выше характеристическом многочлене. Это важно, потому что в разных источниках характеристический многочлен могут записывать с другой системой знаков.
Также метод Фаддеева позволяет находить собственные векторы. Если \( \lambda_i \) — собственное значение матрицы \( A \), то строят матрицу
\[
R_i=\lambda_i^{n-1}\cdot I+\lambda_i^{n-2}\cdot B_1+\dots+\lambda_i\cdot B_{n-2}+B_{n-1}.
\]
Каждый ненулевой столбец матрицы \( R_i \) можно взять в качестве собственного вектора, который соответствует собственному значению \( \lambda_i \).
Таким образом, метод Фаддеева даёт последовательную схему работы с матрицей. Сначала строятся матрицы \( A_k \) и \( B_k \), затем через следы матриц находятся числа \( q_k \), далее формируется характеристический многочлен, а его корни дают собственные значения матрицы.
Практическая Часть: Как Найти Собственные Значения Методом Фаддеева
Теперь рассмотрим, как метод Фаддеева работает на конкретных матрицах. Начнём с матрицы второго порядка, а затем постепенно перейдём к матрицам третьего и четвёртого порядка. В каждом примере будем строить вспомогательные матрицы, находить коэффициенты характеристического многочлена и переходить к собственным значениям.
Пример 1. Найти собственные значения матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Перед нами матрица второго порядка, поэтому нужно выполнить два шага. Начинаем с матрицы
\[
A_1=A=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Находим число \( q_1 \) через след матрицы \( A_1 \):
\[
q_1=tr(A_1)=2+3=5.
\]
Теперь строим матрицу \( B_1 \):
\[
B_1=A_1-q_1\cdot I.
\]
Подставляем матрицы:
\[
B_1=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix}
—
5\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Итак,
\[
B_1=
\begin{pmatrix}
-3 & 1\\
0 & -2
\end{pmatrix}.
\]
Переходим ко второму шагу. Находим матрицу \( A_2 \). Для этого умножаем исходную матрицу \( A \) на матрицу \( B_1 \):
\[
A_2=A\cdot B_1.
\]
То есть
\[
A_2=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-3 & 1\\
0 & -2
\end{pmatrix}.
\]
После умножения имеем:
\[
A_2=
\begin{pmatrix}
-6 & 0\\
0 & -6
\end{pmatrix}.
\]
Теперь находим число \( q_2 \):
\[
q_2=\frac{tr(A_2)}{2}=\frac{-6+(-6)}{2}=-6.
\]
Итак,
\[
q_1=5,\qquad q_2=-6.
\]
Для матрицы второго порядка характеристический многочлен имеет вид:
\[
D(\lambda)=\lambda^2-q_1\cdot\lambda-q_2.
\]
Подставляем найденные значения:
\[
D(\lambda)=\lambda^2-5\cdot\lambda-(-6).
\]
То есть
\[
D(\lambda)=\lambda^2-5\cdot\lambda+6.
\]
Решаем характеристическое уравнение:
\[
\lambda^2-5\cdot\lambda+6=0.
\]
Разложим левую часть на множители:
\[
(\lambda-2)\cdot(\lambda-3)=0.
\]
Отсюда получаем собственные значения:
\[
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=3.
\]
Пример 2. Найти собственные значения матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Матрица имеет третий порядок, поэтому нужно найти числа \( q_1,\ q_2,\ q_3 \).
Начинаем с первого шага:
\[
A_1=A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}.
\]
Находим след матрицы \( A_1 \):
\[
q_1=tr(A_1)=1+2+3=6.
\]
Строим матрицу \( B_1 \):
\[
B_1=A_1-q_1\cdot I.
\]
Подставляем матрицы:
\[
B_1=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
—
6\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Итак,
\[
B_1=
\begin{pmatrix}
-5 & 1 & 0\\
0 & -4 & 1\\
0 & 0 & -3
\end{pmatrix}.
\]
Переходим ко второму шагу. Находим матрицу \( A_2 \). Для этого умножаем матрицу \( A \) на матрицу \( B_1 \):
\[
A_2=A\cdot B_1.
\]
То есть
\[
A_2=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-5 & 1 & 0\\
0 & -4 & 1\\
0 & 0 & -3
\end{pmatrix}.
\]
После умножения получаем:
\[
A_2=
\begin{pmatrix}
-5 & -3 & 1\\
0 & -8 & -1\\
0 & 0 & -9
\end{pmatrix}.
\]
Находим число \( q_2 \):
\[
q_2=\frac{tr(A_2)}{2}=\frac{-5+(-8)+(-9)}{2}=\frac{-22}{2}=-11.
\]
Теперь строим матрицу \( B_2 \):
\[
B_2=A_2-q_2\cdot I.
\]
Поскольку \( q_2=-11 \), имеем:
\[
B_2=A_2-(-11)\cdot I.
\]
Подставляем матрицы:
\[
B_2=
\begin{pmatrix}
-5 & -3 & 1\\
0 & -8 & -1\\
0 & 0 & -9
\end{pmatrix}
—
(-11)\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Поэтому
\[
B_2=
\begin{pmatrix}
6 & -3 & 1\\
0 & 3 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Переходим к третьему шагу. Находим матрицу \( A_3 \). Для этого умножаем матрицу \( A \) на матрицу \( B_2 \):
\[
A_3=A\cdot B_2.
\]
То есть
\[
A_3=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
6 & -3 & 1\\
0 & 3 & -1\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
\]
После умножения имеем:
\[
A_3=
\begin{pmatrix}
6 & 0 & 0\\
0 & 6 & 0\\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}.
\]
Находим число \( q_3 \):
\[
q_3=\frac{tr(A_3)}{3}=\frac{6+6+6}{3}=6.
\]
Итак,
\[
q_1=6,\qquad q_2=-11,\qquad q_3=6.
\]
Для матрицы третьего порядка характеристический многочлен имеет вид:
\[
D(\lambda)=\lambda^3-q_1\cdot\lambda^2-q_2\cdot\lambda-q_3.
\]
Подставляем найденные значения:
\[
D(\lambda)=\lambda^3-6\cdot\lambda^2-(-11)\cdot\lambda-6.
\]
То есть
\[
D(\lambda)=\lambda^3-6\cdot\lambda^2+11\cdot\lambda-6.
\]
Решаем характеристическое уравнение:
\[
\lambda^3-6\cdot\lambda^2+11\cdot\lambda-6=0.
\]
Разложим многочлен на множители:
\[
\lambda^3-6\cdot\lambda^2+11\cdot\lambda-6
=
(\lambda-1)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-3).
\]
Поэтому
\[
(\lambda-1)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-3)=0.
\]
Отсюда получаем собственные значения:
\[
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=2,\qquad \lambda_3=3.
\]
Пример 3. Найти собственные значения матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
8 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -6 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 10 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -2
\end{pmatrix}.
\]
Матрица имеет четвёртый порядок, поэтому нужно найти числа \( q_1,\ q_2,\ q_3,\ q_4 \).
Начинаем с первого шага:
\[
A_1=A=
\begin{pmatrix}
8 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -6 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 10 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -2
\end{pmatrix}.
\]
Находим число \( q_1 \):
\[
q_1=tr(A_1)=8+(-6)+10+(-2)=10.
\]
Строим матрицу \( B_1 \):
\[
B_1=A_1-q_1\cdot I.
\]
Подставляем матрицы:
\[
B_1=
\begin{pmatrix}
8 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -6 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 10 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -2
\end{pmatrix}
—
10\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Итак,
\[
B_1=
\begin{pmatrix}
-2 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -16 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 0 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -12
\end{pmatrix}.
\]
Переходим ко второму шагу. Находим матрицу \( A_2 \). Для этого умножаем матрицу \( A \) на матрицу \( B_1 \):
\[
A_2=A\cdot B_1.
\]
То есть
\[
A_2=
\begin{pmatrix}
8 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -6 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 10 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-2 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -16 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 0 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -12
\end{pmatrix}.
\]
После умножения имеем:
\[
A_2=
\begin{pmatrix}
-44 & -23 & 18 & -25\\
43 & 22 & -33 & 47\\
38 & 38 & -54 & 52\\
15 & 15 & -15 & 6
\end{pmatrix}.
\]
Находим число \( q_2 \):
\[
q_2=\frac{tr(A_2)}{2}
=
\frac{-44+22+(-54)+6}{2}
=
\frac{-70}{2}
=
-35.
\]
Строим матрицу \( B_2 \):
\[
B_2=A_2-q_2\cdot I.
\]
Поскольку \( q_2=-35 \), имеем:
\[
B_2=A_2-(-35)\cdot I.
\]
Подставляем матрицы:
\[
B_2=
\begin{pmatrix}
-44 & -23 & 18 & -25\\
43 & 22 & -33 & 47\\
38 & 38 & -54 & 52\\
15 & 15 & -15 & 6
\end{pmatrix}
—
(-35)\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Поэтому
\[
B_2=
\begin{pmatrix}
-9 & -23 & 18 & -25\\
43 & 57 & -33 & 47\\
38 & 38 & -19 & 52\\
15 & 15 & -15 & 41
\end{pmatrix}.
\]
Переходим к третьему шагу. Находим матрицу \( A_3 \). Для этого умножаем матрицу \( A \) на матрицу \( B_2 \):
\[
A_3=A\cdot B_2.
\]
То есть
\[
A_3=
\begin{pmatrix}
8 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -6 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 10 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-9 & -23 & 18 & -25\\
43 & 57 & -33 & 47\\
38 & 38 & -19 & 52\\
15 & 15 & -15 & 41
\end{pmatrix}.
\]
После умножения получаем:
\[
A_3=
\begin{pmatrix}
66 & 24 & -20 & 32\\
-46 & -4 & 38 & -62\\
-42 & -42 & 80 & -66\\
-18 & -18 & 18 & 8
\end{pmatrix}.
\]
Находим число \( q_3 \):
\[
q_3=\frac{tr(A_3)}{3}
=
\frac{66+(-4)+80+8}{3}
=
\frac{150}{3}
=
50.
\]
Строим матрицу \( B_3 \):
\[
B_3=A_3-q_3\cdot I.
\]
Подставляем матрицы:
\[
B_3=
\begin{pmatrix}
66 & 24 & -20 & 32\\
-46 & -4 & 38 & -62\\
-42 & -42 & 80 & -66\\
-18 & -18 & 18 & 8
\end{pmatrix}
—
50\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Поэтому
\[
B_3=
\begin{pmatrix}
16 & 24 & -20 & 32\\
-46 & -54 & 38 & -62\\
-42 & -42 & 30 & -66\\
-18 & -18 & 18 & -42
\end{pmatrix}.
\]
Переходим к четвёртому шагу. Находим матрицу \( A_4 \). Для этого умножаем матрицу \( A \) на матрицу \( B_3 \):
\[
A_4=A\cdot B_3.
\]
То есть
\[
A_4=
\begin{pmatrix}
8 & 5 & -4 & 5\\
-9 & -6 & 7 & -9\\
-8 & -8 & 10 & -10\\
-3 & -3 & 3 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
16 & 24 & -20 & 32\\
-46 & -54 & 38 & -62\\
-42 & -42 & 30 & -66\\
-18 & -18 & 18 & -42
\end{pmatrix}.
\]
После умножения имеем:
\[
A_4=
\begin{pmatrix}
-24 & 0 & 0 & 0\\
0 & -24 & 0 & 0\\
0 & 0 & -24 & 0\\
0 & 0 & 0 & -24
\end{pmatrix}.
\]
Находим число \( q_4 \):
\[
q_4=\frac{tr(A_4)}{4}
=
\frac{-24+(-24)+(-24)+(-24)}{4}
=
\frac{-96}{4}
=
-24.
\]
Итак,
\[
q_1=10,\qquad q_2=-35,\qquad q_3=50,\qquad q_4=-24.
\]
Для матрицы четвёртого порядка характеристический многочлен имеет вид:
\[
D(\lambda)=\lambda^4-q_1\cdot\lambda^3-q_2\cdot\lambda^2-q_3\cdot\lambda-q_4.
\]
Подставляем найденные значения:
\[
D(\lambda)=\lambda^4-10\cdot\lambda^3-(-35)\cdot\lambda^2-50\cdot\lambda-(-24).
\]
То есть
\[
D(\lambda)=\lambda^4-10\cdot\lambda^3+35\cdot\lambda^2-50\cdot\lambda+24.
\]
Решаем характеристическое уравнение:
\[
\lambda^4-10\cdot\lambda^3+35\cdot\lambda^2-50\cdot\lambda+24=0.
\]
Разложим многочлен на множители:
\[
\lambda^4-10\cdot\lambda^3+35\cdot\lambda^2-50\cdot\lambda+24
=
(\lambda-1)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-3)\cdot(\lambda-4).
\]
Поэтому
\[
(\lambda-1)\cdot(\lambda-2)\cdot(\lambda-3)\cdot(\lambda-4)=0.
\]
Отсюда получаем собственные значения:
\[
\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=2,\qquad \lambda_3=3,\qquad \lambda_4=4.
\]
Что Изучать Дальше: Другие Методы Нахождения Собственных Значений
После метода Фаддеева стоит рассмотреть ещё несколько близких тем. Они помогут увидеть, как одна и та же задача может решаться разными вычислительными подходами.
- Метод Данилевского: Собственные значения через преобразование матрицы — В статье речь пойдёт о переходе к форме Фробениуса и построении характеристического многочлена через последовательные преобразования матрицы.
- Метод Крылова: Собственные значения через последовательность векторов — В статье будет показано, как через векторы Крылова составить систему уравнений и найти характеристический многочлен матрицы.
- LU-разложение: Собственные значения через повторные вычисления — В статье будет рассматриваться, как LU-разложение помогает приближённо находить собственные значения через последовательную работу с матрицами.
Собственные Значения Матрицы: Алгоритм для Реализации в Программе
Если вам интересно не только считать вручную, но и превращать математический метод в рабочий код, блок-схема ниже станет хорошей основой для практики. Она показывает логику программы, которая находит собственные значения матрицы второго порядка методом Фаддеева.
Попробуйте реализовать этот алгоритм на Pascal, Python, C++, JavaScript или любом другом языке, с которым вам удобно работать. Так вы лучше увидите, как формулы из теории переходят в переменные, вычисления, условия и финальный результат.
