Интегрирование по частям — это один из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Его применяют, когда подынтегральное выражение содержит произведение функций или его удобно представить в виде такого произведения. Цель метода проста: заменить исходный интеграл другим, который легче вычислить.
Основная формула непосредственно следует из правила дифференцирования произведения. Поэтому сначала разберёмся, как она выводится. Затем рассмотрим, как правильно выбирать её составляющие.
Формула Метода: Как Выводят Интегрирование по Частям
Рассмотрим интеграл
\[ \int u(x)\cdot v'(x)\,dx. \]
Чтобы преобразовать его, воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:
\[ \left(u(x)\cdot v(x)\right)' = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x). \]
В правой части этого равенства содержится выражение \( u(x)\cdot v'(x) \), которое входит в исходный интеграл. Выразим его через остальные составляющие:
\[ u(x)\cdot v'(x) = \left(u(x)\cdot v(x)\right)' — v(x)\cdot u'(x). \]
Теперь проинтегрируем обе части равенства:
\[ \int u(x)\cdot v'(x)\,dx = \int \left(u(x)\cdot v(x)\right)' \,dx — \int v(x)\cdot u'(x)\,dx. \]
Интегрирование восстанавливает функцию по её производной с точностью до произвольной постоянной. Постоянные интегрирования, возникающие во время преобразований, объединяют в одну общую постоянную \( C \). Следовательно,
\[ \int u(x)\cdot v'(x)\,dx = u(x)\cdot v(x) — \int v(x)\cdot u'(x)\,dx. \]
Это основная формула интегрирования по частям. Обычно её записывают в более кратком дифференциальном виде:
\[ \int u\,dv = u\cdot v — \int v\,du. \]
Здесь
\[ du=u'(x)\,dx, \qquad dv=v'(x)\,dx. \]
После завершения вычисления неопределенного интеграла к результату добавляют произвольную постоянную \( C \).
Выбор Составляющих: Как Подготовить Подынтегральное Выражение
Чтобы воспользоваться полученной формулой, необходимо определить \( u \) и \( dv \). Функцию \( u \) дифференцируют:
\[ du=u'(x)\,dx. \]
Выражение \( dv \), наоборот, интегрируют:
\[ v=\int dv. \]
При нахождении \( v \) постоянную интегрирования не записывают.
Обычно в качестве \( u \) выбирают функцию, производная которой имеет более простой вид. В качестве \( dv \) берут другую часть подынтегрального выражения вместе с \( dx \), если её легко проинтегрировать. Удачным считается такой выбор, при котором интеграл
\[ \int v\,du \]
становится проще исходного.
Рассмотрим интеграл
\[ \int x^2\cdot\ln(x)\,dx. \]
В качестве \( u \) целесообразно выбрать логарифмическую функцию, поскольку её производная имеет более простой вид:
\[ u=\ln(x), \qquad du=\frac{1}{x}\,dx. \]
В качестве \( dv \) возьмём степенную функцию вместе с дифференциалом \( dx \):
\[ dv=x^2\,dx. \]
Тогда
\[ v = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}. \]
А был бы удобен противоположный выбор? Предположим, что
\[ u=x^2, \qquad dv=\ln(x)\,dx. \]
В таком случае для нахождения \( v \) пришлось бы вычислять интеграл
\[ v=\int\ln(x)\,dx. \]
Однако этот интеграл сам требует применения интегрирования по частям. Следовательно, противоположный выбор не упрощает исходную задачу.
Практическая Часть: Интегрирование по Частям в Примерах
Правильный выбор составляющих лучше всего усваивается при вычислении конкретных интегралов. Рассмотрим задачи разной сложности и проследим, как исходный интеграл постепенно преобразуется в более простой. В некоторых случаях метод достаточно применить один раз, а в других — несколько раз.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл
\[
\int x\cdot e^x\,dx.
\]
В качестве \( u \) целесообразно выбрать функцию \( x \), поскольку после дифференцирования она превращается в единицу:
\[ u=x, \qquad du=dx. \]
В качестве \( dv \) возьмём показательную функцию вместе с \( dx \):
\[ dv=e^x\,dx. \]
Найдём \( v \):
\[ v = \int e^x\,dx = e^x. \]
Подставим найденные составляющие в формулу интегрирования по частям:
\[ \int x\cdot e^x\,dx = x\cdot e^x — \int e^x\,dx. \]
Интеграл в правой части является табличным:
\[ \int e^x\,dx = e^x. \]
Поэтому
\[ \int x\cdot e^x\,dx = x\cdot e^x-e^x+C. \]
Вынесем \( e^x \) за скобки:
\[ \int x\cdot e^x\,dx = e^x\cdot(x-1)+C. \]
Пример 2. Найти неопределенный интеграл
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx.
\]
В качестве \( u \) возьмём функцию \( x \):
\[ u=x, \qquad du=dx. \]
В качестве \( dv \) возьмём тригонометрическую функцию вместе с \( dx \):
\[ dv=\cos(3\cdot x)\,dx. \]
При нахождении \( v \) необходимо учесть коэффициент \( 3 \) в аргументе косинуса:
\[ v = \int\cos(3\cdot x)\,dx = \frac{1}{3}\cdot\sin(3\cdot x). \]
Подставим найденные составляющие в формулу:
\[ \int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx = \frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x) — \frac{1}{3}\int\sin(3\cdot x)\,dx. \]
Поскольку
\[ \int\sin(3\cdot x)\,dx = -\frac{1}{3}\cdot\cos(3\cdot x), \]
получаем
\[ \int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx = \frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x) — \frac{1}{3}\cdot \left( -\frac{1}{3}\cdot\cos(3\cdot x) \right) + C. \]
После упрощения имеем
\[ \int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx = \frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x) + \frac{1}{9}\cdot\cos(3\cdot x) + C. \]
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
\[
\int\ln(x)\,dx.
\]
Произведение двух функций в этом интеграле явно не записано. Однако логарифмическую функцию можно рассматривать как произведение
\[ \ln(x)\cdot 1. \]
В качестве \( u \) возьмём логарифмическую функцию:
\[ u=\ln(x), \qquad du=\frac{1}{x}\,dx. \]
Вторым множителем является \( 1 \), поэтому вместе с дифференциалом он образует
\[ dv=dx. \]
Найдём \( v \):
\[ v = \int dx = x. \]
Подставим найденные составляющие в формулу:
\[ \int\ln(x)\,dx = x\cdot\ln(x) — \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx. \]
Поскольку
\[ x\cdot\frac{1}{x}=1, \]
получаем
\[ \int\ln(x)\,dx = x\cdot\ln(x) — \int dx. \]
Следовательно,
\[ \int\ln(x)\,dx = x\cdot\ln(x)-x+C. \]
Эта формула справедлива при \(x>0\), поскольку именно при этом условии определена функция \(\ln(x)\).
Пример 4. Найти неопределенный интеграл
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx.
\]
В качестве \( u \) целесообразно выбрать функцию \( \arctan(x) \), поскольку её производная имеет рациональный вид:
\[ u=\arctan(x), \qquad du=\frac{1}{1+x^2}\,dx. \]
В качестве \( dv \) возьмём степенную функцию вместе с \( dx \):
\[ dv=x\,dx. \]
Тогда
\[ v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}. \]
Подставим найденные составляющие в формулу:
\[ \int x\cdot\arctan(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x) — \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx. \]
Новый интеграл можно упростить. Представим числитель в виде
\[ x^2 = 1+x^2-1. \]
Тогда
\[ \frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2-1}{1+x^2} = 1-\frac{1}{1+x^2}. \]
Такое разложение преобразует новый интеграл в сумму табличных интегралов. Следовательно,
\[ \int x\cdot\arctan(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x) — \frac{1}{2} \int \left( 1-\frac{1}{1+x^2} \right) dx. \]
Разделим интеграл:
\[ \int x\cdot\arctan(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x) — \frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2}\,dx. \]
Вычислим табличные интегралы:
\[ \int dx=x, \qquad \int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x). \]
Поэтому
\[ \int x\cdot\arctan(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x) — \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\cdot\arctan(x) + C. \]
Объединим слагаемые, содержащие \( \arctan(x) \):
\[ \int x\cdot\arctan(x)\,dx = \frac{x^2+1}{2}\cdot\arctan(x) — \frac{x}{2} + C. \]
Пример 5. Найти неопределенный интеграл
\[
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx.
\]
В этом случае интегрирование по частям необходимо применить дважды. Обозначим исходный интеграл через \( I \):
\[ I = \int e^x\cdot\sin(x)\,dx. \]
Во время промежуточных преобразований произвольную постоянную записывать не будем. Добавим её к конечному результату.
В качестве \( u \) возьмём тригонометрическую функцию:
\[ u=\sin(x), \qquad du=\cos(x)\,dx. \]
В качестве \( dv \) возьмём показательную функцию вместе с \( dx \):
\[ dv=e^x\,dx, \qquad v=e^x. \]
После первого применения метода получаем
\[ I = e^x\cdot\sin(x) — \int e^x\cdot\cos(x)\,dx. \]
Новый интеграл также вычислим по частям. Обозначим его через \( J \):
\[ J = \int e^x\cdot\cos(x)\,dx. \]
Для интеграла \( J \) выберем
\[ \begin{gathered} u=\cos(x), \qquad du=-\sin(x)\,dx,\\[4pt] dv=e^x\,dx, \qquad v=e^x. \end{gathered} \]
Тогда
\[ J = e^x\cdot\cos(x) — \int e^x\cdot\left(-\sin(x)\right)\,dx. \]
Минус перед интегралом и знак минус в выражении для \( du \) дают знак плюс:
\[ J = e^x\cdot\cos(x) + \int e^x\cdot\sin(x)\,dx. \]
Последний интеграл совпадает с исходным интегралом \( I \). Поэтому его не нужно вычислять отдельно:
\[ J = e^x\cdot\cos(x)+I. \]
Подставим это выражение в исходное равенство:
\[ I = e^x\cdot\sin(x) — \left( e^x\cdot\cos(x)+I \right). \]
Раскроем скобки:
\[ I = e^x\cdot\sin(x) — e^x\cdot\cos(x) — I. \]
Теперь интеграл \( I \) можно рассматривать как неизвестную величину. Перенесём \( -I \) в левую часть:
\[ 2\cdot I = e^x\cdot\sin(x) — e^x\cdot\cos(x). \]
Вынесем \( e^x \) за скобки:
\[ 2\cdot I = e^x\cdot \left( \sin(x)-\cos(x) \right). \]
Разделим обе части равенства на \( 2 \):
\[ I = \frac{e^x}{2}\cdot \left( \sin(x)-\cos(x) \right). \]
Следовательно,
\[ \int e^x\cdot\sin(x)\,dx = \frac{e^x}{2}\cdot \left( \sin(x)-\cos(x) \right) + C. \]
Следующий Шаг: Темы для Дальнейшего Изучения
Интегрирование по частям — лишь один из методов вычисления интегралов. Что стоит изучать дальше? Следующие темы помогут разобраться с другими распространёнными типами подынтегральных выражений.
- Интегрирование рациональных дробей: Разложение на простейшие дроби — В статье будет объяснено, как раскладывать рациональные дроби на более простые составляющие и последовательно вычислять полученные интегралы.
- Интегралы от тригонометрических функций: Основные методы — В материале будут рассмотрены способы интегрирования произведений и степеней тригонометрических функций с помощью тождеств и преобразований.
- Интегралы от иррациональных функций: Типичные замены — Статья покажет, как с помощью подходящих подстановок упрощать выражения с корнями и сводить их к известным интегралам.
Интегрирование по Частям: От Блок-Схемы до Программного Кода
Увлекаетесь программированием? Тогда попробуйте реализовать представленный на блок-схеме алгоритм на своём любимом языке. Программа должна вычислить значение найденной первообразной, приближённо определить её производную и сравнить полученный результат с подынтегральной функцией.
Pascal, Python, JavaScript или C++ — выбор за вами. Так вы проверите полученный результат и увидите, как последовательность математических вычислений превращается в программный алгоритм.
