Интегрирование по частям — это один из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Его применяют, когда подынтегральное выражение содержит произведение функций или его удобно представить в виде такого произведения. Цель метода проста: заменить исходный интеграл другим, который легче вычислить.
Основная формула непосредственно следует из правила дифференцирования произведения. Поэтому сначала разберёмся, как она выводится. Затем рассмотрим, как правильно выбирать её составляющие.
Формула Метода: Как Выводят Интегрирование по Частям
Рассмотрим интеграл
\[
\int u(x)\cdot v'(x)\,dx.
\]
Чтобы преобразовать его, воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:
\[
\left(u(x)\cdot v(x)\right)’
=
u'(x)\cdot v(x)
+
u(x)\cdot v'(x).
\]
В правой части этого равенства содержится выражение \( u(x)\cdot v'(x) \), которое входит в исходный интеграл. Выразим его через остальные составляющие:
\[
u(x)\cdot v'(x)
=
\left(u(x)\cdot v(x)\right)’
—
v(x)\cdot u'(x).
\]
Теперь проинтегрируем обе части равенства:
\[
\int u(x)\cdot v'(x)\,dx
=
\int
\left(u(x)\cdot v(x)\right)’
\,dx
—
\int v(x)\cdot u'(x)\,dx.
\]
Интегрирование восстанавливает функцию по её производной с точностью до произвольной постоянной. Постоянные интегрирования, возникающие во время преобразований, объединяют в одну общую постоянную \( C \). Следовательно,
\[
\int u(x)\cdot v'(x)\,dx
=
u(x)\cdot v(x)
—
\int v(x)\cdot u'(x)\,dx.
\]
Это основная формула интегрирования по частям. Обычно её записывают в более кратком дифференциальном виде:
\[
\int u\,dv
=
u\cdot v
—
\int v\,du.
\]
Здесь
\[
du=u'(x)\,dx,
\qquad
dv=v'(x)\,dx.
\]
После завершения вычисления неопределенного интеграла к результату добавляют произвольную постоянную \( C \).
Выбор Составляющих: Как Подготовить Подынтегральное Выражение
Чтобы воспользоваться полученной формулой, необходимо определить \( u \) и \( dv \). Функцию \( u \) дифференцируют:
\[
du=u'(x)\,dx.
\]
Выражение \( dv \), наоборот, интегрируют:
\[
v=\int dv.
\]
При нахождении \( v \) постоянную интегрирования не записывают.
Обычно в качестве \( u \) выбирают функцию, производная которой имеет более простой вид. В качестве \( dv \) берут другую часть подынтегрального выражения вместе с \( dx \), если её легко проинтегрировать. Удачным считается такой выбор, при котором интеграл
\[
\int v\,du
\]
становится проще исходного.
Рассмотрим интеграл
\[
\int x^2\cdot\ln(x)\,dx.
\]
В качестве \( u \) целесообразно выбрать логарифмическую функцию, поскольку её производная имеет более простой вид:
\[
u=\ln(x),
\qquad
du=\frac{1}{x}\,dx.
\]
В качестве \( dv \) возьмём степенную функцию вместе с дифференциалом \( dx \):
\[
dv=x^2\,dx.
\]
Тогда
\[
v
=
\int x^2\,dx
=
\frac{x^3}{3}.
\]
А был бы удобен противоположный выбор? Предположим, что
\[
u=x^2,
\qquad
dv=\ln(x)\,dx.
\]
В таком случае для нахождения \( v \) пришлось бы вычислять интеграл
\[
v=\int\ln(x)\,dx.
\]
Однако этот интеграл сам требует применения интегрирования по частям. Следовательно, противоположный выбор не упрощает исходную задачу.
Практическая Часть: Интегрирование по Частям в Примерах
Правильный выбор составляющих лучше всего усваивается при вычислении конкретных интегралов. Рассмотрим задачи разной сложности и проследим, как исходный интеграл постепенно преобразуется в более простой. В некоторых случаях метод достаточно применить один раз, а в других — несколько раз.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл
\[
\int x\cdot e^x\,dx.
\]
В качестве \( u \) целесообразно выбрать функцию \( x \), поскольку после дифференцирования она превращается в единицу:
\[
u=x,
\qquad
du=dx.
\]
В качестве \( dv \) возьмём показательную функцию вместе с \( dx \):
\[
dv=e^x\,dx.
\]
Найдём \( v \):
\[
v
=
\int e^x\,dx
=
e^x.
\]
Подставим найденные составляющие в формулу интегрирования по частям:
\[
\int x\cdot e^x\,dx
=
x\cdot e^x
—
\int e^x\,dx.
\]
Интеграл в правой части является табличным:
\[
\int e^x\,dx
=
e^x.
\]
Поэтому
\[
\int x\cdot e^x\,dx
=
x\cdot e^x-e^x+C.
\]
Вынесем \( e^x \) за скобки:
\[
\int x\cdot e^x\,dx
=
e^x\cdot(x-1)+C.
\]
Пример 2. Найти неопределенный интеграл
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx.
\]
В качестве \( u \) возьмём функцию \( x \):
\[
u=x,
\qquad
du=dx.
\]
В качестве \( dv \) возьмём тригонометрическую функцию вместе с \( dx \):
\[
dv=\cos(3\cdot x)\,dx.
\]
При нахождении \( v \) необходимо учесть коэффициент \( 3 \) в аргументе косинуса:
\[
v
=
\int\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{3}\cdot\sin(3\cdot x).
\]
Подставим найденные составляющие в формулу:
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x)
—
\frac{1}{3}\int\sin(3\cdot x)\,dx.
\]
Поскольку
\[
\int\sin(3\cdot x)\,dx
=
-\frac{1}{3}\cdot\cos(3\cdot x),
\]
получаем
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x)
—
\frac{1}{3}\cdot
\left(
-\frac{1}{3}\cdot\cos(3\cdot x)
\right)
+
C.
\]
После упрощения имеем
\[
\int x\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{x}{3}\cdot\sin(3\cdot x)
+
\frac{1}{9}\cdot\cos(3\cdot x)
+
C.
\]
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
\[
\int\ln(x)\,dx.
\]
Произведение двух функций в этом интеграле явно не записано. Однако логарифмическую функцию можно рассматривать как произведение
\[
\ln(x)\cdot 1.
\]
В качестве \( u \) возьмём логарифмическую функцию:
\[
u=\ln(x),
\qquad
du=\frac{1}{x}\,dx.
\]
Вторым множителем является \( 1 \), поэтому вместе с дифференциалом он образует
\[
dv=dx.
\]
Найдём \( v \):
\[
v
=
\int dx
=
x.
\]
Подставим найденные составляющие в формулу:
\[
\int\ln(x)\,dx
=
x\cdot\ln(x)
—
\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx.
\]
Поскольку
\[
x\cdot\frac{1}{x}=1,
\]
получаем
\[
\int\ln(x)\,dx
=
x\cdot\ln(x)
—
\int dx.
\]
Следовательно,
\[
\int\ln(x)\,dx
=
x\cdot\ln(x)-x+C.
\]
Эта формула справедлива при \(x>0\), поскольку именно при этом условии определена функция \(\ln(x)\).
Пример 4. Найти неопределенный интеграл
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx.
\]
В качестве \( u \) целесообразно выбрать функцию \( \arctan(x) \), поскольку её производная имеет рациональный вид:
\[
u=\arctan(x),
\qquad
du=\frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
В качестве \( dv \) возьмём степенную функцию вместе с \( dx \):
\[
dv=x\,dx.
\]
Тогда
\[
v
=
\int x\,dx
=
\frac{x^2}{2}.
\]
Подставим найденные составляющие в формулу:
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
—
\frac{1}{2}
\int
\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.
\]
Новый интеграл можно упростить. Представим числитель в виде
\[
x^2
=
1+x^2-1.
\]
Тогда
\[
\frac{x^2}{1+x^2}
=
\frac{1+x^2-1}{1+x^2}
=
1-\frac{1}{1+x^2}.
\]
Такое разложение преобразует новый интеграл в сумму табличных интегралов. Следовательно,
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
—
\frac{1}{2}
\int
\left(
1-\frac{1}{1+x^2}
\right)
dx.
\]
Разделим интеграл:
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
—
\frac{1}{2}\int dx
+
\frac{1}{2}
\int
\frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
Вычислим табличные интегралы:
\[
\int dx=x,
\qquad
\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan(x).
\]
Поэтому
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2}{2}\cdot\arctan(x)
—
\frac{x}{2}
+
\frac{1}{2}\cdot\arctan(x)
+
C.
\]
Объединим слагаемые, содержащие \( \arctan(x) \):
\[
\int x\cdot\arctan(x)\,dx
=
\frac{x^2+1}{2}\cdot\arctan(x)
—
\frac{x}{2}
+
C.
\]
Пример 5. Найти неопределенный интеграл
\[
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx.
\]
В этом случае интегрирование по частям необходимо применить дважды. Обозначим исходный интеграл через \( I \):
\[
I
=
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx.
\]
Во время промежуточных преобразований произвольную постоянную записывать не будем. Добавим её к конечному результату.
В качестве \( u \) возьмём тригонометрическую функцию:
\[
u=\sin(x),
\qquad
du=\cos(x)\,dx.
\]
В качестве \( dv \) возьмём показательную функцию вместе с \( dx \):
\[
dv=e^x\,dx,
\qquad
v=e^x.
\]
После первого применения метода получаем
\[
I
=
e^x\cdot\sin(x)
—
\int e^x\cdot\cos(x)\,dx.
\]
Новый интеграл также вычислим по частям. Обозначим его через \( J \):
\[
J
=
\int e^x\cdot\cos(x)\,dx.
\]
Для интеграла \( J \) выберем
\[
\begin{gathered}
u=\cos(x),
\qquad
du=-\sin(x)\,dx,\\[4pt]
dv=e^x\,dx,
\qquad
v=e^x.
\end{gathered}
\]
Тогда
\[
J
=
e^x\cdot\cos(x)
—
\int e^x\cdot\left(-\sin(x)\right)\,dx.
\]
Минус перед интегралом и знак минус в выражении для \( du \) дают знак плюс:
\[
J
=
e^x\cdot\cos(x)
+
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx.
\]
Последний интеграл совпадает с исходным интегралом \( I \). Поэтому его не нужно вычислять отдельно:
\[
J
=
e^x\cdot\cos(x)+I.
\]
Подставим это выражение в исходное равенство:
\[
I
=
e^x\cdot\sin(x)
—
\left(
e^x\cdot\cos(x)+I
\right).
\]
Раскроем скобки:
\[
I
=
e^x\cdot\sin(x)
—
e^x\cdot\cos(x)
—
I.
\]
Теперь интеграл \( I \) можно рассматривать как неизвестную величину. Перенесём \( -I \) в левую часть:
\[
2\cdot I
=
e^x\cdot\sin(x)
—
e^x\cdot\cos(x).
\]
Вынесем \( e^x \) за скобки:
\[
2\cdot I
=
e^x\cdot
\left(
\sin(x)-\cos(x)
\right).
\]
Разделим обе части равенства на \( 2 \):
\[
I
=
\frac{e^x}{2}\cdot
\left(
\sin(x)-\cos(x)
\right).
\]
Следовательно,
\[
\int e^x\cdot\sin(x)\,dx
=
\frac{e^x}{2}\cdot
\left(
\sin(x)-\cos(x)
\right)
+
C.
\]
Следующий Шаг: Темы для Дальнейшего Изучения
Интегрирование по частям — лишь один из методов вычисления интегралов. Что стоит изучать дальше? Следующие темы помогут разобраться с другими распространёнными типами подынтегральных выражений.
- Интегрирование рациональных дробей: Разложение на простейшие дроби — В статье будет объяснено, как раскладывать рациональные дроби на более простые составляющие и последовательно вычислять полученные интегралы.
- Интегралы от тригонометрических функций: Основные методы — В материале будут рассмотрены способы интегрирования произведений и степеней тригонометрических функций с помощью тождеств и преобразований.
- Интегралы от иррациональных функций: Типичные замены — Статья покажет, как с помощью подходящих подстановок упрощать выражения с корнями и сводить их к известным интегралам.
Интегрирование по Частям: От Блок-Схемы до Программного Кода
Увлекаетесь программированием? Тогда попробуйте реализовать представленный на блок-схеме алгоритм на своём любимом языке. Программа должна вычислить значение найденной первообразной, приближённо определить её производную и сравнить полученный результат с подынтегральной функцией.
Pascal, Python, JavaScript или C++ — выбор за вами. Так вы проверите полученный результат и увидите, как последовательность математических вычислений превращается в программный алгоритм.
