Собственные значения матрицы часто вычисляют последовательно, начиная с наибольшего по модулю. Однако повторное применение степенного метода к той же матрице снова приведёт к уже найденному значению. Метод исчерпывания, также называемый методом дефляции, решает эту проблему с помощью преобразования, после которого найденное собственное значение заменяется нулём.
Собственные Значения Матрицы: Идея Метода Исчерпывания
Пусть задана действительная квадратная матрица \( A \) порядка \( n \):
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.
\]
Предположим, что матрица \( A \) имеет \( n \) линейно независимых собственных векторов, а её собственные значения являются действительными и упорядочены по убыванию модулей:
\[
|\lambda_1|>|\lambda_2|>\dots>|\lambda_n|.
\]
Такое упорядочение позволяет последовательно находить собственные значения с помощью степенного метода. Совокупность всех собственных значений матрицы называют её спектром.
Правые собственные векторы матрицы \( A \) обозначим через
\[
X_1,X_2,\dots,X_n.
\]
Для каждого из них выполняется равенство
\[
A\cdot X_j=\lambda_j\cdot X_j,\qquad j=1,2,\dots,n.
\]
Наибольшее по модулю собственное значение \( \lambda_1 \) и соответствующий ему собственный вектор \( X_1 \) можно найти степенным методом. Если повторно применить этот метод к исходной матрице, он снова будет приближать значение \( \lambda_1 \). Поэтому перед нахождением \( \lambda_2 \) необходимо построить преобразованную матрицу, в спектре которой значение \( \lambda_1 \) будет заменено нулём.
Для несимметричной матрицы наряду с правыми собственными векторами рассматривают левые собственные векторы
\[
Y_1,Y_2,\dots,Y_n.
\]
Они являются собственными векторами транспонированной матрицы \( A^{T} \):
\[
A^{T}\cdot Y_j=\lambda_j\cdot Y_j.
\]
После транспонирования получаем
\[
Y_j^{T}\cdot A=\lambda_j\cdot Y_j^{T}.
\]
Правые и левые собственные векторы нормируют так, чтобы выполнялось условие биортогональности:
\[
Y_i^{T}\cdot X_j=
\begin{cases}
1, & i=j,\\
0, & i\ne j.
\end{cases}
\]
В частности,
\[
Y_1^{T}\cdot X_1=1,
\]
а для остальных правых собственных векторов
\[
Y_1^{T}\cdot X_j=0,\qquad j=2,3,\dots,n.
\]
Эти соотношения позволяют заменить собственное значение \( \lambda_1 \) нулём, не изменяя остальную часть спектра матрицы.
Преобразование Матрицы: Замена Первого Собственного Значения Нулём
Предположим, что собственное значение \( \lambda_1 \), правый собственный вектор \( X_1 \) и левый собственный вектор \( Y_1 \) уже найдены. Построим новую матрицу:
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}.
\]
Матрица
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}
\]
представляет собой часть спектрального разложения, связанную с собственным значением \( \lambda_1 \). Она образуется в результате умножения вектора-столбца на вектор-строку, поэтому её ранг равен единице.
Пусть собственные векторы имеют вид
\[
X_1=
\begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{21}\\
\vdots\\
x_{n1}
\end{pmatrix},
\qquad
Y_1^{T}=
\begin{pmatrix}
y_{11} & y_{21} & \dots & y_{n1}
\end{pmatrix}.
\]
Тогда их произведение равно
\[
X_1\cdot Y_1^{T}=
\begin{pmatrix}
x_{11}\cdot y_{11} & x_{11}\cdot y_{21} & \dots & x_{11}\cdot y_{n1}\\
x_{21}\cdot y_{11} & x_{21}\cdot y_{21} & \dots & x_{21}\cdot y_{n1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{n1}\cdot y_{11} & x_{n1}\cdot y_{21} & \dots & x_{n1}\cdot y_{n1}
\end{pmatrix}.
\]
Элементы преобразованной матрицы \( A_1 \) вычисляют по формуле
\[
a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-\lambda_1\cdot x_{i1}\cdot y_{j1},\qquad i,j=1,2,\dots,n.
\]
Покажем, что после такого преобразования вектору \( X_1 \) будет соответствовать нулевое собственное значение:
\[
A_1\cdot X_1=
\left(A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}\right)\cdot X_1=
A\cdot X_1-\lambda_1\cdot X_1\cdot\left(Y_1^{T}\cdot X_1\right).
\]
Поскольку
\[
A\cdot X_1=\lambda_1\cdot X_1
\]
и
\[
Y_1^{T}\cdot X_1=1,
\]
получаем
\[
A_1\cdot X_1=
\lambda_1\cdot X_1-\lambda_1\cdot X_1\cdot 1=0.
\]
Следовательно,
\[
A_1\cdot X_1=0\cdot X_1.
\]
Таким образом, вектор \( X_1 \) остаётся собственным вектором матрицы \( A_1 \), но теперь ему соответствует нулевое собственное значение.
Рассмотренная формула подходит для общего случая. Если матрица \( A \) является симметричной, её левые и правые собственные векторы совпадают. Кроме того, их можно выбрать ортонормированными:
\[
X_i^{T}\cdot X_j=
\begin{cases}
1, & i=j,\\
0, & i\ne j.
\end{cases}
\]
Поэтому для симметричной матрицы преобразование принимает более простой вид:
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Сохранение Спектра: Почему Другие Собственные Значения Не Изменяются
Теперь проверим, как это преобразование влияет на собственные векторы \( X_2,X_3,\dots,X_n \). Рассмотрим собственный вектор \( X_j \), для которого
\[
j=2,3,\dots,n.
\]
Умножим матрицу \( A_1 \) на этот вектор:
\[
A_1\cdot X_j=
\left(A-\lambda_1\cdot X_1\cdot Y_1^{T}\right)\cdot X_j=
A\cdot X_j-\lambda_1\cdot X_1\cdot\left(Y_1^{T}\cdot X_j\right).
\]
Для вектора \( X_j \) выполняется равенство
\[
A\cdot X_j=\lambda_j\cdot X_j.
\]
В то же время условие биортогональности даёт
\[
Y_1^{T}\cdot X_j=0.
\]
Поэтому
\[
A_1\cdot X_j=
\lambda_j\cdot X_j-\lambda_1\cdot X_1\cdot 0=
\lambda_j\cdot X_j.
\]
Следовательно, собственные значения
\[
\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n
\]
и соответствующие им собственные векторы остаются неизменными. Спектр матрицы \( A_1 \) имеет вид
\[
0,\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n.
\]
Таким образом, преобразование изменяет только первое собственное значение, тогда как остальная часть спектра матрицы сохраняется.
Последовательное Преобразование: Переход к Следующим Собственным Значениям
Поскольку собственные значения упорядочены по убыванию модулей, наибольшим по модулю собственным значением матрицы \( A_1 \) является \( \lambda_2 \). Поэтому применение степенного метода к преобразованной матрице позволяет определить второе по модулю собственное значение исходной матрицы и соответствующий ему собственный вектор.
После нахождения \( \lambda_2 \) строят следующую матрицу:
\[
A_2=A_1-\lambda_2\cdot X_2\cdot Y_2^{T}.
\]
Её спектр имеет вид
\[
0,0,\lambda_3,\dots,\lambda_n.
\]
Наибольшим по модулю собственным значением матрицы \( A_2 \) становится \( \lambda_3 \). После его нахождения можно построить матрицу
\[
A_3=A_2-\lambda_3\cdot X_3\cdot Y_3^{T}
\]
и продолжить вычисления.
В общем случае после последовательной замены первых \( k \) собственных значений нулями получают матрицу
\[
A_k=A-\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\cdot X_i\cdot Y_i^{T}.
\]
Её ненулевыми собственными значениями остаются
\[
\lambda_{k+1},\lambda_{k+2},\dots,\lambda_n.
\]
Таким образом, метод исчерпывания позволяет последовательно преобразовывать матрицу так, чтобы уже найденные собственные значения заменялись нулями. После каждого такого преобразования к полученной матрице применяют степенной метод для нахождения следующего по модулю собственного значения.
Практическая Часть: Собственные Значения Матрицы Методом Исчерпывания
Теперь рассмотрим, как метод исчерпывания работает для матриц разных порядков. В каждом примере построим матрицу, в спектре которой наибольшее по модулю собственное значение заменено нулём, а затем применим к ней степенной метод с точностью \( \varepsilon=0.1 \).
Пример 1. Найти второе по модулю собственное значение матрицы методом исчерпывания:
\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для исходной матрицы наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий нормированный собственный вектор равны
\[
\lambda_1\approx4.414,
\qquad
X_1\approx
\begin{pmatrix}
0.924\\
0.383
\end{pmatrix}.
\]
Поскольку заданная матрица является симметричной, для построения \( A_1 \) используем формулу
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Транспонированный собственный вектор имеет вид
\[
X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.924 & 0.383
\end{pmatrix}.
\]
Умножим вектор-столбец \( X_1 \) на вектор-строку \( X_1^{T} \):
\[
X_1\cdot X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.924\\
0.383
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.924 & 0.383
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.854 & 0.354\\
0.354 & 0.146
\end{pmatrix}.
\]
Умножим полученную матрицу на \( \lambda_1 \):
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx
4.414\cdot
\begin{pmatrix}
0.854 & 0.354\\
0.354 & 0.146
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3.768 & 1.561\\
1.561 & 0.646
\end{pmatrix}.
\]
Вычтем полученную спектральную составляющую из исходной матрицы:
\[
A_1\approx
\begin{pmatrix}
4 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}
—
\begin{pmatrix}
3.768 & 1.561\\
1.561 & 0.646
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.232 & -0.561\\
-0.561 & 1.354
\end{pmatrix}.
\]
К матрице \( A_1 \) применим степенной метод. Выберем начальный нормированный вектор
\[
V^{(0)}=
\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
0.707\\
0.707
\end{pmatrix}.
\]
На первой итерации умножим матрицу \( A_1 \) на вектор \( V^{(0)} \):
\[
Z^{(1)}=
A_1\cdot V^{(0)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.232 & -0.561\\
-0.561 & 1.354
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.707\\
0.707
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.232\\
0.561
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим норму полученного вектора:
\[
\left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.232)^2+0.561^2}
\approx0.607.
\]
Нормируем вектор:
\[
V^{(1)}=
\frac{1}{0.607}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.232\\
0.561
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.383\\
0.924
\end{pmatrix}.
\]
Первое приближение второго по модулю собственного значения найдём с помощью отношения Рэлея:
\[
\lambda_2^{(1)}=
\frac{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(1)}}
{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot V^{(1)}}
\approx1.586.
\]
Выполним вторую итерацию:
\[
Z^{(2)}=
A_1\cdot V^{(1)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.232 & -0.561\\
-0.561 & 1.354
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.383\\
0.924
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.607\\
1.465
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим норму:
\[
\left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.607)^2+1.465^2}
\approx1.586.
\]
Нормируем вектор:
\[
V^{(2)}=
\frac{1}{1.586}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.607\\
1.465
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.383\\
0.924
\end{pmatrix}.
\]
Новое приближение равно
\[
\lambda_2^{(2)}=
\frac{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(2)}}
{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot V^{(2)}}
\approx1.586.
\]
Проверим условие завершения:
\[
\left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right|
=
|1.586-1.586|
=
0
\leq0.1.
\]
Необходимая точность достигнута. Следовательно,
\[
\lambda_2\approx1.586.
\]
Пример 2. Найти второе по модулю собственное значение матрицы методом исчерпывания:
\[
A=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для исходной матрицы наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий нормированный собственный вектор равны
\[
\lambda_1\approx5.461,
\qquad
X_1\approx
\begin{pmatrix}
0.902\\
0.415\\
0.12
\end{pmatrix}.
\]
Поскольку заданная матрица является симметричной, построим преобразованную матрицу по формуле
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Транспонированный собственный вектор имеет вид
\[
X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.902 & 0.415 & 0.12
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим внешнее произведение:
\[
X_1\cdot X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.902\\
0.415\\
0.12
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.902 & 0.415 & 0.12
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.813 & 0.374 & 0.108\\
0.374 & 0.172 & 0.05\\
0.108 & 0.05 & 0.014
\end{pmatrix}.
\]
Умножим полученную матрицу на \( \lambda_1 \):
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx
5.461\cdot
\begin{pmatrix}
0.813 & 0.374 & 0.108\\
0.374 & 0.172 & 0.05\\
0.108 & 0.05 & 0.014
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4.44 & 2.045 & 0.591\\
2.045 & 0.942 & 0.272\\
0.591 & 0.272 & 0.079
\end{pmatrix}.
\]
Вычтем спектральную составляющую из исходной матрицы:
\[
A_1\approx
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 0\\
1 & 3 & 1\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
—
\begin{pmatrix}
4.44 & 2.045 & 0.591\\
2.045 & 0.942 & 0.272\\
0.591 & 0.272 & 0.079
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.56 & -1.045 & -0.591\\
-1.045 & 2.058 & 0.728\\
-0.591 & 0.728 & 1.921
\end{pmatrix}.
\]
Выберем начальный нормированный вектор
\[
V^{(0)}=
\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
0.577\\
0.577\\
0.577
\end{pmatrix}.
\]
На первой итерации получаем
\[
Z^{(1)}=
A_1\cdot V^{(0)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.56 & -1.045 & -0.591\\
-1.045 & 2.058 & 0.728\\
-0.591 & 0.728 & 1.921
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.577\\
0.577\\
0.577
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.621\\
1.005\\
1.188
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим норму:
\[
\left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.621)^2+1.005^2+1.188^2}
\approx1.676.
\]
Нормируем вектор:
\[
V^{(1)}=
\frac{1}{1.676}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.621\\
1.005\\
1.188
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.371\\
0.6\\
0.709
\end{pmatrix}.
\]
Первое приближение второго по модулю собственного значения равно
\[
\lambda_2^{(1)}=
\frac{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(1)}}
{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot V^{(1)}}
\approx3.178.
\]
На второй итерации получаем
\[
Z^{(2)}=
A_1\cdot V^{(1)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.56 & -1.045 & -0.591\\
-1.045 & 2.058 & 0.728\\
-0.591 & 0.728 & 1.921
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.371\\
0.6\\
0.709
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1.253\\
2.138\\
2.018
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим норму:
\[
\left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-1.253)^2+2.138^2+2.018^2}
\approx3.196.
\]
Нормируем вектор:
\[
V^{(2)}=
\frac{1}{3.196}\cdot
\begin{pmatrix}
-1.253\\
2.138\\
2.018
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.392\\
0.669\\
0.631
\end{pmatrix}.
\]
Второе приближение равно
\[
\lambda_2^{(2)}=
\frac{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(2)}}
{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot V^{(2)}}
\approx3.229.
\]
Проверим точность:
\[
\left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right|
=
|3.229-3.178|
=
0.051
\leq0.1.
\]
Необходимая точность достигнута. Следовательно,
\[
\lambda_2\approx3.229.
\]
Пример 3. Найти второе по модулю собственное значение матрицы методом исчерпывания:
\[
A=
\begin{pmatrix}
6 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
Для исходной матрицы наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий нормированный собственный вектор равны
\[
\lambda_1\approx6.464,
\qquad
X_1\approx
\begin{pmatrix}
0.899\\
0.417\\
0.129\\
0.029
\end{pmatrix}.
\]
Поскольку заданная матрица является симметричной, построим преобразованную матрицу по формуле
\[
A_1=A-\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}.
\]
Транспонированный собственный вектор имеет вид
\[
X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.899 & 0.417 & 0.129 & 0.029
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим внешнее произведение:
\[
X_1\cdot X_1^{T}\approx
\begin{pmatrix}
0.899\\
0.417\\
0.129\\
0.029
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.899 & 0.417 & 0.129 & 0.029
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.809 & 0.375 & 0.116 & 0.026\\
0.375 & 0.174 & 0.054 & 0.012\\
0.116 & 0.054 & 0.017 & 0.004\\
0.026 & 0.012 & 0.004 & 0.001
\end{pmatrix}.
\]
Умножим полученную матрицу на \( \lambda_1 \):
\[
\lambda_1\cdot X_1\cdot X_1^{T}\approx
6.464\cdot
\begin{pmatrix}
0.809 & 0.375 & 0.116 & 0.026\\
0.375 & 0.174 & 0.054 & 0.012\\
0.116 & 0.054 & 0.017 & 0.004\\
0.026 & 0.012 & 0.004 & 0.001
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5.226 & 2.425 & 0.748 & 0.168\\
2.425 & 1.125 & 0.347 & 0.078\\
0.748 & 0.347 & 0.107 & 0.024\\
0.168 & 0.078 & 0.024 & 0.005
\end{pmatrix}.
\]
Вычтем эту спектральную составляющую из исходной матрицы:
\[
A_1\approx
\begin{pmatrix}
6 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 3 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
—
\begin{pmatrix}
5.226 & 2.425 & 0.748 & 0.168\\
2.425 & 1.125 & 0.347 & 0.078\\
0.748 & 0.347 & 0.107 & 0.024\\
0.168 & 0.078 & 0.024 & 0.005
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}.
\]
Выберем начальный нормированный вектор
\[
V^{(0)}=
\frac{1}{2}\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.5\\
0.5\\
0.5\\
0.5
\end{pmatrix}.
\]
На первой итерации получаем
\[
Z^{(1)}=
A_1\cdot V^{(0)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0.5\\
0.5\\
0.5\\
0.5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-0.784\\
1.013\\
1.887\\
1.363
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим норму:
\[
\left\lVert Z^{(1)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-0.784)^2+1.013^2+1.887^2+1.363^2}
\approx2.656.
\]
Нормируем вектор:
\[
V^{(1)}=
\frac{1}{2.656}\cdot
\begin{pmatrix}
-0.784\\
1.013\\
1.887\\
1.363
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.295\\
0.381\\
0.71\\
0.513
\end{pmatrix}.
\]
Первое приближение второго по модулю собственного значения равно
\[
\lambda_2^{(1)}=
\frac{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(1)}}
{\left(V^{(1)}\right)^{T}\cdot V^{(1)}}
\approx4.189.
\]
На второй итерации вычисляем
\[
Z^{(2)}=
A_1\cdot V^{(1)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.295\\
0.381\\
0.71\\
0.513
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1.389\\
1.94\\
3.025\\
1.736
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим норму:
\[
\left\lVert Z^{(2)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-1.389)^2+1.94^2+3.025^2+1.736^2}
\approx4.226.
\]
Нормируем вектор:
\[
V^{(2)}=
\frac{1}{4.226}\cdot
\begin{pmatrix}
-1.389\\
1.94\\
3.025\\
1.736
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.329\\
0.459\\
0.716\\
0.411
\end{pmatrix}.
\]
Второе приближение равно
\[
\lambda_2^{(2)}=
\frac{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(2)}}
{\left(V^{(2)}\right)^{T}\cdot V^{(2)}}
\approx4.31.
\]
Проверим точность:
\[
\left|\lambda_2^{(2)}-\lambda_2^{(1)}\right|
=
|4.31-4.189|
=
0.121
>
0.1.
\]
Необходимая точность ещё не достигнута, поэтому выполним третью итерацию:
\[
Z^{(3)}=
A_1\cdot V^{(2)}
\approx
\begin{pmatrix}
0.774 & -1.425 & -0.748 & -0.168\\
-1.425 & 2.875 & 0.653 & -0.078\\
-0.748 & 0.653 & 2.893 & 0.976\\
-0.168 & -0.078 & 0.976 & 1.995
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-0.329\\
0.459\\
0.716\\
0.411
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1.513\\
2.223\\
3.017\\
1.538
\end{pmatrix}.
\]
Вычислим норму:
\[
\left\lVert Z^{(3)}\right\rVert_2
\approx
\sqrt{(-1.513)^2+2.223^2+3.017^2+1.538^2}
\approx4.325.
\]
Нормируем вектор:
\[
V^{(3)}=
\frac{1}{4.325}\cdot
\begin{pmatrix}
-1.513\\
2.223\\
3.017\\
1.538
\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
-0.35\\
0.514\\
0.698\\
0.356
\end{pmatrix}.
\]
Третье приближение равно
\[
\lambda_2^{(3)}=
\frac{\left(V^{(3)}\right)^{T}\cdot A_1\cdot V^{(3)}}
{\left(V^{(3)}\right)^{T}\cdot V^{(3)}}
\approx4.359.
\]
Проверим критерий завершения:
\[
\left|\lambda_2^{(3)}-\lambda_2^{(2)}\right|
=
|4.359-4.31|
=
0.049
\leq0.1.
\]
Необходимая точность достигнута. Следовательно,
\[
\lambda_2\approx4.359.
\]
Что Изучать Дальше: Другие Методы Вычисления Спектра
Метод исчерпывания — лишь один из способов исследования спектра матрицы. Далее стоит сравнить его с другими подходами и посмотреть, как в каждом из них организованы вычисления.
- Метод вращений: Как диагонализировать симметричную матрицу — Статья объяснит, как последовательные вращения обнуляют внедиагональные элементы и позволяют приближённо находить собственные значения и собственные векторы.
- Метод LU-разложения: Как приближённо вычислять спектр матрицы — Материал покажет, как повторные LU-разложения преобразуют матрицу и постепенно приближают её диагональные элементы к собственным значениям.
- Метод Фаддеева: Как построить характеристический многочлен — В статье будет рассмотрено вычисление коэффициентов характеристического многочлена по следам степеней матрицы и нахождение его корней.
Собственные Значения Матрицы: От Блок-Схемы к Программному Коду
Увлекаетесь программированием? Попробуйте реализовать алгоритм, представленный на блок-схеме, на своём любимом языке программирования и создать программу, которая методом исчерпывания находит второе по модулю собственное значение матрицы второго порядка. Такая реализация поможет лучше понять построение преобразованной матрицы, нормирование векторов, проверку точности и организацию итерационных вычислений.
