Вторая интерполяционная формула Ньютона позволяет приближённо вычислять значения функции по табличным данным, заданным в равноотстоящих узлах. Её обычно применяют, когда точка интерполяции расположена вблизи конца таблицы. Рассмотрим построение интерполяционного полинома, переход к удобной для вычислений формуле и её применение при пошаговом решении примеров.
Построение От Последнего Узла: Полином и Обобщённая Степень
Пусть для функции \( y=f(x) \) известны значения
\[ y_i=f(x_i), \qquad i=0,1,2,\dots,n, \]
заданные в узлах интерполяции
\[ x_i=x_0+i\cdot h, \]
где \( h>0 \) — постоянный шаг между соседними узлами, расположенными в порядке возрастания.
Для \( n+1 \) различных узлов существует единственный полином \( P_n(x) \), степень которого не превышает \( n \) и который удовлетворяет условиям интерполяции
\[ P_n(x_i)=y_i, \qquad i=0,1,2,\dots,n. \]
В узлах интерполяции значения полинома точно совпадают с заданными значениями функции. В других точках его используют для приближённого вычисления значений функции.
Интерполяционный полином по второй формуле Ньютона строят, начиная с последнего узла \( x_n \). Поэтому будем искать его в виде
\[ P_n(x)=a_0+a_1\cdot(x-x_n)+a_2\cdot(x-x_n)\cdot(x-x_{n-1})+\dots+a_n\cdot(x-x_n)\cdot(x-x_{n-1})\cdot\dots\cdot(x-x_1), \]
где \( a_0,a_1,\dots,a_n \) — неизвестные коэффициенты.
Каждое следующее слагаемое содержит ещё один множитель, связанный с предыдущим узлом таблицы. Чтобы сократить такую запись, введём обобщённую степень:
\[ \begin{gathered} (x-x_n)^{[0]}=1,\\[4pt] (x-x_n)^{[k]}=(x-x_n)\cdot(x-x_{n-1})\cdot\dots\cdot(x-x_{n-k+1}), \qquad k\geq1. \end{gathered} \]
Во второй формуле Ньютона обобщённая степень образуется от последнего узла таблицы в направлении уменьшения индексов. Например,
\[ \begin{gathered} (x-x_n)^{[1]}=x-x_n,\\[4pt] (x-x_n)^{[2]}=(x-x_n)\cdot(x-x_{n-1}),\\[4pt] (x-x_n)^{[3]}=(x-x_n)\cdot(x-x_{n-1})\cdot(x-x_{n-2}). \end{gathered} \]
Используя это обозначение, интерполяционный полином можно записать более компактно:
\[ P_n(x)=a_0+a_1\cdot(x-x_n)^{[1]}+a_2\cdot(x-x_n)^{[2]}+\dots+a_n\cdot(x-x_n)^{[n]}. \]
Обобщённую степень не следует путать с обычной. Например,
\[ (x-x_n)^{[2]}=(x-x_n)\cdot(x-x_{n-1}), \]
тогда как
\[ (x-x_n)^2=(x-x_n)\cdot(x-x_n). \]
В первом случае произведение содержит множители, связанные с разными узлами интерполяции. Во втором случае один и тот же множитель повторяется дважды. Поэтому эти выражения имеют разную структуру и, как правило, разные значения.
Обратные Конечные Разности: Формирование Нижней Диагонали Таблицы
Поскольку построение полинома начинается с последнего узла, его коэффициенты удобно выражать через обратные конечные разности.
Для произвольной функции \( g(x) \) обратную конечную разность первого порядка определяют следующим образом:
\[ \nabla g(x)=g(x)-g(x-h). \]
Если \( x=x_i \), то
\[ x_i-h=x_{i-1}. \]
Следовательно, обратная конечная разность показывает изменение значения функции при переходе от предыдущего узла к текущему.
Для табличных значений функции разность первого порядка имеет вид
\[ \nabla y_i=y_i-y_{i-1}. \]
В частности,
\[ \begin{gathered} \nabla y_n=y_n-y_{n-1},\\[4pt] \nabla y_{n-1}=y_{n-1}-y_{n-2}. \end{gathered} \]
Обратную разность второго порядка вычисляют по разностям первого порядка:
\[ \nabla^2y_i=\nabla y_i-\nabla y_{i-1}. \]
Например,
\[ \nabla^2y_n=\nabla y_n-\nabla y_{n-1}. \]
В общем случае обратную конечную разность \( k \)-го порядка определяют рекуррентно:
\[ \nabla^ky_i=\nabla^{k-1}y_i-\nabla^{k-1}y_{i-1}. \]
Разности каждого следующего порядка вычисляют по двум соседним разностям предыдущего порядка. Для \( n+1 \) табличных значений можно вычислить конечные разности до \( n \)-го порядка включительно.
Во второй формуле Ньютона используют последнее значение функции и обратные разности всех порядков, вычисленные в последнем узле:
\[ y_n,\qquad \nabla y_n,\qquad \nabla^2y_n,\qquad \dots,\qquad \nabla^ny_n. \]
Обратные разности связаны с прямыми конечными разностями. Для первого порядка имеем
\[ \nabla y_n=y_n-y_{n-1}=\Delta y_{n-1}. \]
Для второго порядка выполняется равенство
\[ \nabla^2y_n=\Delta^2y_{n-2}. \]
В общем случае
\[ \nabla^ky_n=\Delta^ky_{n-k}. \]
Поэтому строить отдельную таблицу обратных разностей необязательно. Можно сформировать обычную таблицу прямых конечных разностей и выбрать из неё значения
\[ \Delta y_{n-1},\qquad \Delta^2y_{n-2},\qquad \Delta^3y_{n-3},\qquad \dots,\qquad \Delta^ny_0. \]
Эти элементы образуют нижнюю диагональ разностной таблицы и соответствуют обратным разностям, вычисленным в последнем узле.
Вторая Интерполяционная Формула Ньютона: Последовательное Определение Коэффициентов
Сначала найдём коэффициент \( a_0 \). Для этого подставим \( x=x_n \) в полином. Все слагаемые, кроме первого, содержат множитель \( x-x_n \), поэтому равны нулю:
\[ P_n(x_n)=a_0. \]
По условию интерполяции
\[ P_n(x_n)=y_n. \]
Следовательно,
\[ a_0=y_n. \]
Для нахождения остальных коэффициентов применим оператор обратной конечной разности к полиному:
\[ \nabla P_n(x)=P_n(x)-P_n(x-h). \]
Для введённой обобщённой степени выполняется соотношение
\[ \nabla(x-x_n)^{[k]}=k\cdot h\cdot(x-x_n)^{[k-1]}. \]
Каждое вычисление обратной разности уменьшает порядок обобщённой степени на единицу и приводит к появлению соответствующего числового множителя и множителя \( h \).
После вычисления первой обратной разности и подстановки \( x=x_n \) получаем
\[ \nabla P_n(x_n)=a_1\cdot h. \]
С другой стороны,
\[ \nabla P_n(x_n)=P_n(x_n)-P_n(x_n-h). \]
Поскольку
\[ x_{n-1}=x_n-h, \]
то
\[ \nabla P_n(x_n)=P_n(x_n)-P_n(x_{n-1}). \]
В узлах интерполяции значения полинома совпадают с табличными значениями функции. Поэтому
\[ \nabla P_n(x_n)=y_n-y_{n-1}=\nabla y_n. \]
Отсюда
\[ a_1=\frac{\nabla y_n}{h}. \]
Для определения коэффициента \( a_2 \) вычислим обратную конечную разность второго порядка. После подстановки \( x=x_n \) получим
\[ \nabla^2P_n(x_n)=2!\cdot a_2\cdot h^2. \]
Поскольку
\[ \nabla^2P_n(x_n)=\nabla^2y_n, \]
то
\[ a_2=\frac{\nabla^2y_n}{2!\cdot h^2}. \]
Продолжая этот процесс, для разности \( k \)-го порядка получим
\[ \nabla^kP_n(x_n)=k!\cdot a_k\cdot h^k. \]
Следовательно,
\[ a_k=\frac{\nabla^ky_n}{k!\cdot h^k}, \qquad k=1,2,\dots,n. \]
Подставив найденные коэффициенты в полином, получим
\[ P_n(x)=y_n+\frac{\nabla y_n}{1!\cdot h}\cdot(x-x_n)^{[1]}+\frac{\nabla^2y_n}{2!\cdot h^2}\cdot(x-x_n)^{[2]}+\dots+\frac{\nabla^ny_n}{n!\cdot h^n}\cdot(x-x_n)^{[n]}. \]
Используя связь между обратными и прямыми разностями, этот полином можно записать следующим образом:
\[ P_n(x)=y_n+\frac{\Delta y_{n-1}}{1!\cdot h}\cdot(x-x_n)^{[1]}+\frac{\Delta^2y_{n-2}}{2!\cdot h^2}\cdot(x-x_n)^{[2]}+\dots+\frac{\Delta^ny_0}{n!\cdot h^n}\cdot(x-x_n)^{[n]}. \]
Полученное выражение является промежуточной записью интерполяционного полинома через обобщённые степени. Для непосредственных вычислений перейдём к его записи через нормированную переменную.
Нормированная Переменная: Переход к Практической Записи Формулы
Введём переменную
\[ q=\frac{x-x_n}{h}. \]
Она показывает смещение точки \( x \) относительно последнего узла \( x_n \), выраженное в единицах шага \( h \). Отсюда
\[ x-x_n=q\cdot h. \]
Поскольку
\[ x_{n-j}=x_n-j\cdot h, \]
то
\[ x-x_{n-j}=x-x_n+j\cdot h=q\cdot h+j\cdot h=(q+j)\cdot h. \]
Таким образом,
\[ \begin{gathered} x-x_{n-1}=(q+1)\cdot h,\\[4pt] x-x_{n-2}=(q+2)\cdot h, \end{gathered} \]
а в общем случае
\[ x-x_{n-j}=(q+j)\cdot h. \]
Поэтому обобщённую степень можно представить в виде
\[ (x-x_n)^{[k]}=h^k\cdot q\cdot(q+1)\cdot(q+2)\cdot\dots\cdot(q+k-1). \]
Рассмотрим это преобразование для слагаемого второго порядка:
\[ \frac{\nabla^2y_n}{2!\cdot h^2}\cdot h^2\cdot q\cdot(q+1)=\frac{q\cdot(q+1)}{2!}\cdot\nabla^2y_n. \]
Множитель \( h^2 \), возникающий в обобщённой степени, сокращается с таким же множителем в знаменателе коэффициента. Аналогичное сокращение происходит в каждом следующем слагаемом.
В результате получаем вторую интерполяционную формулу Ньютона:
\[ P_n(x)=y_n+q\cdot\nabla y_n+\frac{q\cdot(q+1)}{2!}\cdot\nabla^2y_n+\frac{q\cdot(q+1)\cdot(q+2)}{3!}\cdot\nabla^3y_n+\dots+\frac{q\cdot(q+1)\cdot(q+2)\cdot\dots\cdot(q+n-1)}{n!}\cdot\nabla^ny_n. \]
Через прямые конечные разности эта формула имеет вид
\[ \begin{gathered} P_n(x)=y_n+q\cdot\Delta y_{n-1} +\frac{q\cdot(q+1)}{2!}\cdot\Delta^2 y_{n-2} +\frac{q\cdot(q+1)\cdot(q+2)}{3!}\cdot\Delta^3 y_{n-3}+\cdots\\[4pt] +\frac{q\cdot(q+1)\cdot(q+2)\cdot\cdots\cdot(q+n-1)}{n!}\cdot\Delta^n y_0. \end{gathered} \]
Если точка \( x \) расположена между двумя последними узлами \( x_{n-1} \) и \( x_n \), то
\[ -1\leq q\leq0. \]
Например, значение \( q=-0.5 \) означает, что точка \( x \) расположена левее \( x_n \) на расстоянии половины шага.
Вторую интерполяционную формулу Ньютона обычно применяют, когда точка \( x \) расположена вблизи последнего узла \( x_n \). В этом случае значение \( |q| \) невелико, а множители, входящие в формулу, имеют удобный для вычислений вид.
Если учитывать все разности до \( n \)-го порядка, первая и вторая формулы Ньютона представляют собой разные формы записи одного и того же интерполяционного полинома. Различие заключается в точке, с которой начинают его построение, и в порядке использования табличных разностей. Именно поэтому вторую интерполяционную формулу Ньютона также называют обратной формулой Ньютона, или формулой Ньютона назад.
Вторая Интерполяционная Формула Ньютона: Пошаговое Решение Примеров
Рассмотрим применение полученной формулы к таблицам с разным количеством равноотстоящих узлов. Последовательно вычислим конечные разности, определим нормированную переменную и найдём приближённые значения функции.
Пример 1. По приведённым табличным значениям функции найти приближённое значение \( f(2.5) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 2 \) | \( 4 \) |
| \( 2 \) | \( 3 \) | \( 9 \) |
Узлы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Шаг интерполяции равен
\[ h=x_1-x_0=2-1=1. \]
Вычислим конечные разности первого порядка:
\[ \Delta y_0=y_1-y_0=4-1=3, \qquad \Delta y_1=y_2-y_1=9-4=5. \]
Найдём конечную разность второго порядка:
\[ \Delta^2y_0=\Delta y_1-\Delta y_0=5-3=2. \]
Полученные значения представим в таблице конечных разностей.
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2y_i \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( 2 \) |
| \( 1 \) | \( 2 \) | \( 4 \) | \( 5 \) | — |
| \( 2 \) | \( 3 \) | \( 9 \) | — | — |
Вычислим значение нормированной переменной относительно последнего узла \( x_2=3 \):
\[ q=\frac{x-x_2}{h}=\frac{2.5-3}{1}=-0.5. \]
Для трёх узлов вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид
\[ P_2(x)=y_2+q\cdot\Delta y_1+\frac{q\cdot(q+1)}{2!}\cdot\Delta^2y_0. \]
Из нижней диагонали таблицы берём значения
\[ y_2=9, \qquad \Delta y_1=5, \qquad \Delta^2y_0=2. \]
Подставим их в формулу:
\[ P_2(2.5)=9-0.5\cdot5+\frac{(-0.5)\cdot(-0.5+1)}{2!}\cdot2. \]
Выполним вычисления:
\[ P_2(2.5)=9-2.5-0.25=6.25. \]
Следовательно,
\[ f(2.5)\approx6.25. \]
Пример 2. По приведённым табличным значениям функции найти приближённое значение \( f(2.3) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 5 \) |
| \( 1 \) | \( 1.5 \) | \( 8.375 \) |
| \( 2 \) | \( 2 \) | \( 4 \) |
| \( 3 \) | \( 2.5 \) | \( 22.625 \) |
Шаг между соседними узлами равен
\[ h=x_1-x_0=1.5-1=0.5. \]
Последовательно вычислим конечные разности до третьего порядка:
\[ \begin{gathered} \Delta y_0=8.375-5=3.375, \qquad \Delta y_1=14-8.375=5.625, \qquad \Delta y_2=22.625-14=8.625,\\[4pt] \Delta^2y_0=5.625-3.375=2.25, \qquad \Delta^2y_1=8.625-5.625=3,\\[4pt] \Delta^3y_0=3-2.25=0.75. \end{gathered} \]
Запишем результаты в таблице.
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2y_i \) | \( \Delta^3y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 5 \) | \( 3.375 \) | \( 2.25 \) | \( 0.75 \) |
| \( 1 \) | \( 1.5 \) | \( 8.375 \) | \( 5.625 \) | \( 3 \) | — |
| \( 2 \) | \( 2 \) | \( 14 \) | \( 8.625 \) | — | — |
| \( 3 \) | \( 2.5 \) | \( 22.625 \) | — | — | — |
Последним узлом является \( x_3=2.5 \). Вычислим значение \( q \):
\[ q=\frac{x-x_3}{h}=\frac{2.3-2.5}{0.5}=-0.4. \]
Для четырёх узлов используем формулу
\[ P_3(x)=y_3+q\cdot\Delta y_2+\frac{q\cdot(q+1)}{2!}\cdot\Delta^2y_1+\frac{q\cdot(q+1)\cdot(q+2)}{3!}\cdot\Delta^3y_0. \]
Для подстановки в формулу используем
\[ y_3=22.625, \qquad \Delta y_2=8.625, \qquad \Delta^2y_1=3, \qquad \Delta^3y_0=0.75. \]
Подставим найденные значения:
\[ P_3(2.3)=22.625-0.4\cdot8.625+\frac{(-0.4)\cdot(-0.4+1)}{2!}\cdot3+\frac{(-0.4)\cdot(-0.4+1)\cdot(-0.4+2)}{3!}\cdot0.75. \]
Вычислим отдельные слагаемые:
\[ \begin{gathered} -0.4\cdot8.625=-3.45,\\[4pt] \frac{(-0.4)\cdot0.6}{2!}\cdot3=-0.36,\\[4pt] \frac{(-0.4)\cdot0.6\cdot1.6}{3!}\cdot0.75=-0.048. \end{gathered} \]
Тогда
\[ P_3(2.3)=22.625-3.45-0.36-0.048=18.767. \]
Следовательно,
\[ f(2.3)\approx18.767. \]
Пример 3. По приведённым табличным значениям функции найти приближённое значение \( f(7.2) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 2 \) |
| \( 1 \) | \( 2 \) | \( 2 \) |
| \( 2 \) | \( 4 \) | \( 12 \) |
| \( 3 \) | \( 6 \) | \( 68 \) |
| \( 4 \) | \( 8 \) | \( 230 \) |
Шаг интерполяции равен
\[ h=x_1-x_0=2-0=2. \]
По табличным значениям последовательно вычислим конечные разности до четвёртого порядка:
\[ \begin{gathered} \Delta y_0=2-2=0, \qquad \Delta y_1=12-2=10, \qquad \Delta y_2=68-12=56, \qquad \Delta y_3=230-68=162,\\[4pt] \Delta^2y_0=10-0=10, \qquad \Delta^2y_1=56-10=46, \qquad \Delta^2y_2=162-56=106,\\[4pt] \Delta^3y_0=46-10=36, \qquad \Delta^3y_1=106-46=60,\\[4pt] \Delta^4y_0=60-36=24. \end{gathered} \]
Полученные результаты представим в таблице.
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2y_i \) | \( \Delta^3y_i \) | \( \Delta^4y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 0 \) | \( 10 \) | \( 36 \) | \( 24 \) |
| \( 1 \) | \( 2 \) | \( 2 \) | \( 10 \) | \( 46 \) | \( 60 \) | — |
| \( 2 \) | \( 4 \) | \( 12 \) | \( 56 \) | \( 106 \) | — | — |
| \( 3 \) | \( 6 \) | \( 68 \) | \( 162 \) | — | — | — |
| \( 4 \) | \( 8 \) | \( 230 \) | — | — | — | — |
Последним узлом является \( x_4=8 \). Найдём значение \( q \):
\[ q=\frac{x-x_4}{h}=\frac{7.2-8}{2}=-0.4. \]
Для пяти узлов вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид
\[ P_4(x)=y_4+q\cdot\Delta y_3+\frac{q\cdot(q+1)}{2!}\cdot\Delta^2y_2+\frac{q\cdot(q+1)\cdot(q+2)}{3!}\cdot\Delta^3y_1+\frac{q\cdot(q+1)\cdot(q+2)\cdot(q+3)}{4!}\cdot\Delta^4y_0. \]
Для подстановки в формулу используем
\[ y_4=230, \qquad \Delta y_3=162, \qquad \Delta^2y_2=106, \qquad \Delta^3y_1=60, \qquad \Delta^4y_0=24. \]
Подставим найденные значения:
\[ \begin{gathered} P_4(7.2)=230-0.4\cdot162+\frac{(-0.4)\cdot(-0.4+1)}{2!}\cdot106+\frac{(-0.4)\cdot(-0.4+1)\cdot(-0.4+2)}{3!}\cdot60+\\[4pt] +\frac{(-0.4)\cdot(-0.4+1)\cdot(-0.4+2)\cdot(-0.4+3)}{4!}\cdot24. \end{gathered} \]
Вычислим отдельные слагаемые:
\[ \begin{gathered} -0.4\cdot162=-64.8,\\[4pt] \frac{(-0.4)\cdot0.6}{2!}\cdot106=-12.72,\\[4pt] \frac{(-0.4)\cdot0.6\cdot1.6}{3!}\cdot60=-3.84,\\[4pt] \frac{(-0.4)\cdot0.6\cdot1.6\cdot2.6}{4!}\cdot24\approx-0.998. \end{gathered} \]
Тогда
\[ P_4(7.2)\approx230-64.8-12.72-3.84-0.998=147.642. \]
Следовательно,
\[ f(7.2)\approx147.642. \]
Что Изучать Дальше: Темы Для Продолжения
Вы уже знаете, как строить полином Ньютона, начиная с последнего узла таблицы, и находить приближённые значения функции. Теперь стоит познакомиться с другими способами обработки табличных данных и сравнить их возможности.
- Интерполяционная формула Лагранжа: Вычисления для неравноотстоящих узлов — В статье рассмотрим построение полинома Лагранжа для неравноотстоящих узлов и пошаговое вычисление значения функции.
- Метод наименьших квадратов: Среднеквадратичное приближение функций — Вы узнаете, как подобрать функцию, которая наилучшим образом описывает набор данных, минимизируя отклонения между табличными и приближёнными значениями.
- Линейная интерполяция: Приближение таблично заданной функции — Разберём простой способ нахождения промежуточных значений по двум соседним узлам и выясним, когда он даёт точный результат.
Вторая Интерполяционная Формула Ньютона: От Блок-Схемы к Программному Коду
Увлекаетесь программированием? Тогда попробуйте реализовать алгоритм, изображённый на блок-схеме, на своём любимом языке программирования. Программа должна сформировать таблицу конечных разностей, вычислить нормированную переменную относительно последнего узла и найти приближённое значение функции. Pascal, Python, JavaScript или C++ — выбор за вами. Так вы закрепите знания о второй формуле Ньютона и увидите, как последовательность математических вычислений превращается в программный код.
