Производная функции заданной параметрически нужна тогда, когда зависимость между двумя переменными задана не напрямую, а через параметр. Чаще всего этот параметр обозначают буквой \( t \).
В таком случае мы работаем не с привычной записью, где одна переменная прямо выражена через другую. Вместо этого кривая описывается двумя уравнениями: одно задает координату \( x \), а другое — координату \( y \). На первый взгляд это может показаться сложнее. Но именно такая запись часто удобна, когда точка движется по кривой, а ее координаты изменяются в зависимости от одного общего параметра.
Производная Функции Заданной Параметрически: Основная Формула
Пусть кривая задана параметрически:
\[ x=\varphi(t), \qquad y=\psi(t). \]
Здесь \( t \) — параметр, а \( x \) и \( y \) зависят от него. Тогда возникает естественный вопрос: как найти производную \( \dfrac{dy}{dx} \), если \( y \) не задана явно через \( x \)?
В этом случае используют формулу:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}. \]
Если \( x=\varphi(t) \), \( y=\psi(t) \), то эту же формулу записывают так:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}. \]
При этом нужно учитывать важное условие:
\[ \varphi'(t)\neq 0. \]
Почему это важно? Потому что в формуле есть деление на \( \dfrac{dx}{dt} \). Если \( \dfrac{dx}{dt}=0 \), то такая формула в этой точке напрямую не применяется.
Итак, чтобы найти производную параметрически заданной функции, нужно продифференцировать \( y \) по параметру \( t \), затем продифференцировать \( x \) по тому же параметру \( t \), а после этого разделить первую производную на вторую.
Почему Формула Работает: Доказательство Через Сложную Функцию
Вернемся к параметрической записи:
\[ x=\varphi(t), \qquad y=\psi(t). \]
Предположим, что функции \( \varphi(t) \) и \( \psi(t) \) имеют производные на некотором промежутке значений параметра. Также будем считать, что \( \varphi'(t)\neq 0 \). При этом условии параметр \( t \) можно локально рассматривать как функцию от \( x \). Обозначим эту зависимость так:
\[ t=g(x). \]
Тогда функцию \( y=\psi(t) \) можно записать как сложную функцию от \( x \):
\[ y=\psi(g(x)). \]
Что это означает? Сначала через \( x \) определяется параметр \( t \), а уже потом через этот параметр определяется \( y \). То есть \( y \) зависит от \( x \) через промежуточную переменную \( t \).
Теперь продифференцируем равенство \( y=\psi(g(x)) \) по переменной \( x \). По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
\[ \frac{dy}{dx}=\psi'(g(x))\cdot g'(x). \]
Далее найдем \( g'(x) \). Поскольку \( t=g(x) \), а \( x=\varphi(t) \), имеем равенство:
\[ \varphi(g(x))=x. \]
Продифференцируем обе части этого равенства по \( x \):
\[ \varphi'(g(x))\cdot g'(x)=1. \]
Отсюда получаем:
\[ g'(x)=\frac{1}{\varphi'(g(x))}. \]
Подставим это выражение в формулу для \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[ \frac{dy}{dx} = \psi'(g(x))\cdot \frac{1}{\varphi'(g(x))}. \]
То есть
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(g(x))}{\varphi'(g(x))}. \]
Поскольку \( g(x)=t \), получаем:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}. \]
Итак, формула следует из правила дифференцирования сложной функции и из того, что обе переменные зависят от одного и того же параметра.
Производная Функции Заданной Параметрически: Практическое Применение Формулы
Теперь перейдем к практике. В примерах увидим, как одна и та же формула работает для многочленов, тригонометрических функций, показательной функции и дробных выражений. Главное — внимательно найти производные по параметру, а затем записать их отношение.
Пример 1. Найти производную параметрически заданной функции:
\[
x=t^2+1, \qquad y=t^3-2\cdot t.
\]
Имеем параметрическую запись, где обе переменные зависят от параметра \( t \). Для начала используем основную формулу:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}. \]
Сначала найдем производную \( x \) по параметру \( t \):
\[ \frac{dx}{dt}=\left(t^2+1\right)'=2\cdot t. \]
Теперь найдем производную \( y \) по тому же параметру:
\[ \frac{dy}{dt}=\left(t^3-2\cdot t\right)'=3\cdot t^2-2. \]
Подставляем найденные производные в формулу:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot t^2-2}{2\cdot t}. \]
Итак,
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot t^2-2}{2\cdot t}, \qquad t\neq 0. \]
Условие \( t\neq 0 \) появляется потому, что в знаменателе стоит \( 2\cdot t \). Если \( 2\cdot t=0 \), формулу в таком виде применять нельзя.
Пример 2. Найти производную параметрически заданной функции:
\[
x=\cos(t), \qquad y=\sin(t).
\]
Здесь координаты точки заданы через тригонометрические функции. Действуем по той же схеме: сначала дифференцируем \( x \), затем \( y \), а потом записываем отношение.
Найдем производную \( x \) по параметру \( t \):
\[ \frac{dx}{dt}=\left(\cos(t)\right)'=-\sin(t). \]
Далее найдем производную \( y \):
\[ \frac{dy}{dt}=\left(\sin(t)\right)'=\cos(t). \]
Теперь записываем отношение этих производных:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{\cos(t)}{-\sin(t)}. \]
Поэтому
\[ \frac{dy}{dx}=-\frac{\cos(t)}{\sin(t)}, \qquad \sin(t)\neq 0. \]
Пример 3. Найти производную параметрически заданной функции:
\[
x=t^2-4\cdot t, \qquad y=t^3+3\cdot t.
\]
Сначала найдем производную \( x \) по параметру \( t \). Здесь имеем многочлен, поэтому дифференцируем каждое слагаемое отдельно:
\[ \frac{dx}{dt}=\left(t^2-4\cdot t\right)'=2\cdot t-4. \]
Теперь найдем производную \( y \):
\[ \frac{dy}{dt}=\left(t^3+3\cdot t\right)'=3\cdot t^2+3. \]
Далее записываем отношение производной \( y \) к производной \( x \):
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot t^2+3}{2\cdot t-4}. \]
Можно вынести общие множители, чтобы запись стала немного компактнее:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot \left(t^2+1\right)}{2\cdot \left(t-2\right)}. \]
Итак,
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{3\cdot \left(t^2+1\right)}{2\cdot \left(t-2\right)}, \qquad t\neq 2. \]
Здесь ограничение \( t\neq 2 \) возникает из-за знаменателя. Если \( t=2 \), то \( \dfrac{dx}{dt}=0 \), поэтому формула напрямую не применяется.
Пример 4. Найти производную параметрически заданной функции:
\[
x=e^t, \qquad y=t^2.
\]
В этом примере одна координата задана показательной функцией, а другая — степенной. Но порядок действий не меняется.
Найдем производную \( x \):
\[ \frac{dx}{dt}=\left(e^t\right)'=e^t. \]
Теперь найдем производную \( y \):
\[ \frac{dy}{dt}=\left(t^2\right)'=2\cdot t. \]
После подстановки в формулу имеем:
\[ \frac{dy}{dx}=\frac{2\cdot t}{e^t}. \]
Поскольку \( e^t\neq 0 \) для любого \( t \), дополнительных ограничений для знаменателя здесь нет.
Пример 5. Найти производную параметрически заданной функции:
\[
x=t+\frac{1}{t}, \qquad y=t-\frac{1}{t}.
\]
Здесь в формулах есть дробные выражения, поэтому нужно внимательно продифференцировать каждую часть. Сначала найдем производную \( x \):
\[ \frac{dx}{dt} = \left(t+\frac{1}{t}\right)'. \]
Поскольку \( \dfrac{1}{t}=t^{-1} \), имеем:
\[ \frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{t^2}. \]
Теперь найдем производную \( y \):
\[ \frac{dy}{dt} = \left(t-\frac{1}{t}\right)'. \]
Производная от \( t \) равна \( 1 \), а производная от \( -\dfrac{1}{t} \) равна \( \dfrac{1}{t^2} \). Поэтому
\[ \frac{dy}{dt}=1+\frac{1}{t^2}. \]
Теперь подставим эти выражения в формулу:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1+\dfrac{1}{t^2}}{1-\dfrac{1}{t^2}}. \]
Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на \( t^2 \). Итак, окончательно получаем:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{t^2+1}{t^2-1}. \]
Здесь нужно учесть ограничения. Во-первых, \( t\neq 0 \), потому что в исходных формулах есть дроби. Во-вторых, \( t^2-1\neq 0 \), то есть \( t\neq -1 \) и \( t\neq 1 \), потому что знаменатель производной не должен быть равен нулю.
Что Изучать Дальше: Темы Для Продолжения
После параметрического дифференцирования полезно перейти к темам, которые тесно с ним связаны. Так будет легче увидеть связь между разными способами нахождения производных и увереннее работать с новыми задачами.
- Производная неявно заданной функции: Формула и примеры — В статье речь пойдет о нахождении производной тогда, когда переменные связаны уравнением без явного выражения одной переменной через другую.
- Производная степенной функции: Формула, доказательство, примеры — В статье будет объяснено правило дифференцирования степенных функций, его обоснование и применение в типичных задачах.
- Производная показательной функции: Формула, доказательство, примеры — В статье будет рассмотрено, как находить производные показательных функций и почему эти правила важны в математическом анализе.
Производная Функции Заданной Параметрически: От Формулы к Коду
Если вам интересно не только решать задачи вручную, но и превращать математические формулы в программный код, попробуйте реализовать этот алгоритм на своем любимом языке программирования. Блок-схема уже показывает главную логику: считать значение параметра, вычислить координаты точки, найти производные по параметру, проверить знаменатель и вывести ответ. Это простое задание хорошо показывает, как производная функции заданной параметрически переходит из теории в небольшую, но вполне рабочую программу.
