Когда область на координатной плоскости ограничена графиками двух функций, её площадь можно найти с помощью определенного интеграла. При этом площадь плоской фигуры зависит от границ области и от того, как кривые расположены относительно друг друга. Поэтому сначала рассмотрим основные формулы и правила выбора пределов интегрирования, а затем применим их в примерах с разными типами функций и расположением графиков.
Площадь Плоской Фигуры: Как Определить Границы Между Кривыми
Пусть заданы две непрерывные функции
\[ y=f(x) \]
и
\[ y=g(x). \]
Прежде всего нужно найти точки, в которых их графики пересекаются. Для этого решают уравнение
\[ f(x)=g(x). \]
Полученные значения \( x \) помогают определить границы области или её отдельных частей. Если нужная область расположена между точками с абсциссами \( x=a \) и \( x=b \), то эти значения используют как пределы интегрирования.
Далее нужно выяснить, какая из функций имеет большие значения на промежутке \( [a,b] \). Если
\[ f(x)\geq g(x) \]
для всех
\[ x\in[a,b], \]
то график \( y=f(x) \) расположен выше, а график \( y=g(x) \) — ниже.
Как это проверить? Иногда взаимное расположение кривых хорошо видно по их графикам. В других случаях достаточно сравнить значения функций в любой внутренней точке промежутка, если известно, что на нём нет других точек пересечения.
Итак, точки пересечения помогают определить границы области, а сравнение функций показывает, в каком порядке их нужно использовать при вычислении площади.
Площадь Между Двумя Кривыми: Основная Формула Интегрирования
Если на всём промежутке \( [a,b] \) одна и та же функция остаётся верхней, площадь можно вычислить без дополнительного разделения области.
Пусть
\[ f(x)\geq g(x) \]
для всех
\[ x\in[a,b]. \]
Обозначим площадь фигуры через \( A \). Тогда площадь области между графиками определяется формулой
\[ A=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx. \]
Итак, в подынтегральном выражении из верхней функции вычитают нижнюю.
Почему порядок функций имеет значение? Если записать их наоборот,
\[ g(x)-f(x), \]
то подынтегральное выражение будет неположительным, а значение определенного интеграла будет иметь противоположный знак. Площадь же должна быть неотрицательной.
Поэтому правило можно сформулировать просто: при интегрировании по \( x \) из значения верхней функции вычитают значение нижней.
Пересечение Кривых Внутри Промежутка: Когда Площадь Нужно Разделить
Теперь рассмотрим ситуацию, когда внутри нужного промежутка графики имеют дополнительные точки пересечения. В таком случае одна функция может быть верхней на одной части области, а другая — на следующей.
Пусть одна из точек пересечения имеет абсциссу \( x=c \), причём
\[ a<c<b. \]
Предположим, что на промежутке \( [a,c] \)
\[ f(x)\geq g(x), \]
а на промежутке \( [c,b] \)
\[ g(x)\geq f(x). \]
Тогда площадь нужно вычислять отдельно для каждой части:
\[ A= \int_a^c (f(x)-g(x))\,dx + \int_c^b (g(x)-f(x))\,dx. \]
Итак, после каждой точки пересечения нужно проверять, действительно ли изменилось взаимное расположение кривых. Сам факт того, что графики имеют общую точку, ещё не означает, что они обязательно меняются местами. Например, кривые могут лишь касаться друг друга.
Для проверки удобно рассмотреть знак разности
\[ f(x)-g(x). \]
Если на соседних промежутках её знак меняется, то меняется и порядок расположения графиков. Если знак остаётся тем же, порядок функций в формуле площади также не меняется.
В общем виде площадь между двумя кривыми можно записать как
\[ A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx. \]
Модуль гарантирует, что разность функций берётся неотрицательной. Однако при непосредственных вычислениях часто удобнее разбить промежуток в точках, где меняется порядок кривых, и записать отдельные интегралы без модуля.
Если таких точек несколько, промежуток делят на соответствующие части. Для каждой из них определяют верхнюю и нижнюю функции, после чего полученные площади складывают.
Интегрирование По Переменной \(y\): Когда Удобнее Рассматривать Кривые Слева и Справа
Не каждую область удобно описывать функциями от \( x \). Иногда проще представить её границы в виде
\[ x=\varphi(y) \]
и
\[ x=\psi(y). \]
В таком случае интегрирование выполняют по переменной \( y \), а пределами интегрирования становятся значения
\[ y=c \]
и
\[ y=d. \]
Теперь нужно определить не верхнюю и нижнюю кривые, а правую и левую.
Если на промежутке \( [c,d] \)
\[ \varphi(y)\geq\psi(y), \]
то график
\[ x=\varphi(y) \]
расположен правее, а график
\[ x=\psi(y) \]
— левее. Площадь тогда определяется формулой
\[ A=\int_c^d (\varphi(y)-\psi(y))\,dy. \]
Таким образом, при интегрировании по \( x \) действует правило «верхняя функция минус нижняя», а при интегрировании по \( y \) — «правая функция минус левая».
Какую переменную интегрирования лучше выбрать? Стоит использовать тот способ, при котором границы области описываются проще. Если переход к интегрированию по \( y \) позволяет избежать разделения области на несколько частей или упростить уравнения её границ, такой способ записи может быть значительно удобнее.
Итак, чтобы найти площадь между двумя кривыми, нужно правильно определить границы области и взаимное расположение графиков. Если их порядок меняется, область разделяют на соответствующие части. А когда описание с помощью функций от \( x \) становится неудобным, можно перейти к интегрированию по \( y \).
Площадь Плоской Фигуры На Практике: Задачи С Подробным Решением
После определения границ области и взаимного расположения кривых можно переходить непосредственно к вычислениям. В каждой задаче важно сначала правильно описать область, а уже затем составлять определенный интеграл. Рассмотрим разные случаи, постепенно переходя от более простого расположения графиков к ситуациям, в которых способ вычисления нужно изменить.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
\[
y=x^2,\qquad y=2\cdot x+3.
\]
Сначала найдём точки пересечения графиков. В этих точках значения обеих функций одинаковы, поэтому приравняем их:
\[ x^2=2\cdot x+3. \]
Перенесём все слагаемые в одну часть:
\[ x^2-2\cdot x-3=0. \]
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
\[ (x-3)\cdot(x+1)=0. \]
Отсюда
\[ x_1=-1,\qquad x_2=3. \]
Итак, нужная область расположена на промежутке
\[ [-1,3]. \]
Теперь определим, какой график находится выше. Возьмём внутреннюю точку промежутка, например \( x=0 \). Для параболы получаем
\[ y=0^2=0, \]
а для прямой
\[ y=2\cdot0+3=3. \]
Следовательно, на этом промежутке прямая \( y=2\cdot x+3 \) расположена выше параболы \( y=x^2 \). Поэтому из верхней функции вычитаем нижнюю:
\[ A=\int_{-1}^{3}\left((2\cdot x+3)-x^2\right)\,dx. \]
Найдём первообразную:
\[ A= \left( x^2+3\cdot x-\frac{x^3}{3} \right)\Bigg|_{-1}^{3}. \]
Подставим верхний предел:
\[ 3^2+3\cdot3-\frac{3^3}{3} = 9+9-9 = 9. \]
Теперь подставим нижний предел:
\[ (-1)^2+3\cdot(-1)-\frac{(-1)^3}{3} = 1-3+\frac{1}{3} = -\frac{5}{3}. \]
Поэтому
\[ A= 9-\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{27}{3}+\frac{5}{3} = \frac{32}{3}. \]
Итак, площадь фигуры равна
\[ A=\frac{32}{3}. \]
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
\[
y=4-x^2,\qquad y=x^2-2.
\]
Прежде всего определим точки пересечения парабол. Для этого приравняем правые части:
\[ 4-x^2=x^2-2. \]
Перенесём слагаемые:
\[ 6=2\cdot x^2. \]
Отсюда
\[ x^2=3, \]
поэтому
\[ x_1=-\sqrt{3}, \qquad x_2=\sqrt{3}. \]
Именно между этими значениями расположена ограниченная область.
Теперь определим верхнюю функцию. Рассмотрим разность:
\[ (4-x^2)-(x^2-2) = 6-2\cdot x^2. \]
На промежутке
\[ [-\sqrt{3},\sqrt{3}] \]
выполняется
\[ 6-2\cdot x^2\geq0. \]
Следовательно, парабола
\[ y=4-x^2 \]
расположена выше, а
\[ y=x^2-2 \]
— ниже.
Запишем интеграл:
\[ A= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left((4-x^2)-(x^2-2)\right)\,dx. \]
После упрощения получаем
\[ A= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (6-2\cdot x^2)\,dx. \]
Подынтегральная функция чётная, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля. Поэтому вычисление можно сократить:
\[ A= 2\cdot\int_0^{\sqrt{3}} (6-2\cdot x^2)\,dx. \]
Такое упрощение не является обязательным. Интеграл можно вычислить непосредственно на всём промежутке \( [-\sqrt{3},\sqrt{3}] \), но использование симметрии делает запись короче.
Найдём первообразную:
\[ A= 2\cdot \left( 6\cdot x-\frac{2\cdot x^3}{3} \right)\Bigg|_0^{\sqrt{3}}. \]
Поскольку
\[ (\sqrt{3})^3=3\cdot\sqrt{3}, \]
получаем
\[ A= 2\cdot \left( 6\cdot\sqrt{3} — \frac{2\cdot3\cdot\sqrt{3}}{3} \right). \]
Тогда
\[ A= 2\cdot(6\cdot\sqrt{3}-2\cdot\sqrt{3}) = 2\cdot4\cdot\sqrt{3} = 8\cdot\sqrt{3}. \]
Итак,
\[ A=8\cdot\sqrt{3}. \]
Пример 3. Найти общую площадь областей, ограниченных графиками
\[
y=x,\qquad y=x^3.
\]
Сначала найдём все точки пересечения:
\[ x=x^3. \]
Перенесём всё в одну часть:
\[ x^3-x=0. \]
Вынесем \( x \) за скобки:
\[ x\cdot(x^2-1)=0. \]
Далее
\[ x\cdot(x-1)\cdot(x+1)=0. \]
Следовательно,
\[ x=-1,\qquad x=0,\qquad x=1. \]
Здесь сразу возникает важный вопрос: остаётся ли одна и та же функция верхней на всём промежутке \( [-1,1] \)? Нет. В точке \( x=0 \) кривые меняют взаимное расположение.
На промежутке \( [-1,0] \) возьмём, например,
\[ x=-\frac12. \]
Тогда
\[ x=-\frac12, \]
а
\[ x^3=-\frac18. \]
Поскольку
\[ -\frac18>-\frac12, \]
на этой части график \( y=x^3 \) расположен выше графика \( y=x \).
На промежутке \( [0,1] \), наоборот,
\[ x>x^3. \]
Если бы мы записали один интеграл на всём промежутке \( [-1,1] \) без модуля и без разделения, части с разными знаками взаимно компенсировались бы. В результате значение интеграла было бы равно нулю, хотя площадь областей между графиками не равна нулю. Именно поэтому нужно учитывать изменение взаимного расположения кривых.
Итак, область разделим на две части:
\[ A= \int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx + \int_0^1(x-x^3)\,dx. \]
Обе части имеют одинаковую площадь, поэтому можно записать
\[ A= 2\cdot\int_0^1(x-x^3)\,dx. \]
Найдём первообразную:
\[ A= 2\cdot \left( \frac{x^2}{2} — \frac{x^4}{4} \right)\Bigg|_0^1. \]
Подставляем пределы:
\[ A= 2\cdot \left( \frac12-\frac14 \right). \]
Итак,
\[ A= 2\cdot\frac14 = \frac12. \]
Таким образом, общая площадь областей между графиками равна
\[ A=\frac12. \]
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
\[
x=y^2,\qquad x=y+2.
\]
В этом случае обе кривые уже заданы как функции переменной \( y \). Поэтому удобнее интегрировать именно по \( y \), определяя правую и левую границы области.
Найдём точки пересечения:
\[ y^2=y+2. \]
Перенесём всё в одну часть:
\[ y^2-y-2=0. \]
Разложим на множители:
\[ (y-2)\cdot(y+1)=0. \]
Отсюда
\[ y_1=-1, \qquad y_2=2. \]
Итак, интегрировать нужно от \( y=-1 \) до \( y=2 \).
Теперь определим, какая кривая расположена правее. Например, при \( y=0 \)
\[ x=y^2=0, \]
а для второй кривой
\[ x=y+2=2. \]
Следовательно,
\[ x=y+2 \]
является правой границей области, а
\[ x=y^2 \]
— левой.
Поэтому площадь равна
\[ A= \int_{-1}^{2} \left((y+2)-y^2\right)\,dy. \]
Найдём первообразную:
\[ A= \left( \frac{y^2}{2} + 2\cdot y — \frac{y^3}{3} \right)\Bigg|_{-1}^{2}. \]
Для верхнего предела получаем
\[ \frac{2^2}{2} + 2\cdot2 — \frac{2^3}{3} = 2+4-\frac83 = \frac{10}{3}. \]
Для нижнего предела:
\[ \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot(-1) — \frac{(-1)^3}{3} = \frac12-2+\frac13 = -\frac76. \]
Тогда
\[ A= \frac{10}{3} — \left(-\frac76\right). \]
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[ A= \frac{20}{6} + \frac76 = \frac{27}{6} = \frac92. \]
Итак, площадь фигуры равна
\[ A=\frac92. \]
Пример 5. Найти площадь фигуры между графиками
\[
y=\sin(x),\qquad y=\cos(x),
\]
которая лежит между двумя соседними точками их пересечения.
Сначала найдём точки пересечения графиков:
\[ \sin(x)=\cos(x). \]
Если
\[ \cos(x)\neq0, \]
разделим обе части на \( \cos(x) \):
\[ \tan(x)=1. \]
Общее решение этого уравнения имеет вид
\[ x=\frac{\pi}{4}+\pi\cdot k, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Возьмём две соседние точки пересечения:
\[ x=\frac{\pi}{4} \]
и
\[ x=\frac{5\cdot\pi}{4}. \]
Теперь нужно определить, какая функция расположена выше между ними. Возьмём точку
\[ x=\frac{\pi}{2}. \]
Тогда
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
а
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. \]
Следовательно, на промежутке
\[ \left[\frac{\pi}{4};\frac{5\cdot\pi}{4}\right] \]
график \( y=\sin(x) \) расположен выше графика \( y=\cos(x) \).
Поэтому площадь определяется интегралом
\[ A= \int_{\pi/4}^{5\cdot\pi/4} (\sin(x)-\cos(x))\,dx. \]
Найдём первообразную:
\[ \int(\sin(x)-\cos(x))\,dx = -\cos(x)-\sin(x). \]
Итак,
\[ A= (-\cos(x)-\sin(x)) \Bigg|_{\pi/4}^{5\cdot\pi/4}. \]
Для верхнего предела
\[ \cos\left(\frac{5\cdot\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\left(\frac{5\cdot\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2}. \]
Поэтому
\[ -\cos\left(\frac{5\cdot\pi}{4}\right) — \sin\left(\frac{5\cdot\pi}{4}\right) = \sqrt2. \]
Для нижнего предела
\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2}, \]
следовательно,
\[ -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt2. \]
Теперь вычитаем значение на нижнем пределе из значения на верхнем:
\[ A= \sqrt2-(-\sqrt2) = 2\cdot\sqrt2. \]
Итак, площадь фигуры равна
\[ A=2\cdot\sqrt2. \]
При нахождении площади между двумя кривыми главное — правильно описать область ещё до начала интегрирования. Сначала нужно определить её границы и взаимное расположение графиков, затем выбрать интегрирование по \( x \) или по \( y \), а при необходимости разделить область на несколько частей. После этого вычисление сводится к правильной записи и нахождению соответствующего определенного интеграла.
Куда Двигаться Дальше: Рекомендуемые Темы Для Изучения
Площадь между кривыми — лишь одно из важных применений определенного интеграла. Далее можно перейти к задачам, в которых интегрирование помогает находить длины и объёмы, а также работать с областями на плоскости.
- Длина дуги кривой: Формула через определенный интеграл — В статье рассмотрим, как с помощью определенного интеграла находить длину дуги графика функции.
- Объём тела вращения: Применение определенного интеграла — Узнаем, как определенный интеграл используют для вычисления объёма фигуры, образованной вращением кривой.
- Двойные интегралы: Смысл, область интегрирования и примеры — Рассмотрим двойной интеграл, выбор области интегрирования и последовательность вычислений в типичных задачах.
Площадь Плоской Фигуры В Программировании: Реализуйте Алгоритм Самостоятельно
Если вам нравится программирование, попробуйте применить полученные знания на практике и реализовать алгоритм из блок-схемы на любимом языке программирования. Он приближённо вычисляет площадь области между графиками двух функций на промежутке от \( -1 \) до \( 3 \) методом трапеций:
\[ y=x^2,\qquad y=2\cdot x+3. \]
Пользователь задаёт число промежутков разбиения, а алгоритм последовательно вычисляет значения функций и накапливает площадь. Попробуйте самостоятельно воспроизвести эту логику, а затем измените число промежутков и проследите, как это влияет на полученный результат.
