Когда кривая задана графиком функции, расстояние вдоль неё уже нельзя найти так же просто, как длину отрезка. Однако длина дуги кривой на определенном промежутке может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Рассмотрим, как получают соответствующую формулу, какую роль в ней играет производная и как применять её на примерах.
Длина Дуги Кривой: От Ломаной К Точной Длине
Пусть функция
\[ y=f(x) \]
задана на отрезке \( [a,b] \).
Нас интересует часть её графика от точки с абсциссой \( a \) до точки с абсциссой \( b \). Как определить длину этой кривой, если она не является прямой?
Начнём с простой идеи. Разобьём отрезок \( [a,b] \) на небольшие части точками
\[ a=x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b. \]
На графике функции этим значениям соответствуют точки
\[ A_i=(x_i,f(x_i)). \]
Теперь соседние точки можно соединить отрезками. В результате вместо гладкой кривой получим ломаную линию.
Длину каждого её звена можно найти по формуле расстояния между двумя точками:
\[ \Delta l_i= \sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}, \]
где
\[ \Delta x_i=x_i-x_{i-1},\qquad \Delta y_i=f(x_i)-f(x_{i-1}). \]
Тогда длина всей ломаной равна
\[ L_n= \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2}. \]
Что произойдёт, если брать точки на кривой всё ближе друг к другу? Звенья ломаной будут становиться короче, а сама ломаная будет всё точнее повторять форму кривой. В пределе её длина переходит в длину соответствующей дуги.
Таким образом, задача сводится к тому, чтобы исследовать поведение одного малого звена ломаной, а затем перейти от таких звеньев к самой кривой.
Элемент Длины Дуги: Переход От Приращений К Производной
Теперь сосредоточимся на одном звене построенной ломаной и выясним, что происходит с его длиной, когда точки разбиения приближаются друг к другу.
Для малого звена имеем
\[ \Delta l= \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. \]
Вынесем \( (\Delta x)^2 \) из-под корня:
\[ \Delta l= \sqrt{ (\Delta x)^2 \left( 1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2 \right) }. \]
Если двигаться вдоль оси \( x \) от \( a \) до \( b \), то \( \Delta x>0 \). Поэтому
\[ \Delta l= \sqrt{ 1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2 }\,\Delta x. \]
Теперь будем уменьшать длину рассматриваемого промежутка. Отношение приращения функции к приращению аргумента приближается к производной:
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\to f'(x). \]
Переходя от приращений к дифференциалам, получаем выражение для элемента длины дуги:
\[ dl= \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx. \]
Откуда берётся именно такое выражение? В его основе лежит теорема Пифагора. Малое изменение координаты \( x \) задаётся величиной \( dx \), а соответствующее изменение координаты \( y \) — величиной \( dy \). При этом для дифференциалов выполняется соотношение
\[ dy=f'(x)\,dx. \]
Поэтому элемент длины дуги связан не только с изменением координаты \( x \), но и с изменением значения функции. Производная \( f'(x) \) показывает, насколько быстро изменяется функция.
Чем больше модуль производной, тем сильнее наклонена кривая. Соответственно, длина её малого фрагмента становится больше по сравнению с таким же перемещением вдоль оси \( x \).
Теперь у нас есть выражение для длины отдельного элемента кривой. Остаётся объединить такие элементы на всём отрезке от \( a \) до \( b \).
Формула Длины Дуги: Переход К Определенному Интегралу
Для каждой точки кривой элемент её длины определяется соотношением
\[ dl= \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx. \]
Чтобы получить длину всей дуги, нужно просуммировать такие элементы вдоль всего заданного промежутка. Именно такое суммирование выполняется с помощью определенного интеграла.
Если функция \( y=f(x) \) имеет непрерывную производную на отрезке \( [a,b] \), то её график на этом отрезке является гладкой кривой, длину которой можно вычислить по формуле
\[ L= \int_a^b \left( \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \right)dx. \]
Здесь \( a \) и \( b \) определяют начало и конец части графика, длину которой нужно найти. Производная \( f'(x) \) учитывает изменение функции на этом промежутке, а интегрирование объединяет длины всех малых элементов кривой в одну величину \( L \).
Таким образом, нахождение длины дуги можно свести к чёткой последовательности действий. Сначала определяют границы нужной части кривой и находят производную \( f'(x) \). Затем составляют выражение
\[ \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \]
и вычисляют его определенный интеграл на отрезке \( [a,b] \). Полученное значение и является длиной заданной дуги.
Длина Дуги Кривой: Практические Вычисления С Помощью Интеграла
Формула длины дуги становится гораздо понятнее, если последовательно применить её к различным функциям. Главное — правильно найти производную, упростить подкоренное выражение и только после этого переходить к вычислению определенного интеграла.
Пример 1. Найти длину дуги графика функции
\[
y=2\cdot x+1
\]
на отрезке \( [0,3] \).
Для нахождения длины дуги воспользуемся формулой
\[ L= \int_a^b \left( \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2} \right)dx. \]
Сначала найдём производную заданной функции:
\[ f'(x)=2. \]
Подставим её в формулу:
\[ L= \int_0^3 \left( \sqrt{1+2^2} \right)dx. \]
Упростим подкоренное выражение:
\[ L= \int_0^3 \left( \sqrt{5} \right)dx. \]
Поскольку \( \sqrt{5} \) не зависит от \( x \), вынесем эту величину за знак интеграла:
\[ L= \sqrt{5} \int_0^3 dx. \]
Вычислим определенный интеграл:
\[ L= \sqrt{5}\cdot x\Big|_0^3. \]
Следовательно,
\[ L= 3\cdot\sqrt{5}. \]
Таким образом, длина заданной части графика равна
\[ L=3\cdot\sqrt{5}. \]
В этом случае график является прямой, поэтому полученная длина совпадает с расстоянием между её крайними точками.
Пример 2. Найти длину дуги графика функции
\[
y=\frac{x^2}{2}
\]
на отрезке \( [0,1] \).
Начнём с производной:
\[ f'(x)=x. \]
Тогда формула длины дуги принимает вид
\[ L= \int_0^1 \left( \sqrt{1+x^2} \right)dx. \]
В отличие от предыдущего случая, здесь подынтегральная функция уже зависит от \( x \). Для вычисления этого интеграла воспользуемся известной формулой для первообразной:
\[ \int \left( \sqrt{1+x^2} \right)dx = \frac{x}{2}\cdot\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+C. \]
Следовательно,
\[ L= \left( \frac{x}{2}\cdot\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \right)\Bigg|_0^1. \]
Подставим верхний предел:
\[ \frac{1}{2}\cdot\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln\left(1+\sqrt{2}\right). \]
Для нижнего предела имеем
\[ \frac{0}{2}\cdot\sqrt{1} + \frac{1}{2}\ln(1) = 0. \]
Поэтому
\[ L= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\left(1+\sqrt{2}\right). \]
Приближённое значение составляет
\[ L\approx1.148. \]
Итак, длина дуги параболы на заданном отрезке равна
\[ L= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\left(1+\sqrt{2}\right) \approx1.148. \]
Пример 3. Найти длину дуги графика функции
\[
y=\sqrt{4-x^2}
\]
на отрезке \( [0,1] \).
Сначала найдём производную:
\[ f'(x)= -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}. \]
Теперь подставим её в формулу длины дуги:
\[ L= \int_0^1 \left( \sqrt{ 1+ \left( -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \right)^2 } \right)dx. \]
После возведения в квадрат знак минус исчезает:
\[ L= \int_0^1 \left( \sqrt{ 1+ \frac{x^2}{4-x^2} } \right)dx. \]
Приведём выражение под корнем к общему знаменателю:
\[ 1+\frac{x^2}{4-x^2} = \frac{4-x^2+x^2}{4-x^2} = \frac{4}{4-x^2}. \]
Поэтому
\[ L= \int_0^1 \left( \sqrt{\frac{4}{4-x^2}} \right)dx = \int_0^1 \left( \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} \right)dx. \]
Используем первообразную
\[ \int \left( \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} \right)dx = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+C. \]
Следовательно,
\[ L= 2\cdot \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)\Bigg|_0^1. \]
Подставим пределы:
\[ L= 2\cdot \left( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) — \arcsin(0) \right). \]
Поскольку
\[ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}, \qquad \arcsin(0)=0, \]
получаем
\[ L= 2\cdot\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}. \]
Таким образом,
\[ L=\frac{\pi}{3}\approx1.047. \]
Этот результат согласуется с геометрическим смыслом функции: её график является частью окружности радиуса \( 2 \).
Пример 4. Найти длину дуги графика функции
\[
y=
\frac{x^3}{6}
+
\frac{1}{2\cdot x}
\]
на отрезке \( [1,2] \).
Найдём производную функции:
\[ f'(x) = \frac{x^2}{2} — \frac{1}{2\cdot x^2}. \]
Тогда
\[ L= \int_1^2 \left( \sqrt{ 1+ \left( \frac{x^2}{2} — \frac{1}{2\cdot x^2} \right)^2 } \right)dx. \]
На первый взгляд этот интеграл выглядит довольно сложным. Однако сначала стоит упростить выражение под корнем.
Возведём выражение в скобках в квадрат:
\[ \left( \frac{x^2}{2} — \frac{1}{2\cdot x^2} \right)^2 = \frac{x^4}{4} — \frac{1}{2} + \frac{1}{4\cdot x^4}. \]
Добавим единицу:
\[ 1+ \left( \frac{x^2}{2} — \frac{1}{2\cdot x^2} \right)^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4\cdot x^4}. \]
Полученное выражение является полным квадратом:
\[ \frac{x^4}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4\cdot x^4} = \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2\cdot x^2} \right)^2. \]
На отрезке \( [1,2] \) выражение в скобках положительно. Поэтому
\[ \sqrt{ 1+ \left( f'(x) \right)^2 } = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2\cdot x^2}. \]
Следовательно,
\[ L= \int_1^2 \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2\cdot x^2} \right)dx. \]
Найдём первообразную:
\[ L= \left( \frac{x^3}{6} — \frac{1}{2\cdot x} \right)\Bigg|_1^2. \]
Подставим пределы:
\[ L= \left( \frac{8}{6} — \frac{1}{4} \right) — \left( \frac{1}{6} — \frac{1}{2} \right). \]
Теперь сразу выполним вычисления:
\[ L= \frac{8}{6} — \frac{1}{4} — \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{17}{12}. \]
Таким образом,
\[ L=\frac{17}{12}\approx1.417. \]
Этот пример показывает, насколько важно не спешить с интегрированием. Иногда сложное на вид подкоренное выражение после алгебраических преобразований принимает значительно более простой вид.
Пример 5. Найти длину дуги графика функции
\[
y=\ln(\cos(x))
\]
на отрезке \( \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \).
Сначала найдём производную:
\[ f'(x) = -\tan(x). \]
Подставим её в формулу:
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \sqrt{1+\tan^2(x)} \right)dx. \]
Воспользуемся тригонометрическим тождеством
\[ 1+\tan^2(x)=\sec^2(x). \]
Поэтому
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \sqrt{\sec^2(x)} \right)dx. \]
В общем случае
\[ \sqrt{\sec^2(x)}=|\sec(x)|. \]
На отрезке
\[ \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \]
имеем \( \cos(x)>0 \), а значит, \( \sec(x)>0 \). Поэтому модуль можно раскрыть:
\[ L= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left( \sec(x) \right)dx. \]
Первообразная для этой функции имеет вид
\[ \int \left( \sec(x) \right)dx = \ln|\sec(x)+\tan(x)|+C. \]
Следовательно,
\[ L= \ln|\sec(x)+\tan(x)| \Bigg|_0^{\frac{\pi}{4}}. \]
Для верхнего предела имеем
\[ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}, \qquad \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1. \]
Для нижнего предела
\[ \sec(0)=1, \qquad \tan(0)=0. \]
Поэтому
\[ L= \ln(\sqrt{2}+1)-\ln(1). \]
Поскольку
\[ \ln(1)=0, \]
получаем
\[ L= \ln(1+\sqrt{2}). \]
Приближённое значение составляет
\[ L\approx0.881. \]
Итак, длина заданной дуги составляет
\[ L=\ln(1+\sqrt{2})\approx0.881. \]
От Длины Дуги К Новым Задачам: Что Изучать Дальше
Длина дуги — лишь одно из важных применений определенного интеграла. Далее стоит рассмотреть другие геометрические задачи, а затем перейти к интегрированию функций двух переменных.
- Площадь фигуры с помощью интеграла: Формулы и примеры — Узнаете, как определенный интеграл помогает находить площади областей, ограниченных графиками функций.
- Объём тела вращения: Применение определенного интеграла — Рассмотрите, как с помощью определенного интеграла находить объёмы тел, образованных вращением плоских фигур.
- Двойные интегралы: Смысл, область интегрирования и примеры — Познакомитесь с интегрированием функций двух переменных, областью интегрирования и основными способами вычисления.
Длина Дуги Кривой: От Математической Формулы К Собственному Алгоритму
Если вам нравится программирование, попробуйте применить полученные знания на практике. На блок-схеме показан алгоритм приближённого вычисления длины дуги функции
\[ y=\frac{x^2}{2} \]
на отрезке \( [0,1] \) методом средних прямоугольников. Проследите за последовательностью действий, а затем реализуйте этот алгоритм на своём любимом языке программирования. Сравните полученное программой значение с результатом, найденным с помощью определенного интеграла.
