Уравнение Касательной и Уравнение Нормали к Кривой: Формулы и Примеры

Уравнение касательной и уравнение нормали к кривой помогают понять, как ведет себя график около заданной точки. Касательная показывает направление кривой и скорость изменения функции, а нормаль задает направление, перпендикулярное касательной. Далее рассмотрим, как записывать эти уравнения, какие особые случаи стоит учитывать и как с помощью касательных находить угол между двумя кривыми.

Уравнение Касательной: Прямая, Которая Показывает Направление Кривой

Начнем с касательной. Пусть кривая задана уравнением \( y=f(x) \), а точка касания имеет вид \( M_0(x_0,f(x_0)) \). Если функция имеет производную в точке \( x_0 \), то эта производная описывает наклон графика в данной точке.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой, которая проходит через точку \( M_0(x_0,f(x_0)) \) и имеет угловой коэффициент \( k \), записывают так:

\[
y-f(x_0)=k\cdot(x-x_0).
\]

Для касательной угловой коэффициент равен значению производной в точке касания:

\[
k=f'(x_0).
\]

Поэтому, если производная \( f'(x_0) \) существует и является конечным числом, уравнение касательной к кривой \( y=f(x) \) в точке \( M_0(x_0,f(x_0)) \) имеет вид:

\[
y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0).
\]

Что показывает эта формула? Она показывает локальное направление кривой в точке. То есть касательная как бы «заменяет» кривую около точки \( M_0(x_0,f(x_0)) \) прямой. А производная \( f'(x_0) \) показывает скорость изменения функции в этой точке.

Чтобы записать уравнение касательной, нужно найти \( f(x_0) \), вычислить \( f'(x_0) \), а затем подставить эти значения в формулу.

Если

\[
f'(x_0)=0,
\]

то касательная является горизонтальной. Она параллельна оси \( OX \), поэтому ее уравнение имеет вид:

\[
y=f(x_0).
\]

Отдельно отметим: если касательная является вертикальной, то ее не описывают формулой с угловым коэффициентом. В таком случае уравнение касательной записывают отдельно:

\[
x=x_0.
\]

Итак, касательная отвечает на вопрос: в каком направлении кривая проходит через заданную точку? Но часто в задачах важным является еще одно направление — перпендикулярное этому. Именно так мы переходим к нормали.

Уравнение Нормали: Прямая, Перпендикулярная Касательной

Нормаль к кривой — это прямая, которая проходит через точку \( M_0(x_0,f(x_0)) \) и перпендикулярна касательной в этой точке.

Если касательная показывает, как кривая изменяется в точке, то нормаль показывает направление, перпендикулярное этому локальному направлению. Проще говоря, касательная идет «вдоль» кривой, а нормаль — «поперек» нее в заданной точке.

Зачем это нужно? Нормаль используют в задачах, где важно построить перпендикуляр к кривой, найти перпендикулярное направление, связанное с кратчайшим расстоянием, описать направление силы или рассмотреть геометрическое расположение прямых около графика. То есть нормаль не дублирует касательную, а дополняет ее.

Пусть угловой коэффициент касательной равен

\[
k_t=f'(x_0).
\]

Поскольку нормаль перпендикулярна касательной, угловые коэффициенты этих прямых связаны соотношением:

\[
k_t\cdot k_n=-1,
\]

где \( k_n \) — угловой коэффициент нормали. Отсюда, если \( f'(x_0)\neq 0 \), получаем:

\[
k_n=-\frac{1}{f'(x_0)}.
\]

Поэтому уравнение нормали к кривой \( y=f(x) \) в точке \( M_0(x_0,f(x_0)) \) имеет вид:

\[
y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0).
\]

Эта формула работает при условии, что \( f'(x_0)\neq 0 \). Причина простая: в формуле есть деление на \( f'(x_0) \), а на ноль делить нельзя.

Если \( f'(x_0)=0 \), то из предыдущего раздела следует, что касательная является горизонтальной. Поэтому нормаль в этой точке будет вертикальной прямой:

\[
x=x_0.
\]

Если же касательная в точке \( M_0(x_0,f(x_0)) \) является вертикальной и имеет уравнение \( x=x_0 \), то нормаль будет горизонтальной:

\[
y=f(x_0).
\]

Итак, нормаль дополняет касательную: она дает второе важное направление в той же точке кривой.

Угол Между Кривыми: Сравнение Направлений Через Касательные

Теперь сделаем следующий шаг. Если касательная описывает направление одной кривой в точке, то две касательные помогают сравнить направления двух кривых в их общей точке.

Пусть заданы две кривые \( y=f_1(x) \) и \( y=f_2(x) \). Пусть они пересекаются в точке \( M_0(x_0,f_1(x_0)) \). Поскольку эта точка принадлежит обеим кривым, выполняется равенство:

\[
f_1(x_0)=f_2(x_0).
\]

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым, проведенными в данной точке. Обычно под углом между кривыми берут меньший угол между их касательными.

То есть задача о нахождении угла между кривыми сводится к задаче о нахождении угламежду двумя прямыми — их касательными.

Если обе касательные не являются вертикальными, то их угловые коэффициенты равны:

\[
k_1=f’_1(x_0), \qquad k_2=f’_2(x_0).
\]

Тогда тангенс угла между касательными, а значит, и между кривыми, вычисляют по формуле:

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}\right|.
\]

После подстановки производных получаем:

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{f’_2(x_0)-f’_1(x_0)}{1+f’_1(x_0)\cdot f’_2(x_0)}\right|.
\]

Эта формула показывает, что угол между кривыми зависит от наклонов их касательных в точке пересечения. То есть главную роль играют не сами значения функций, а значения производных \( f’_1(x_0) \) и \( f’_2(x_0) \).

Если

\[
1+f’_1(x_0)\cdot f’_2(x_0)=0,
\]

то касательные взаимно перпендикулярны. В этом случае угол между кривыми равен \( 90^\circ \).

Итак, касательная, нормаль и угол между кривыми дают удобный способ описать локальную геометрию графиков через производную.

Практическая Часть: Уравнение Касательной, Нормали и Угол Между Кривыми

Теперь перейдем к практике. Здесь важно не просто запомнить формулы, а увидеть, как они работают в задачах. Сначала найдем касательную и нормаль в заданной точке, затем рассмотрим касательные, которые проходят через внешнюю точку, а после этого вычислим угол между двумя кривыми.

Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой \( y=5\cdot x^3+3\cdot x \) в точке \( M_0(1,8) \)

По условию задачи \( x_0=1 \). Сначала проверим значение функции в этой точке:

\[
f(x_0)=f(1)=5\cdot 1^3+3\cdot 1=8.
\]

Значит, точка \( M_0(1,8) \) действительно принадлежит заданной кривой.

Теперь найдем производную в точке \( x_0=1 \). Для наглядности сделаем это через определение производной:

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
\]

Подставим заданную функцию:

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}
\frac{5\cdot(1+h)^3+3\cdot(1+h)-8}{h}.
\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}
\frac{18\cdot h+15\cdot h^2+5\cdot h^3}{h}.
\]

Сокращаем на \( h \):

\[
f'(1)=\lim_{h\to 0}(18+15\cdot h+5\cdot h^2)=18.
\]

Значит, угловой коэффициент касательной равен \( k=f'(1)=18 \).

Теперь запишем уравнение касательной:

\[
y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0).
\]

После подстановки \( x_0=1 \), \( f(x_0)=8 \), \( f'(x_0)=18 \) получим:

\[
y-8=18\cdot(x-1).
\]

Или после упрощения:

\[
y=18\cdot x-10.
\]

Теперь составим уравнение нормали. Поскольку \( f'(1)=18\neq 0 \), можно использовать формулу:

\[
y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0).
\]

Подставляем найденные значения:

\[
y-8=-\frac{1}{18}\cdot(x-1).
\]

Или после упрощения:

\[
y=-\frac{1}{18}\cdot x+\frac{145}{18}.
\]

Итак, касательная имеет уравнение \( y-8=18\cdot(x-1) \), а нормаль имеет уравнение \( y-8=-\frac{1}{18}\cdot(x-1) \).

Пример 2. Составить уравнения всех касательных к графику функции \( y=-3\cdot x^2+5 \), которые проходят через точку \( M(-1,5) \)

Здесь точка \( M(-1,5) \) не задана как точка касания. Она лишь должна принадлежать искомой касательной. Поэтому точку касания обозначим отдельно.

Пусть \( x_0 \) — абсцисса точки касания к графику функции

\[
y=-3\cdot x^2+5.
\]

Тогда значение функции в точке касания равно:

\[
f(x_0)=-3\cdot x_0^2+5.
\]

Найдем производную заданной функции:

\[
f'(x)=-6\cdot x.
\]

Поэтому в точке касания имеем:

\[
f'(x_0)=-6\cdot x_0.
\]

Запишем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой \( x_0 \):

\[
y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0).
\]

Подставим найденные выражения:

\[
y-(-3\cdot x_0^2+5)=-6\cdot x_0\cdot(x-x_0).
\]

Отсюда:

\[
y+3\cdot x_0^2-5=-6\cdot x_0\cdot(x-x_0).
\]

Раскроем скобки:

\[
y+3\cdot x_0^2-5=-6\cdot x\cdot x_0+6\cdot x_0^2.
\]

Теперь выразим \( y \):

\[
y=3\cdot x_0^2-6\cdot x\cdot x_0+5.
\]

Это уравнение касательной, но оно еще содержит неизвестный параметр \( x_0 \). Как его найти? Используем условие, что касательная проходит через точку \( M(-1,5) \). Значит, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению касательной.

Подставим \( x=-1 \), \( y=5 \):

\[
5=3\cdot x_0^2-6\cdot(-1)\cdot x_0+5.
\]

Значит,

\[
5=3\cdot x_0^2+6\cdot x_0+5.
\]

Перенесем все в одну сторону:

\[
3\cdot x_0^2+6\cdot x_0=0.
\]

Вынесем общий множитель:

\[
3\cdot x_0\cdot(x_0+2)=0.
\]

Отсюда получаем два значения: \( x_0=0 \) или \( x_0=-2 \). Значит, существуют две касательные.

Если \( x_0=0 \), то

\[
y=3\cdot 0^2-6\cdot x\cdot 0+5=5.
\]

Поэтому первая касательная имеет уравнение:

\[
y=5.
\]

Если \( x_0=-2 \), то

\[
y=3\cdot(-2)^2-6\cdot x\cdot(-2)+5.
\]

Отсюда:

\[
y=12+12\cdot x+5.
\]

Значит,

\[
y=12\cdot x+17.
\]

Таким образом, искомые уравнения касательных имеют вид \( y=5 \) и \( y=12\cdot x+17 \).

Пример 3. Найти, под какими углами пересекаются кривые \( y=f_1(x)=x^2 \) и \( y=f_2(x)=x^3 \)

Сначала найдем точки пересечения заданных кривых. Для этого приравняем правые части уравнений:

\[
x^2=x^3.
\]

Перенесем все в одну сторону:

\[
x^3-x^2=0.
\]

Вынесем общий множитель:

\[
x^2\cdot(x-1)=0.
\]

Отсюда \( x=0 \) или \( x=1 \). Значит, имеем две точки пересечения: \( O(0,0) \) и \( M(1,1) \).

Теперь найдем производные обеих функций:

\[
f’_1(x)=2\cdot x, \qquad f’_2(x)=3\cdot x^2.
\]

Сначала рассмотрим точку \( O(0,0) \). В этой точке:

\[
f’_1(0)=2\cdot 0=0, \qquad f’_2(0)=3\cdot 0^2=0.
\]

Значит, касательные к обеим кривым в точке \( O(0,0) \) имеют одинаковый угловой коэффициент. Обе касательные совпадают с осью \( OX \). Поэтому угол между кривыми в этой точке равен \( 0^\circ \).

Теперь рассмотрим точку \( M(1,1) \). В этой точке угловые коэффициенты касательных равны:

\[
k_1=f’_1(1)=2\cdot 1=2, \qquad k_2=f’_2(1)=3\cdot 1^2=3.
\]

Угол между кривыми определим как угол между их касательными. Используем формулу:

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}\right|.
\]

Подставим \( k_1=2 \), \( k_2=3 \):

\[
\tan(\varphi)=\left|\frac{3-2}{1+2\cdot 3}\right|.
\]

Получим:

\[
\tan(\varphi)=\frac{1}{7}.
\]

Поэтому

\[
\varphi=\arctan\left(\frac{1}{7}\right).
\]

Если записать угол приближенно в градусах, получим \( \varphi\approx 8.13^\circ \).

Итак, кривые \( y=x^2 \) и \( y=x^3 \) пересекаются в точке \( O(0,0) \) под углом \( 0^\circ \), а в точке \( M(1,1) \) под углом \( 8.13^\circ \).

Что Изучать Дальше: Темы Для Продолжения

Далее стоит перейти к темам, которые помогают быстрее и увереннее работать с производными. Они нужны почти в каждой задаче математического анализа. Поэтому эти статьи хорошо продолжают изучение темы.

1. Правила дифференцирования функций и таблица производных: Вычисление без пределов — В статье речь пойдет об основных правилах нахождения производных и удобной таблице, которая помогает быстро вычислять производные функций.
2. Производная сложной функции: Применение правила цепочки — В статье будет объяснено, как находить производную функции, внутри которой находится другая функция, и когда применять правило цепочки.
3. Производная неявно заданной функции: Дифференцирование уравнений — В статье будет рассматриваться, как находить производную, когда функция задана не явно, а через уравнение с двумя переменными.

Уравнение Касательной в Коде: От Формулы к Программе

Если вам интересно программирование, эту тему легко превратить в небольшой вычислительный проект. Блок-схема ниже показывает алгоритм, который для двух кривых проверяет точку пересечения, находит угловые коэффициенты касательных и вычисляет угол между кривыми в градусах. Попробуйте реализовать этот алгоритм на Pascal, Python, C++, JavaScript или любом другом языке, с которым вам удобно работать. Так вы не просто повторите формулы, а увидите, как уравнение касательной помогает создавать реальный вычислительный инструмент.