Собственные векторы матрицы можно находить разными способами. Один из таких подходов связан с методом Крылова. Обычно этот метод сначала используют для нахождения коэффициентов характеристического многочлена. Но что делать дальше, когда собственные значения уже найдены? Именно здесь векторы Крылова можно использовать еще раз. Они помогают построить собственные векторы матрицы через специальную линейную комбинацию уже известных векторов.
Собственные Векторы Матрицы: Что Нужно Знать Перед Построением
Пусть задана квадратная матрица \( A \) порядка \( n \). Также пусть характеристический многочлен этой матрицы уже найден. Запишем его в виде
\[
D(\lambda)
=
\lambda^{n}
+
p_1\cdot\lambda^{n-1}
+
p_2\cdot\lambda^{n-2}
+
\dots
+
p_n.
\]
Далее предположим, что все корни этого многочлена различны. То есть матрица имеет собственные значения
\[
\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\dots,\lambda_n.
\]
Почему это важно? Потому что для различных собственных значений построение собственных векторов выглядит проще и удобнее. Каждому собственному значению \( \lambda_i \) соответствует собственный вектор \( x_i \), для которого выполняется равенство \( A\cdot x_i=\lambda_i\cdot x_i \).
Итак, наша задача такая: для каждого собственного значения \( \lambda_i \) построить соответствующий собственный вектор. Причем сделаем это не через прямое решение системы \( (A-\lambda_i\cdot E)\cdot x=0 \), а через векторы Крылова.
Сначала выбирают ненулевой начальный вектор \( y^{(0)} \). Далее строят последовательность векторов:
\[
y^{(1)}=A\cdot y^{(0)},
\qquad
y^{(2)}=A\cdot y^{(1)},
\qquad
\dots,
\qquad
y^{(n)}=A\cdot y^{(n-1)}.
\]
Иначе говоря, каждый следующий вектор получают умножением предыдущего вектора на матрицу \( A \). Так формируется последовательность векторов
\[
y^{(0)},y^{(1)},y^{(2)},\dots,y^{(n)}.
\]
Именно эти векторы и называют векторами Крылова. Далее они помогут построить собственные векторы матрицы.
Метод Крылова: Как Векторы Связаны с Собственными Значениями
Теперь рассмотрим, почему векторы Крылова можно использовать для нахождения собственных векторов. Пусть собственные векторы матрицы \( A \) имеют вид
\[
x_1,x_2,x_3,\dots,x_n.
\]
Предположим, что начальный вектор \( y^{(0)} \) можно разложить по этим собственным векторам:
\[
y^{(0)}
=
c_1\cdot x_1
+
c_2\cdot x_2
+
c_3\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot x_n.
\]
Здесь \( c_1,c_2,c_3,\dots,c_n \) — некоторые числовые коэффициенты. Обычно считают, что \( c_i\ne0 \), где \( i=1,2,3,\dots,n \). Это означает, что начальный вектор имеет ненулевую составляющую в направлении каждого собственного вектора.
Далее используем основное свойство собственного вектора. Если \( x_i \) — собственный вектор матрицы \( A \), то \( A\cdot x_i=\lambda_i\cdot x_i \). Поэтому после умножения \( y^{(0)} \) на матрицу \( A \) получим:
\[
y^{(1)}
=
A\cdot y^{(0)}
=
c_1\cdot\lambda_1\cdot x_1
+
c_2\cdot\lambda_2\cdot x_2
+
c_3\cdot\lambda_3\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot\lambda_n\cdot x_n.
\]
А что будет со следующими векторами? Здесь действует тот же принцип. Например,
\[
y^{(2)}
=
c_1\cdot\lambda_1^2\cdot x_1
+
c_2\cdot\lambda_2^2\cdot x_2
+
c_3\cdot\lambda_3^2\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot\lambda_n^2\cdot x_n.
\]
Для произвольного номера \( k \) можно записать общую формулу:
\[
y^{(k)}
=
c_1\cdot\lambda_1^k\cdot x_1
+
c_2\cdot\lambda_2^k\cdot x_2
+
c_3\cdot\lambda_3^k\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot\lambda_n^k\cdot x_n.
\]
Итак, каждый вектор Крылова содержит те же собственные векторы \( x_1,x_2,\dots,x_n \), но с разными степенями собственных значений. Именно это дает возможность выделить нужный собственный вектор. Как именно? Нужно составить такую линейную комбинацию векторов Крылова, чтобы все лишние собственные векторы исчезли, а остался только один.
Построение Собственного Вектора: Роль Вспомогательного Многочлена
Для каждого собственного значения \( \lambda_i \) введем вспомогательный многочлен
\[
Q_i(\lambda)
=
\frac{D(\lambda)}{\lambda-\lambda_i}.
\]
Поскольку \( \lambda_i \) является корнем характеристического многочлена \( D(\lambda) \), такое деление многочлена возможно. Многочлен \( Q_i(\lambda) \) имеет степень \( n-1 \), поэтому его можно записать так:
\[
Q_i(\lambda)
=
\lambda^{n-1}
+
q_{1i}\cdot\lambda^{n-2}
+
q_{2i}\cdot\lambda^{n-3}
+
q_{3i}\cdot\lambda^{n-4}
+
\dots
+
q_{n-1,i}.
\]
Теперь составим линейную комбинацию векторов Крылова с такими же коэффициентами. Обозначим построенный вектор через \( v_i \):
\[
v_i
=
y^{(n-1)}
+
q_{1i}\cdot y^{(n-2)}
+
q_{2i}\cdot y^{(n-3)}
+
q_{3i}\cdot y^{(n-4)}
+
\dots
+
q_{n-1,i}\cdot y^{(0)}.
\]
Почему именно такая комбинация? Потому что после подстановки разложений векторов \( y^{(0)},y^{(1)},\dots,y^{(n-1)} \) через собственные векторы получим:
\[
v_i
=
c_1\cdot Q_i(\lambda_1)\cdot x_1
+
c_2\cdot Q_i(\lambda_2)\cdot x_2
+
c_3\cdot Q_i(\lambda_3)\cdot x_3
+
\dots
+
c_n\cdot Q_i(\lambda_n)\cdot x_n.
\]
А теперь обратим внимание на главное свойство многочлена \( Q_i(\lambda) \). Поскольку
\[
Q_i(\lambda)
=
\frac{D(\lambda)}{\lambda-\lambda_i},
\]
то для всех \( j\ne i \) имеем \( Q_i(\lambda_j)=0 \). То есть для всех других собственных значений этот многочлен равен нулю.
Для самого значения \( \lambda_i \) имеем
\[
Q_i(\lambda_i)=D'(\lambda_i).
\]
Поскольку корни характеристического многочлена различны, то \( D'(\lambda_i)\ne0 \). Следовательно, в разложении для \( v_i \) все слагаемые, кроме одного, исчезают. Поэтому имеем:
\[
v_i
=
c_i\cdot Q_i(\lambda_i)\cdot x_i.
\]
Отсюда видно, что вектор \( v_i \) имеет то же направление, что и собственный вектор \( x_i \), который соответствует собственному значению \( \lambda_i \). Поэтому \( v_i \) можно взять в качестве собственного вектора матрицы \( A \), соответствующего собственному значению \( \lambda_i \).
Если координаты полученного вектора имеют общий числовой множитель, его можно сократить. Это не изменит сути результата, потому что любой ненулевой кратный вектор также будет собственным вектором для того же собственного значения.
Остается вопрос: как найти коэффициенты \( q_{1i},q_{2i},\dots,q_{n-1,i} \)? Их удобно вычислять по схеме Горнера:
\[
q_{0i}=1,\qquad q_{ji}=\lambda_i\cdot q_{j-1,i}+p_j,\qquad j=1,2,3,\dots,n-1.
\]
Итак, метод Крылова дает последовательный алгоритм. Сначала строят векторы Крылова. Затем находят характеристический многочлен и его корни. Далее для каждого собственного значения \( \lambda_i \) формируют многочлен \( Q_i(\lambda) \), находят коэффициенты по схеме Горнера и составляют нужную линейную комбинацию векторов. В результате получают собственный вектор матрицы.
Практическая Часть: Как Находить Собственные Векторы
Теперь перейдем к практике. В каждом примере будем использовать данные, которые уже были получены при применении метода Крылова для нахождения собственных значений матрицы. В частности, нам понадобятся коэффициенты характеристического многочлена и координаты векторов Крылова, которые входят в расчетные формулы.
Пример 1. Используя метод Крылова, найти собственные векторы матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix},
\]
если ее собственные значения равны
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=3.
\]
Запишем данные для вычислений:
\[
\begin{gathered}
p_1=-4,\qquad p_2=3,
\\[6pt]
y^{(0)}=
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix},
\qquad
y^{(1)}=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Поскольку матрица второго порядка, для каждого собственного значения \( \lambda_i \) вспомогательный многочлен имеет вид \( Q_i(\lambda)=\lambda+q_{1i} \). Коэффициент \( q_{1i} \) находим по схеме Горнера:
\[
q_{0i}=1,\qquad q_{1i}=\lambda_i\cdot q_{0i}+p_1.
\]
Сначала найдем собственный вектор для \( \lambda_1=1 \). Имеем:
\[
q_{11}
=
1\cdot1+(-4)
=
-3.
\]
Теперь составляем линейную комбинацию векторов Крылова:
\[
v_1
=
y^{(1)}
+
q_{11}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим найденные значения:
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
—
3\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Следовательно,
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Поэтому для собственного значения \( \lambda_1=1 \) можно взять собственный вектор
\[
v_1=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Кратко проверим результат. Имеем:
\[
A\cdot v_1
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Поскольку
\[
1\cdot v_1
=
1\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix},
\]
то действительно \( A\cdot v_1=1\cdot v_1 \). Значит, вектор \( v_1 \) найден правильно.
Теперь найдем собственный вектор для \( \lambda_2=3 \). По схеме Горнера имеем:
\[
q_{12}
=
3\cdot1+(-4)
=
-1.
\]
Тогда
\[
v_2
=
y^{(1)}
+
q_{12}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим векторы:
\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
—
1\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Отсюда
\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-1\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Следовательно, для собственного значения \( \lambda_2=3 \) можно взять собственный вектор
\[
v_2=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Таким образом, собственные векторы матрицы имеют вид
\[
\lambda_1=1: v_1=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix},\qquad
\lambda_2=3: v_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.
\]
Пример 2. Используя метод Крылова, найти собственные векторы матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix},
\]
если ее собственные значения равны
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=2,
\qquad
\lambda_3=3.
\]
Запишем данные для вычислений:
\[
\begin{gathered}
p_1=-6,\qquad p_2=11,\qquad p_3=-6,
\\[6pt]
y^{(0)}=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix},
\qquad
y^{(1)}=
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix},
\qquad
y^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Поскольку матрица третьего порядка, вспомогательный многочлен для каждого собственного значения имеет вид
\[
Q_i(\lambda)
=
\lambda^2
+
q_{1i}\cdot\lambda
+
q_{2i}.
\]
Коэффициенты \( q_{1i} \) и \( q_{2i} \) находим по схеме Горнера:
\[
q_{0i}=1,\qquad
q_{ji}
=
\lambda_i\cdot q_{j-1,i}
+
p_j,
\qquad
j=1,2.
\]
Начнем с собственного значения \( \lambda_1=1 \). Имеем:
\[
\begin{gathered}
q_{11}=1\cdot1+(-6)=-5,
\\[4pt]
q_{21}=1\cdot(-5)+11=6.
\end{gathered}
\]
Теперь составляем линейную комбинацию:
\[
v_1
=
y^{(2)}
+
q_{11}\cdot y^{(1)}
+
q_{21}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим значения:
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
—
5\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}
+
6\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Получим:
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-5\\
-10\\
-15
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
6\\
6\\
6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Все координаты можно разделить на \( 2 \), поэтому в качестве собственного вектора для \( \lambda_1=1 \) удобно взять
\[
v_1=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Теперь перейдем к собственному значению \( \lambda_2=2 \). По схеме Горнера:
\[
\begin{gathered}
q_{12}=2\cdot1+(-6)=-4,
\\[4pt]
q_{22}=2\cdot(-4)+11=3.
\end{gathered}
\]
Поэтому
\[
v_2
=
y^{(2)}
+
q_{12}\cdot y^{(1)}
+
q_{22}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим векторы:
\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
—
4\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}
+
3\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Отсюда
\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-4\\
-8\\
-12
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3\\
3\\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Этот вектор можно умножить на \( -1 \), чтобы получить более простой вид. Следовательно, для \( \lambda_2=2 \) можно взять
\[
v_2=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Осталось найти собственный вектор для \( \lambda_3=3 \). Имеем:
\[
\begin{gathered}
q_{13}=3\cdot1+(-6)=-3,
\\[4pt]
q_{23}=3\cdot(-3)+11=2.
\end{gathered}
\]
Тогда
\[
v_3
=
y^{(2)}
+
q_{13}\cdot y^{(1)}
+
q_{23}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим значения:
\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
—
3\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}
+
2\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Получим:
\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3\\
-6\\
-9
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Разделим все координаты вектора на \( 2 \). Поэтому для \( \lambda_3=3 \) можно взять
\[
v_3=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Итак, для заданной матрицы имеем такие собственные векторы:
\[
\lambda_1=1: v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_2=2: v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_3=3: v_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}.
\]
Пример 3. Используя метод Крылова, найти собственные векторы матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
-3 & 4 & 2 & -7\\
-5 & 6 & 2 & -5\\
6 & -6 & -1 & 6\\
4 & -4 & -2 & 8
\end{pmatrix},
\]
если ее собственные значения равны
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=2,
\qquad
\lambda_3=3,
\qquad
\lambda_4=4.
\]
Запишем данные для вычислений:
\[
\begin{gathered}
p_1=-10,\qquad p_2=35,\qquad p_3=-50,\qquad p_4=24,\\[6pt]
y^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad
y^{(1)}=\begin{pmatrix}-4\\-2\\5\\6\end{pmatrix},\qquad
y^{(2)}=\begin{pmatrix}-28\\-12\\19\\30\end{pmatrix},\qquad
y^{(3)}=\begin{pmatrix}-136\\-44\\65\\138\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
В этом примере вычислений будет больше, но логика остается такой же: для каждого собственного значения находим коэффициенты \( q_{ji} \), а затем составляем линейную комбинацию векторов Крылова.
Поскольку матрица четвертого порядка, вспомогательный многочлен для каждого собственного значения записывается так:
\[
Q_i(\lambda)
=
\lambda^3
+
q_{1i}\cdot\lambda^2
+
q_{2i}\cdot\lambda
+
q_{3i}.
\]
Коэффициенты этого многочлена находим по схеме Горнера:
\[
q_{0i}=1,
\qquad
q_{ji}
=
\lambda_i\cdot q_{j-1,i}
+
p_j,
\qquad
j=1,2,3.
\]
Начнем с собственного значения \( \lambda_1=1 \). Последовательно находим:
\[
\begin{gathered}
q_{11}=1\cdot1+(-10)=-9,
\\[4pt]
q_{21}=1\cdot(-9)+35=26,
\\[4pt]
q_{31}=1\cdot26+(-50)=-24.
\end{gathered}
\]
Теперь составляем линейную комбинацию:
\[
v_1
=
y^{(3)}
+
q_{11}\cdot y^{(2)}
+
q_{21}\cdot y^{(1)}
+
q_{31}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим значения:
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
—
9\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
26\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
—
24\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Выполним вычисления:
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
252\\
108\\
-171\\
-270
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-104\\
-52\\
130\\
156
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-24\\
-24\\
-24\\
-24
\end{pmatrix}.
\]
Следовательно,
\[
v_1
=
\begin{pmatrix}
-12\\
-12\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Разделим все координаты этого вектора на \( -12 \). Поэтому для \( \lambda_1=1 \) удобно взять
\[
v_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Теперь найдем собственный вектор для \( \lambda_2=2 \). По схеме Горнера имеем:
\[
\begin{gathered}
q_{12}=2\cdot1+(-10)=-8,
\\[4pt]
q_{22}=2\cdot(-8)+35=19,
\\[4pt]
q_{32}=2\cdot19+(-50)=-12.
\end{gathered}
\]
Тогда
\[
v_2
=
y^{(3)}
+
q_{12}\cdot y^{(2)}
+
q_{22}\cdot y^{(1)}
+
q_{32}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим значения:
\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
—
8\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
19\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
—
12\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Имеем:
\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
224\\
96\\
-152\\
-240
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-76\\
-38\\
95\\
114
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-12\\
-12\\
-12\\
-12
\end{pmatrix}.
\]
Следовательно,
\[
v_2
=
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
-4\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Разделим все координаты вектора на \( 2 \). Поэтому для \( \lambda_2=2 \) можно взять
\[
v_2=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-2\\
0
\end{pmatrix}.
\]
Далее найдем собственный вектор для \( \lambda_3=3 \). Коэффициенты вспомогательного многочлена:
\[
\begin{gathered}
q_{13}=3\cdot1+(-10)=-7,
\\[4pt]
q_{23}=3\cdot(-7)+35=14,
\\[4pt]
q_{33}=3\cdot14+(-50)=-8.
\end{gathered}
\]
Поэтому
\[
v_3
=
y^{(3)}
+
q_{13}\cdot y^{(2)}
+
q_{23}\cdot y^{(1)}
+
q_{33}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим векторы:
\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
—
7\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
14\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
—
8\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Получим:
\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
196\\
84\\
-133\\
-210
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-56\\
-28\\
70\\
84
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-8\\
-8\\
-8\\
-8
\end{pmatrix}.
\]
Отсюда
\[
v_3
=
\begin{pmatrix}
-4\\
4\\
-6\\
4
\end{pmatrix}.
\]
Все координаты можно разделить на \( 2 \), поэтому удобно взять
\[
v_3=
\begin{pmatrix}
-2\\
2\\
-3\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Это собственный вектор, соответствующий собственному значению \( \lambda_3=3 \).
Наконец, найдем собственный вектор для \( \lambda_4=4 \). Сначала вычислим коэффициенты:
\[
\begin{gathered}
q_{14}=4\cdot1+(-10)=-6,
\\[4pt]
q_{24}=4\cdot(-6)+35=11,
\\[4pt]
q_{34}=4\cdot11+(-50)=-6.
\end{gathered}
\]
Теперь составляем линейную комбинацию:
\[
v_4
=
y^{(3)}
+
q_{14}\cdot y^{(2)}
+
q_{24}\cdot y^{(1)}
+
q_{34}\cdot y^{(0)}.
\]
Подставим найденные значения:
\[
v_4
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
—
6\cdot
\begin{pmatrix}
-28\\
-12\\
19\\
30
\end{pmatrix}
+
11\cdot
\begin{pmatrix}
-4\\
-2\\
5\\
6
\end{pmatrix}
—
6\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Имеем:
\[
v_4
=
\begin{pmatrix}
-136\\
-44\\
65\\
138
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
168\\
72\\
-114\\
-180
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-44\\
-22\\
55\\
66
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-6\\
-6\\
-6\\
-6
\end{pmatrix}.
\]
Следовательно,
\[
v_4
=
\begin{pmatrix}
-18\\
0\\
0\\
18
\end{pmatrix}.
\]
Разделим все координаты этого вектора на \( -18 \). Тогда для \( \lambda_4=4 \) можно взять
\[
v_4=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
-1
\end{pmatrix}.
\]
Итак, для заданной матрицы собственные векторы можно записать так:
\[
\lambda_1=1: v_1=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_2=2: v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\\0\end{pmatrix},\qquad
\lambda_3=3: v_3=\begin{pmatrix}-2\\2\\-3\\2\end{pmatrix},\qquad
\lambda_4=4: v_4=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}.
\]
Что Стоит Рассмотреть Дальше: Темы для Продолжения
После метода Крылова стоит сравнить его с другими подходами. Так легче увидеть, как одна и та же задача решается разными способами. Итак, какие темы могут быть следующими?
- Характеристический определитель: Собственные значения и векторы — В статье говорится о том, как через характеристический определитель найти собственные значения и построить соответствующие векторы.
- Метод Данилевского: Собственные значения матрицы — Материал объясняет, как преобразования Данилевского приводят матрицу к форме, из которой легко получить собственные значения.
- Собственные векторы матрицы: Продолжение метода Данилевского — Статья показывает, как после нахождения собственных значений перейти к построению собственных векторов методом Данилевского.
Собственные Векторы Матрицы: Алгоритм для Программной Реализации
Если вы любите программирование, то этот этап может быть самым интересным. Метод Крылова уже дал нам понятную последовательность действий: построить векторы Крылова, найти коэффициенты вспомогательного многочлена, вычислить собственный вектор и проверить полученный результат.
Теперь все это можно превратить в программу на любом языке: Pascal, Python, C++, JavaScript или другом, который вам нравится. Посмотрите на блок-схему ниже и попробуйте самостоятельно реализовать этот алгоритм. Разве не интересно увидеть, как теоретические формулы превращаются в реальный код?
