Формула Ньютона–Лейбница устанавливает связь между определенным интегралом и первообразной функции. Благодаря этому вычисление интеграла сводится к нахождению первообразной и её значений при заданных пределах интегрирования. Как именно работает эта формула и на что нужно обратить внимание при её применении? Рассмотрим последовательно.
Формула Ньютона–Лейбница: Вычисление Определенного Интеграла
Пусть функция \( f(x) \) непрерывна на отрезке \( [a,b] \), а \( F(x) \) является её первообразной. То есть
\[ F'(x)=f(x). \]
Тогда определенный интеграл можно вычислить по формуле
\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \]
Это и есть формула Ньютона–Лейбница. Она показывает, что для нахождения значения определенного интеграла достаточно найти первообразную \( F(x) \), вычислить \( F(b) \) и вычесть \( F(a) \).
Формулу также часто записывают в сокращённом виде:
\[ \int_a^b f(x)\,dx=\left.F(x)\right|_a^b, \]
где обозначение
\[ \left.F(x)\right|_a^b \]
означает
\[ F(b)-F(a). \]
Следовательно, порядок подстановки пределов имеет значение. Сначала вычисляют значение первообразной для верхнего предела, а затем из него вычитают значение первообразной для нижнего предела.
Возникает естественный вопрос: какую именно первообразную нужно брать? Ведь одна и та же функция имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются постоянной:
\[ F_1(x)=F(x)+C. \]
Однако эта постоянная не влияет на значение определенного интеграла, поскольку
\[ F_1(b)-F_1(a)=F(b)+C-\bigl(F(a)+C\bigr)=F(b)-F(a). \]
Именно поэтому при вычислении определенного интеграла постоянную \( C \) записывать не нужно.
Следовательно, после нахождения первообразной достаточно вычислить \( F(b) \) и \( F(a) \), а затем найти их разность. Важно помнить, что пределы интегрирования подставляют именно в первообразную \(F(x)\), а не в исходную функцию \(f(x)\).
Кроме того, из формулы Ньютона–Лейбница непосредственно следует, что изменение порядка пределов меняет знак интеграла:
\[ \int_b^a f(x)\,dx=F(a)-F(b) =-\bigl(F(b)-F(a)\bigr), \]
поэтому
\[ \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx. \]
Если же пределы интегрирования совпадают, получаем
\[ \int_a^a f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0. \]
Таким образом, формула Ньютона–Лейбница позволяет свести вычисление определенного интеграла к нахождению значений первообразной. Главное — правильно найти первообразную, не перепутать порядок пределов и внимательно выполнить подстановку.
Формула Ньютона–Лейбница: Практические Примеры Вычисления Интегралов
После знакомства с формулой Ньютона–Лейбница стоит рассмотреть, как она работает при непосредственных вычислениях. В каждом случае сначала найдём первообразную, а затем вычислим её значения при заданных пределах интегрирования.
Пример 1. Вычислить определенный интеграл
\[
\int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx.
\]
Сначала найдём первообразную для подынтегральной функции:
\[ \int (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx=x^3+x^2. \]
Следовательно,
\[ F(x)=x^3+x^2. \]
Теперь применим формулу Ньютона–Лейбница:
\[ \int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx = \left.(x^3+x^2)\right|_0^2. \]
Подставляем верхний предел:
\[ F(2)=2^3+2^2=8+4=12. \]
Далее подставляем нижний предел:
\[ F(0)=0^3+0^2=0. \]
Находим разность:
\[ F(2)-F(0)=12-0=12. \]
Следовательно,
\[ \int_0^2 (3\cdot x^2+2\cdot x)\,dx=12. \]
Пример 2. Вычислить определенный интеграл
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx.
\]
Первообразной для функции \( \cos(x) \) является
\[ F(x)=\sin(x), \]
поскольку
\[ (\sin(x))'=\cos(x). \]
По формуле Ньютона–Лейбница получаем
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx = \left.\sin(x)\right|_0^{\frac{\pi}{2}}. \]
Сначала вычисляем значение первообразной для верхнего предела:
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1. \]
Затем находим значение первообразной для нижнего предела:
\[ F(0)=\sin(0)=0. \]
Поэтому
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)=1-0=1. \]
Следовательно,
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=1. \]
Пример 3. Вычислить определенный интеграл
\[
\int_1^e \frac{1}{x}\,dx.
\]
Первообразной для функции
\[ \frac{1}{x} \]
является
\[ F(x)=\ln(x), \]
поскольку
\[ (\ln(x))'=\frac{1}{x}. \]
Поэтому по формуле Ньютона–Лейбница
\[ \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \left.\ln(x)\right|_1^e. \]
Сначала вычисляем значение первообразной для верхнего предела:
\[ F(e)=\ln(e)=1. \]
Теперь подставляем нижний предел:
\[ F(1)=\ln(1)=0. \]
Находим разность:
\[ F(e)-F(1)=1-0=1. \]
Следовательно,
\[ \int_1^e \frac{1}{x}\,dx=1. \]
Пример 4. Вычислить определенный интеграл
\[
\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
\]
Сначала перепишем подынтегральную функцию в степенном виде:
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}. \]
Тогда
\[ \int x^{-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\cdot\sqrt{x}. \]
Следовательно, первообразной является
\[ F(x)=2\cdot\sqrt{x}. \]
По формуле Ньютона–Лейбница
\[ \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left.2\cdot\sqrt{x}\right|_1^4. \]
Вычисляем значение первообразной для верхнего предела:
\[ F(4)=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4. \]
Теперь находим значение первообразной для нижнего предела:
\[ F(1)=2\cdot\sqrt{1}=2. \]
Следовательно,
\[ F(4)-F(1)=4-2=2. \]
Поэтому
\[ \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2. \]
Пример 5. Вычислить определенный интеграл
\[
\int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx.
\]
Обратим внимание, что верхний предел здесь меньше нижнего. Однако формулу Ньютона–Лейбница можно применить без дополнительной перестановки пределов.
Найдём первообразную:
\[ \int (2\cdot x-3)\,dx=x^2-3\cdot x. \]
Следовательно,
\[ F(x)=x^2-3\cdot x. \]
Применяем формулу Ньютона–Лейбница:
\[ \int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx = \left.(x^2-3\cdot x)\right|_2^{-1}. \]
Сначала подставляем верхний предел \( -1 \):
\[ F(-1)=(-1)^2-3\cdot(-1)=1+3=4. \]
Далее подставляем нижний предел \( 2 \):
\[ F(2)=2^2-3\cdot2=4-6=-2. \]
Теперь находим разность:
\[ F(-1)-F(2)=4-(-2)=6. \]
Следовательно,
\[ \int_2^{-1}(2\cdot x-3)\,dx=6. \]
Следующий Шаг в Интегральном Исчислении: Темы Для Продолжения
После формулы Ньютона–Лейбница логично перейти к задачам, в которых определенный интеграл приобретает геометрический смысл. Следующие темы покажут, как определенные интегралы используют для нахождения площадей, объёмов и длин.
- Площадь фигуры с помощью интеграла: Формулы и примеры — В статье рассмотрим, как с помощью определенного интеграла находить площади фигур, ограниченных графиками функций и прямыми.
- Объём тела вращения: Применение определенного интеграла — Материал объяснит, как определенный интеграл помогает вычислять объёмы тел, образованных при вращении плоских фигур.
- Длина дуги кривой: Формула через определенный интеграл — В статье речь пойдёт о вычислении длины дуги графика функции и о роли определенного интеграла в таких задачах.
Формула Ньютона–Лейбница: От Математики К Программированию
Если вам нравится программирование, попробуйте превратить полученные знания о формуле Ньютона–Лейбница в собственный программный код. На блок-схеме ниже показан алгоритм вычисления определенного интеграла для функции
\[ f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c. \]
Алгоритм принимает коэффициенты функции и пределы интегрирования, вычисляет значения первообразной для каждого предела и находит их разность. Реализуйте этот алгоритм на своём любимом языке программирования и проверьте его для различных входных данных.
