Апофема пятиугольника — это перпендикулярное расстояние от центра правильного пятиугольника до одной из его сторон (то есть до точки касания вписанной окружности к стороне). Её также можно рассматривать как радиус окружности, вписанной в правильный пятиугольник. Чаще всего апофему используют, когда нужно вычислить площадь правильного многоугольника.
В этой статье мы научимся находить апофему правильного пятиугольника по известной стороне. А ещё — применим формулу на практике в нескольких примерах.
Шаг за Шагом к Формуле: Апофема Пятиугольника
Чтобы вывести формулу апофемы, рассмотрим правильный пятиугольник \( ABCDE \) с центром \( O \). Проведём от центра отрезки ко всем вершинам — так пятиугольник разобьётся на пять равных равнобедренных треугольников. Возьмём один из них, например треугольник \( AOB \).
Пусть \( F \) — середина стороны \( AB \). Тогда отрезок \( OF \) перпендикулярен \( AB \) и является апофемой. При этом \( OF \) — это высота треугольника \( AOB \), которая делит основание \( AB \) пополам, то есть:
\[
AF = FB = \frac{AB}{2}.
\]
Теперь посмотрим на центральный угол. Полный угол вокруг точки \( O \) равен \( 360^\circ \). Поскольку треугольников пять, то
\[
\angle AOB = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ.
\]
Высота \( OF \) делит треугольник \( AOB \) на два равных прямоугольных треугольника, поэтому
\[
\angle AOF = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ.
\]
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( AOF \). В нём:
- Противолежащий катет к углу \( 36^\circ \) — это \( AF=\dfrac{AB}{2} \).
- Прилежащий катет — это \( OF \) (апофема).
По определению тангенса:
\[
\tan(36^\circ)=\frac{AF}{OF}=\frac{\dfrac{AB}{2}}{OF}.
\]
Отсюда
\[
OF=\frac{AB}{2\cdot\tan(36^\circ)}.
\]
Замечание. Если обозначить длину стороны правильного пятиугольника через \( a \), а апофему через \( h \), то формула принимает привычный вид:
\[
h=\dfrac{a}{2 \cdot \tan(36^\circ)}.
\]
Апофема Пятиугольника: Примеры с Ответами
Формула апофемы пятиугольника используется для решения следующих примеров. К каждому примеру дано решение, но мы рекомендуем сначала попробовать решить задачу самостоятельно — и только потом смотреть ответ.
Пример 1. Какова длина апофемы пятиугольника со стороной 4 см?
По условию \( a=4 \) см. Используем формулу апофемы:
\[
h=\frac{a}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}=\frac{4}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}\approx 2.75.
\]
Значит, апофема пятиугольника равна \( 2.75 \) см.
Пример 2. Длина стороны пятиугольника равна 5 см. Какова длина его апофемы?
В этом случае \( a=5 \) см. Подставим значение в формулу:
\[
h=\frac{a}{2\cdot \tan\left(36^\circ\right)}=\frac{5}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}\approx 3.44.
\]
Таким образом, апофема пятиугольника равна \( 3.44 \) см.
Пример 3. Пятиугольник имеет сторону 10 см. Какова длина его апофемы?
По условию \( a=10 \) см. Подставляем в формулу \( h=\dfrac{a}{2\cdot\tan(36^\circ)} \):
\[
h=\frac{a}{2\cdot \tan\left(36^\circ\right)}=\frac{10}{2\cdot\tan\left(36^\circ\right)}\approx 6.88.
\]
Отсюда длина апофемы пятиугольника равна \( 6.88 \) см.
Пример 4. Апофема пятиугольника равна 7.6 см. Какова длина его стороны?
Здесь известно \( h=7.6 \) см. Из формулы \( h=\dfrac{a}{2\cdot\tan(36^\circ)} \) найдём \( a \):
\[
h=\dfrac{a}{2\cdot \tan(36^\circ)},\qquad
7.6=\dfrac{a}{2\cdot\tan(36^\circ)},\qquad
a=7.6\cdot\bigl(2\cdot\tan(36^\circ)\bigr)\approx 11.04.
\]
Значит, длина стороны пятиугольника равна \( 11.04 \) см.
Пример 5. Какова длина стороны пятиугольника с апофемой 6 см?
Имеем \( h=6 \) см. Найдём \( a \):
\[
h=\dfrac{a}{2\cdot \tan(36^\circ)},\qquad
6=\dfrac{a}{2\cdot \tan(36^\circ)},\qquad
a=6\cdot\bigl(2\cdot \tan(36^\circ)\bigr)\approx 8.72.
\]
Таким образом, длина стороны пятиугольника равна \( 8.72 \) см.
Смотрите Также: Что Ещё Стоит Повторить про Пятиугольник
Хотите лучше разобраться с пятиугольниками и быстрее выполнять вычисления? Тогда эти материалы будут очень кстати:
- Периметр пятиугольника: Формулы и примеры — Коротко и по шагам: как найти периметр пятиугольника и не запутаться в формулах и подстановках.
- Площадь пятиугольника: Формулы и примеры — Объясняем, как вычислять площадь правильного пятиугольника через сторону и апофему на наглядных примерах.
- Внутренние углы многоугольника: Формула и примеры — Узнаете, как находить сумму и величину углов в пятиугольнике и применять это в задачах.
От Формулы к Коду: Попробуете Запрограммировать Апофему?
А теперь — самое интересное для тех, кто любит программирование. Посмотрите на блок-схему ниже и попробуйте написать программу, которая делает то же самое, но уже на вашем любимом языке. Это может быть Python, JavaScript, C#, Java или даже PHP для сайта. Приятный бонус в том, что результат сразу можно превратить в маленький «геометрический калькулятор». Удобно, правда? И когда ваш код выдаст апофему по введённой стороне, вы почувствуете, что формула действительно работает не только на бумаге.
