Несобственные интегралы расширяют понятие определенного интеграла на случаи, когда промежуток интегрирования является бесконечным или функция становится неограниченной. В таких ситуациях главный вопрос заключается уже не только в вычислении интеграла, но и в том, можно ли вообще получить конечный результат.
Именно поэтому при работе с несобственными интегралами особое внимание уделяют сходимости и расходимости. Далее рассмотрим, какие виды несобственных интегралов существуют, как правильно определять их с помощью пределов и при каких условиях они имеют конечное значение.
Несобственный Интеграл: Почему Нужен Предельный Переход
Для обычного определенного интеграла функцию рассматривают на конечном промежутке \( [a,b] \). При соответствующих условиях можно записать
\[
\int_a^b f(x)\,dx.
\]
Но что делать, если один из пределов интегрирования является бесконечным? Или если функция становится неограниченной вблизи некоторой точки промежутка? В таких случаях обычное определение определенного интеграла нельзя применить непосредственно.
Вместо этого несобственный интеграл определяют с помощью предельного перехода. Для этого бесконечный предел или точку, вблизи которой функция становится неограниченной, заменяют переменным пределом интегрирования. После этого вычисляют определенный интеграл на соответствующем конечном промежутке, а затем исследуют предел полученного выражения.
Например, символ \( +\infty \) в верхнем пределе интегрирования не означает, что бесконечность нужно подставить в первообразную вместо числа. Бесконечность не является числовым значением. Она лишь показывает, что верхний предел интегрирования неограниченно удаляется.
Похожий подход используют и тогда, когда функция становится неограниченной вблизи некоторой точки. В этом случае переменный предел интегрирования приближается к этой точке слева или справа в зависимости от её положения на промежутке.
Итак, несобственный интеграл не вычисляют непосредственно так же, как обычный определенный интеграл. Сначала его записывают через соответствующий предел, а уже затем исследуют полученное выражение. Далее рассмотрим, как этот подход применяют для несобственных интегралов первого и второго рода.
Бесконечный Промежуток: Несобственные Интегралы Первого Рода
Если хотя бы один из пределов интегрирования является бесконечным, получаем несобственный интеграл первого рода.
Сначала рассмотрим случай, когда бесконечным является верхний предел интегрирования:
\[
\int_a^{+\infty} f(x)\,dx.
\]
Чтобы придать этой записи точный математический смысл, заменим \( +\infty \) конечным переменным пределом \( b \):
\[
\int_a^{+\infty} f(x)\,dx
=
\lim_{b\to+\infty}
\int_a^b f(x)\,dx.
\]
Сначала функцию интегрируют на обычном конечном промежутке \( [a,b] \). Затем значение \( b \) увеличивают и исследуют, как изменяется значение полученного определенного интеграла.
Если бесконечным является нижний предел интегрирования, используют аналогичный подход:
\[
\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx
=
\lim_{a\to-\infty}
\int_a^b f(x)\,dx.
\]
Здесь переменный предел \( a \) неограниченно удаляется в отрицательном направлении.
Отдельного внимания требует случай, когда бесконечными являются оба предела:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx.
\]
Такой интеграл не определяют с помощью одного одновременного перехода обоих пределов к бесконечности. Вместо этого выбирают произвольную конечную точку \( c \) и разделяют промежуток:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx
=
\int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx
+
\int_c^{+\infty} f(x)\,dx.
\]
После этого каждую часть записывают через свой предел:
\[
\begin{gathered}
\int_{-\infty}^{c} f(x)\,dx
=
\lim_{a\to-\infty}
\int_a^c f(x)\,dx,\\[6pt]
\int_c^{+\infty} f(x)\,dx
=
\lim_{b\to+\infty}
\int_c^b f(x)\,dx.
\end{gathered}
\]
Почему нужно использовать именно два независимых предельных перехода? Потому что поведение функции при \( x\to-\infty \) и при \( x\to+\infty \) может быть разным. Следовательно, левую и правую бесконечные части необходимо исследовать отдельно.
Неограниченная Функция: Несобственные Интегралы Второго Рода
Бесконечный промежуток — не единственная причина появления несобственного интеграла. Промежуток может оставаться конечным, но сама функция может быть неограниченной вблизи одной из его точек. В таком случае получаем несобственный интеграл второго рода.
Предположим, что функция \( f(x) \) неограничена при приближении к правому концу промежутка \( b \). Тогда
\[
\int_a^b f(x)\,dx
\]
определяют по формуле
\[
\int_a^b f(x)\,dx
=
\lim_{t\to b-}
\int_a^t f(x)\,dx.
\]
Обозначение \( t\to b- \) означает, что точка \( t \) приближается к \( b \) слева. Таким образом, при вычислении обычного определенного интеграла мы не доходим непосредственно до точки, вблизи которой функция становится неограниченной.
Если функция неограничена вблизи левой границы промежутка \( a \), используют правостороннее приближение:
\[
\int_a^b f(x)\,dx
=
\lim_{t\to a+}
\int_t^b f(x)\,dx.
\]
Здесь запись \( t\to a+ \) означает, что \( t \) приближается к точке \( a \) справа.
Ещё один важный случай возникает, когда функция неограничена во внутренней точке промежутка. Пусть \( c\in(a,b) \), и именно вблизи \( c \) функция становится неограниченной. Тогда интеграл разделяют на две части:
\[
\int_a^b f(x)\,dx
=
\int_a^c f(x)\,dx
+
\int_c^b f(x)\,dx.
\]
Первую часть определяют через левосторонний предел:
\[
\int_a^c f(x)\,dx
=
\lim_{t\to c-}
\int_a^t f(x)\,dx,
\]
а вторую — через правосторонний:
\[
\int_c^b f(x)\,dx
=
\lim_{t\to c+}
\int_t^b f(x)\,dx.
\]
Зачем здесь нужны два разных предела? Функция может вести себя по-разному слева и справа от точки \( c \). Именно поэтому обе части необходимо исследовать независимо.
Иногда в одном интеграле одновременно присутствуют несколько причин несобственности. Например, промежуток может быть бесконечным, а функция одновременно — неограниченной в некоторой его точке. Тогда промежуток разбивают на части так, чтобы каждую причину несобственности можно было исследовать с помощью отдельного предельного перехода.
Сходимость и Расходимость: Условия Существования Несобственного Интеграла
Теперь, когда несобственный интеграл можно правильно записать через один или несколько пределов, возникает главный вопрос: имеет ли он конечное числовое значение?
Несобственный интеграл называют сходящимся, если соответствующие пределы существуют и каждый из них равен конечному числу.
Например, если
\[
\lim_{b\to+\infty}
\int_a^b f(x)\,dx=L,
\qquad L\in\mathbb{R},
\]
то
\[
\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=L.
\]
Число \( L \) в этом случае и является значением несобственного интеграла.
Если же необходимый предел не существует или не является конечным, несобственный интеграл называют расходящимся. В частности, так происходит, если соответствующее выражение неограниченно возрастает, неограниченно убывает или не приближается к конечному числу.
Если несобственный интеграл состоит из нескольких несобственных частей, он сходится только тогда, когда каждая из них сходится отдельно. Расходимость хотя бы одной части означает расходимость всего интеграла.
Итак, при работе с несобственным интегралом важно соблюдать чёткую последовательность. Сначала нужно определить причину его несобственности, затем правильно записать интеграл через соответствующие пределы и только после этого исследовать их существование. Именно результат такого исследования показывает, можно ли придать несобственному интегралу конечное числовое значение.
Несобственные Интегралы На Практике: Пошаговое Вычисление и Проверка Сходимости
Теперь применим рассмотренные определения непосредственно при вычислениях. В каждом случае сначала определим причину несобственности, затем запишем соответствующий предельный переход, найдём определенный интеграл и сделаем вывод о его сходимости или расходимости.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
\]
и определить, является ли он сходящимся.
Функция
\[
f(x)=\frac{1}{x^2}
\]
непрерывна на промежутке \( [1,+\infty) \). Причина несобственности связана с бесконечным верхним пределом.
Поэтому заменим \( +\infty \) переменным пределом \( b \):
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
=
\lim_{b\to+\infty}
\int_1^b\frac{1}{x^2}\,dx.
\]
Перепишем подынтегральную функцию в степенной форме:
\[
\frac{1}{x^2}=x^{-2}.
\]
Найдём первообразную:
\[
\int x^{-2}\,dx
=
-\frac{1}{x}.
\]
Следовательно,
\[
\int_1^b\frac{1}{x^2}\,dx
=
\left.-\frac{1}{x}\right|_1^b.
\]
Подставим пределы интегрирования:
\[
\left.-\frac{1}{x}\right|_1^b
=
-\frac{1}{b}-(-1)
=
1-\frac{1}{b}.
\]
Теперь найдём предел:
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx
=
\lim_{b\to+\infty}
\left(1-\frac{1}{b}\right).
\]
Поскольку
\[
\lim_{b\to+\infty}\frac{1}{b}=0,
\]
получим
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=1.
\]
Предел существует и имеет конечное значение. Следовательно, несобственный интеграл сходится, а его значение равно \( 1 \).
Пример 2. Исследовать несобственный интеграл
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx.
\]
Причиной несобственности снова является бесконечный верхний предел. Поэтому запишем интеграл через предел:
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx
=
\lim_{b\to+\infty}
\int_1^b\frac{1}{x}\,dx.
\]
Первообразной для функции \( 1/x \) на промежутке \( x>0 \) является \( \ln(x) \). Поэтому
\[
\int_1^b\frac{1}{x}\,dx
=
\left.\ln(x)\right|_1^b.
\]
Подставим пределы:
\[
\left.\ln(x)\right|_1^b
=
\ln(b)-\ln(1).
\]
Поскольку
\[
\ln(1)=0,
\]
получим
\[
\int_1^b\frac{1}{x}\,dx=\ln(b).
\]
Тогда
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx
=
\lim_{b\to+\infty}\ln(b).
\]
При \( b\to+\infty \) логарифм неограниченно возрастает:
\[
\lim_{b\to+\infty}\ln(b)=+\infty.
\]
Следовательно, конечного предела не существует, поэтому
\[
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx
\]
является расходящимся.
Этот результат показывает, что самого существования первообразной недостаточно для сходимости несобственного интеграла. Решающее значение имеет соответствующий предел.
Пример 3. Вычислить несобственный интеграл
\[
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
\]
и определить его сходимость.
Здесь промежуток интегрирования конечный, но функция
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}
\]
неограниченно возрастает при \( x\to0+ \). Поэтому получаем несобственный интеграл второго рода.
Заменим нижний предел \( 0 \) переменной \( a>0 \):
\[
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
=
\lim_{a\to0+}
\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.
\]
Перепишем подынтегральную функцию:
\[
\frac{1}{\sqrt{x}}
=
x^{-\frac12}.
\]
Найдём первообразную:
\[
\int x^{-\frac12}\,dx
=
2\cdot\sqrt{x}.
\]
Поэтому
\[
\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
=
\left.2\cdot\sqrt{x}\right|_a^1.
\]
Подставим пределы:
\[
\left.2\cdot\sqrt{x}\right|_a^1
=
2-2\cdot\sqrt{a}.
\]
Теперь найдём предел:
\[
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
=
\lim_{a\to0+}
\left(2-2\cdot\sqrt{a}\right).
\]
Поскольку
\[
\lim_{a\to0+}\sqrt{a}=0,
\]
получим
\[
\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2.
\]
Следовательно, несмотря на неограниченность функции вблизи точки \( x=0 \), соответствующий предел является конечным. Поэтому интеграл сходится, а его значение равно \( 2 \).
Пример 4. Исследовать несобственный интеграл
\[
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx.
\]
Пределы интегрирования являются конечными, однако функция
\[
f(x)=\frac{1}{x^2}
\]
не определена при \( x=0 \) и неограниченно возрастает вблизи этой точки.
Поскольку точка \( x=0 \), в которой функция не определена, находится внутри промежутка \( [-1,1] \), интеграл необходимо разделить в этой точке:
\[
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx
=
\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}\,dx
+
\int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx.
\]
Начнём с левой части:
\[
\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^2}\,dx
=
\lim_{a\to0-}
\int_{-1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx.
\]
Поскольку
\[
\int\frac{1}{x^2}\,dx
=
-\frac{1}{x},
\]
получим
\[
\int_{-1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx
=
\left.-\frac{1}{x}\right|_{-1}^{a}.
\]
Подставим пределы:
\[
\left.-\frac{1}{x}\right|_{-1}^{a}
=
-\frac{1}{a}-1.
\]
При \( a\to0- \)
\[
\frac{1}{a}\to-\infty,
\]
поэтому
\[
\lim_{a\to0-}
\left(-\frac{1}{a}-1\right)
=
+\infty.
\]
Следовательно, левый несобственный интеграл расходится. Этого достаточно, чтобы сделать вывод о расходимости всего интеграла.
Однако для полноты проверим также правую часть:
\[
\int_0^1\frac{1}{x^2}\,dx
=
\lim_{b\to0+}
\int_b^1\frac{1}{x^2}\,dx.
\]
Вычислим определенный интеграл:
\[
\int_b^1\frac{1}{x^2}\,dx
=
\left.-\frac{1}{x}\right|_b^1
=
-1+\frac{1}{b}.
\]
При \( b\to0+ \)
\[
\frac{1}{b}\to+\infty,
\]
поэтому
\[
\lim_{b\to0+}
\left(-1+\frac{1}{b}\right)
=
+\infty.
\]
Следовательно, оба несобственных интеграла расходятся. Поэтому
\[
\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx
\]
является расходящимся.
Этот случай показывает, почему перед применением формулы Ньютона–Лейбница необходимо проверять поведение функции на всём промежутке интегрирования.
Пример 5. Вычислить несобственный интеграл
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx
\]
и определить его сходимость.
Здесь бесконечными являются оба предела интегрирования. Поэтому выберем конечную точку \( 0 \) и разделим интеграл на две части:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx
+
\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
Сначала рассмотрим левую часть:
\[
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\lim_{a\to-\infty}
\int_a^0\frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
Первообразной для подынтегральной функции является \( \arctan(x) \). Поэтому
\[
\int_a^0\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\left.\arctan(x)\right|_a^0.
\]
Подставим пределы:
\[
\arctan(0)-\arctan(a)
=
-\arctan(a).
\]
Поскольку
\[
\lim_{a\to-\infty}\arctan(a)
=
-\frac{\pi}{2},
\]
получим
\[
\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\frac{\pi}{2}.
\]
Теперь рассмотрим правую часть:
\[
\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\lim_{b\to+\infty}
\int_0^b\frac{1}{1+x^2}\,dx.
\]
Имеем
\[
\int_0^b\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\left.\arctan(x)\right|_0^b
=
\arctan(b).
\]
Поскольку
\[
\lim_{b\to+\infty}\arctan(b)
=
\frac{\pi}{2},
\]
то
\[
\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\frac{\pi}{2}.
\]
Оба несобственных интеграла сходятся. Поэтому их значения можно сложить:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx
=
\frac{\pi}{2}
+
\frac{\pi}{2}
=
\pi.
\]
Следовательно,
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\pi.
\]
От Несобственных Интегралов К Новым Задачам: Что Изучать Дальше
Несобственные интегралы — лишь одно из направлений применения интегрального исчисления. Далее стоит перейти к темам, в которых интеграл помогает решать геометрические задачи и работать с функциями нескольких переменных.
- Площадь фигуры с помощью интеграла: Формулы и примеры — В статье рассмотрим, как с помощью определенного интеграла находить площади фигур, ограниченных графиками функций и заданными линиями.
- Длина дуги кривой: Формула через определенный интеграл — Узнаем, как вычислять длину дуги графика функции на заданном промежутке и последовательно применять определенный интеграл.
- Двойные интегралы: Смысл, область интегрирования и примеры — Разберём смысл двойного интеграла, научимся задавать область интегрирования и увидим, как выполняются основные вычисления.
Несобственные Интегралы В Коде: От Блок-Схемы До Собственной Программы
Если вам нравится программирование, попробуйте применить полученные знания о несобственных интегралах на практике. На блок-схеме ниже показан алгоритм, который последовательно увеличивает верхний предел интегрирования, сравнивает соседние приближения и завершает вычисления после достижения заданной точности. Попробуйте реализовать этот алгоритм на своём любимом языке программирования, запустите программу для разных значений точности и проследите, как вычисленный результат приближается к значению несобственного интеграла.
