Интегрирование тригонометрических функций не всегда сводится к непосредственному использованию таблицы первообразных. Часто подынтегральное выражение сначала нужно упростить с помощью тригонометрических тождеств или замены переменной. Как определить подходящий метод? Для этого следует проанализировать вид функций, их степени и связь между отдельными множителями.
Базовые Первообразные: Табличные Формулы и Линейный Аргумент
Простейшие тригонометрические интегралы находят непосредственно по таблице первообразных:
\[
\begin{gathered}
\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C,\\[4pt]
\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,\\[4pt]
\int \frac{dx}{\cos^2(x)}=\tan(x)+C,\\[4pt]
\int \frac{dx}{\sin^2(x)}=-\cot(x)+C.
\end{gathered}
\]
Для тангенса и котангенса используют формулы
\[
\begin{gathered}
\int \tan(x)\,dx=-\ln|\cos(x)|+C,\\[4pt]
\int \cot(x)\,dx=\ln|\sin(x)|+C.
\end{gathered}
\]
Почему в последних двух формулах появляется логарифм? Тангенс и котангенс можно представить как отношение синуса и косинуса:
\[
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)},
\qquad
\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
\]
Поэтому соответствующие интегралы имеют структуру стандартного выражения
\[
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C.
\]
Например, производная функции \( \cos(x) \) равна \( -\sin(x) \). Именно поэтому при интегрировании тангенса перед логарифмом появляется знак минус.
Отдельное внимание следует уделить тригонометрическим функциям с линейным аргументом. Если \( a\neq 0 \), то
\[
\begin{gathered}
\int \sin(a\cdot x+b)\,dx
=
-\frac{1}{a}\cdot\cos(a\cdot x+b)+C,\\[4pt]
\int \cos(a\cdot x+b)\,dx
=
\frac{1}{a}\cdot\sin(a\cdot x+b)+C.
\end{gathered}
\]
Коэффициент при \( x \) переходит в знаменатель. Почему так происходит? При дифференцировании сложной функции возникает дополнительный множитель \( a \). Следовательно, при интегрировании его нужно компенсировать.
Тот же принцип применяют и к другим тригонометрическим функциям:
\[
\begin{gathered}
\int \frac{dx}{\cos^2(a\cdot x+b)}
=
\frac{1}{a}\cdot\tan(a\cdot x+b)+C,\\[4pt]
\int \frac{dx}{\sin^2(a\cdot x+b)}
=
-\frac{1}{a}\cdot\cot(a\cdot x+b)+C.
\end{gathered}
\]
Таким образом, перед применением табличной формулы нужно проверить не только вид тригонометрической функции, но и её аргумент.
Интегрирование Тригонометрических Функций: Степени Синуса и Косинуса
После базовых формул перейдём к интегралам, содержащим степени синуса и косинуса:
\[
\int \sin^m(x)\cdot\cos^n(x)\,dx.
\]
Какое преобразование здесь выбрать? Прежде всего нужно определить, являются ли показатели \( m \) и \( n \) чётными или нечётными. От этого зависит, какую функцию удобно выбрать в качестве новой переменной.
Если степень синуса нечётная, один множитель \( \sin(x) \) отделяют. Оставшуюся степень преобразуют с помощью тождества
\[
\sin^2(x)=1-\cos^2(x).
\]
В результате все чётные степени синуса выражаются через косинус. После этого выполняют замену
\[
u=\cos(x),
\qquad
du=-\sin(x)\,dx.
\]
Рассмотрим структуру такого преобразования:
\[
\int \sin^3(x)\cdot\cos^2(x)\,dx.
\]
Нечётную степень синуса представим в виде
\[
\sin^3(x)=\sin(x)\cdot\sin^2(x).
\]
Далее заменим квадрат синуса:
\[
\sin^3(x)
=
\sin(x)\cdot\bigl(1-\cos^2(x)\bigr).
\]
Поэтому исходный интеграл принимает вид
\[
\int
\sin(x)\cdot
\bigl(1-\cos^2(x)\bigr)\cdot
\cos^2(x)\,dx.
\]
После замены \( u=\cos(x) \) получаем алгебраический интеграл:
\[
-\int \bigl(1-u^2\bigr)\cdot u^2\,du.
\]
Таким образом, отделённый множитель \( \sin(x) \) вместе с \( dx \) образует дифференциал новой переменной.
Если нечётной является степень косинуса, действуют аналогично. Один множитель \( \cos(x) \) отделяют, а оставшуюся степень преобразуют с помощью тождества
\[
\cos^2(x)=1-\sin^2(x).
\]
Затем используют замену
\[
u=\sin(x),
\qquad
du=\cos(x)\,dx.
\]
Например, степень косинуса можно преобразовать так:
\[
\cos^3(x)
=
\cos(x)\cdot\cos^2(x)
=
\cos(x)\cdot\bigl(1-\sin^2(x)\bigr).
\]
После этого всё подынтегральное выражение можно представить через \( \sin(x) \), а множитель \( \cos(x)\,dx \) заменить на \( du \).
Что делать, если оба показателя чётные? В таком случае невозможно отделить один множитель синуса или косинуса, который сразу образует дифференциал новой переменной. Поэтому применяют формулы понижения степени:
\[
\begin{gathered}
\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2\cdot x)}{2},\\[4pt]
\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2\cdot x)}{2}.
\end{gathered}
\]
Например,
\[
\sin^2(x)\cdot\cos^2(x)
=
\frac{1-\cos(2\cdot x)}{2}
\cdot
\frac{1+\cos(2\cdot x)}{2}.
\]
Далее перемножают полученные выражения и упрощают результат. В результате степени тригонометрических функций понижаются. Если в выражении снова появляется квадрат тригонометрической функции, формулу понижения степени применяют ещё раз.
Таким образом, при нечётной степени обычно отделяют один множитель и выполняют замену переменной. Если же обе степени чётные, их последовательно понижают с помощью формул понижения степени.
Интегрирование Тригонометрических Функций: Степени Тангенса, Котангенса, Секанса и Косеканса
Теперь рассмотрим интегралы, содержащие тангенс и секанс. Секанс определяется как величина, обратная косинусу:
\[
\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}.
\]
Косеканс определяется как величина, обратная синусу:
\[
\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}.
\]
Интегралы со степенями тангенса и секанса обычно имеют вид
\[
\int \tan^m(x)\cdot\sec^n(x)\,dx.
\]
Для их преобразования используют тождества
\[
\begin{gathered}
\sec^2(x)=1+\tan^2(x),\\[4pt]
\tan^2(x)=\sec^2(x)-1.
\end{gathered}
\]
Важную роль играют также производные
\[
\begin{gathered}
\bigl(\tan(x)\bigr)’=\sec^2(x),\\[4pt]
\bigl(\sec(x)\bigr)’=\sec(x)\cdot\tan(x).
\end{gathered}
\]
Именно эти соотношения определяют последовательность выбора замены.
Сначала проверяют степень секанса. Если она чётная, отделяют один множитель \( \sec^2(x) \). Оставшуюся чётную степень секанса выражают через тангенс, после чего выполняют замену
\[
u=\tan(x),
\qquad
du=\sec^2(x)\,dx.
\]
Рассмотрим промежуточное преобразование:
\[
\int \tan^3(x)\cdot\sec^4(x)\,dx.
\]
Степень секанса чётная, поэтому представим её так:
\[
\sec^4(x)=\sec^2(x)\cdot\sec^2(x).
\]
Один из множителей заменим с помощью тождества
\[
\sec^2(x)=1+\tan^2(x).
\]
Тогда получаем
\[
\int
\tan^3(x)\cdot
\bigl(1+\tan^2(x)\bigr)\cdot
\sec^2(x)\,dx.
\]
После замены \( u=\tan(x) \) интеграл принимает алгебраический вид:
\[
\int u^3\cdot\bigl(1+u^2\bigr)\,du.
\]
Если степень секанса нечётная, проверяют степень тангенса. Когда степень тангенса также нечётная, отделяют произведение
\[
\sec(x)\cdot\tan(x).
\]
Оставшуюся чётную степень тангенса выражают через секанс по формуле
\[
\tan^2(x)=\sec^2(x)-1.
\]
После этого применяют замену
\[
u=\sec(x),
\qquad
du=\sec(x)\cdot\tan(x)\,dx.
\]
Например, нечётную степень тангенса можно представить так:
\[
\tan^3(x)
=
\tan^2(x)\cdot\tan(x)
=
\bigl(\sec^2(x)-1\bigr)\cdot\tan(x).
\]
Если рядом есть множитель \( \sec(x) \), произведение \( \sec(x)\cdot\tan(x)\,dx \) образует дифференциал новой переменной.
Если ни одно из этих правил не даёт удобного преобразования, может потребоваться применение другого тригонометрического тождества или интегрирование по частям.
Аналогичный подход применяют к степеням котангенса и косеканса. Здесь используют тождество
\[
\csc^2(x)=1+\cot^2(x)
\]
и производные
\[
\begin{gathered}
\bigl(\cot(x)\bigr)’=-\csc^2(x),\\[4pt]
\bigl(\csc(x)\bigr)’=-\csc(x)\cdot\cot(x).
\end{gathered}
\]
В этих формулах появляется знак минус. Поэтому при замене переменной его обязательно нужно учитывать.
Произведения Тригонометрических Функций: Преобразование Произведения в Сумму
В предыдущих разделах рассматривались степени тригонометрических функций с одинаковым аргументом. Теперь перейдём к произведениям синусов и косинусов, аргументы которых могут отличаться.
Непосредственно интегрировать такие произведения обычно неудобно. Как изменить их структуру? Для этого используют формулы преобразования произведения в сумму:
\[
\begin{gathered}
\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)
\bigr),\\[4pt]
\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)
\bigr),\\[4pt]
\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)
\bigr).
\end{gathered}
\]
Например, для интеграла
\[
\int \sin(3\cdot x)\cdot\cos(2\cdot x)\,dx
\]
используют третью формулу:
\[
\sin(3\cdot x)\cdot\cos(2\cdot x)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\sin(5\cdot x)+\sin(x)
\bigr).
\]
Поэтому исходный интеграл преобразуется в
\[
\frac{1}{2}\cdot
\int
\bigl(
\sin(5\cdot x)+\sin(x)
\bigr)\,dx.
\]
Полученное выражение уже не содержит произведения. Оно состоит из суммы стандартных тригонометрических функций с линейными аргументами.
Отдельно стоит помнить формулу
\[
\sin(2\cdot x)=2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x).
\]
Она позволяет заменить произведение \( \sin(x)\cdot\cos(x) \) одной тригонометрической функцией:
\[
\sin(x)\cdot\cos(x)
=
\frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x).
\]
Таким образом, для произведений функций с разными аргументами используют формулы преобразования произведения в сумму. Если же аргументы одинаковые, иногда достаточно формулы синуса двойного угла.
Интегрирование Тригонометрических Функций: Рациональные Выражения с Синусом и Косинусом
Более сложными являются интегралы вида
\[
\int R\bigl(\sin(x),\cos(x)\bigr)\,dx,
\]
где \( R \) — рациональная функция от \( \sin(x) \) и \( \cos(x) \). Это означает, что синус и косинус входят в выражение с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и целых степеней.
Сначала нужно проверить, содержит ли подынтегральное выражение некоторую функцию и её производную или выражение, пропорциональное этой производной. В таком случае достаточно простой замены переменной.
Если в выражении присутствуют \( \sin(x) \) и множитель \( \cos(x)\,dx \), удобно положить
\[
u=\sin(x),
\qquad
du=\cos(x)\,dx.
\]
Например, в интеграле
\[
\int \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)}\,dx
\]
числитель является производной синуса. Поэтому после замены \( u=\sin(x) \) получаем
\[
\int \frac{du}{1+u}.
\]
Тригонометрические функции исчезают, а исходный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции переменной \( u \).
Если подынтегральное выражение содержит \( \cos(x) \) и множитель \( \sin(x)\,dx \), удобно использовать замену
\[
u=\cos(x),
\qquad
du=-\sin(x)\,dx.
\]
Например,
\[
\int \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}\,dx
\]
после замены \( u=\cos(x) \) принимает вид
\[
-\int \frac{du}{2+u}.
\]
Знак минус появляется из-за производной косинуса. Поэтому его необходимо сохранить при переходе к новой переменной.
Иногда подынтегральное выражение содержит производную тангенса. Тогда применяют замену
\[
u=\tan(x),
\qquad
du=\frac{dx}{\cos^2(x)}.
\]
Например,
\[
\int
\frac{dx}
{\cos^2(x)\cdot\bigl(1+\tan(x)\bigr)}
\]
после замены \( u=\tan(x) \) преобразуется в
\[
\int \frac{du}{1+u}.
\]
Такая замена удобна, поскольку множитель \( 1/\cos^2(x) \) совпадает с производной тангенса.
Однако простая замена срабатывает не всегда. Если синус и косинус одновременно входят в числитель или знаменатель, а производная ни одной из функций не образует нужного множителя, используют универсальную тригонометрическую подстановку
\[
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right).
\]
При этой замене синус и косинус выражаются как рациональные функции от \( t \):
\[
\begin{gathered}
\sin(x)=\frac{2\cdot t}{1+t^2},\\[4pt]
\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\[4pt]
dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt.
\end{gathered}
\]
Почему эту подстановку называют универсальной? Она позволяет одновременно исключить из подынтегрального выражения и синус, и косинус.
Рассмотрим структуру интеграла
\[
\int \frac{dx}{2+\sin(x)+\cos(x)}.
\]
После подстановки \( t=\tan(x/2) \) получаем
\[
\int
\frac{
\frac{2}{1+t^2}\,dt
}{
2+
\frac{2\cdot t}{1+t^2}
+
\frac{1-t^2}{1+t^2}
}.
\]
Приведём выражения в знаменателе к общему знаменателю. В результате интеграл принимает вид
\[
\int
\frac{2}{t^2+2\cdot t+3}\,dt.
\]
Таким образом, все тригонометрические функции исчезли, а исходный интеграл превратился в интеграл от рациональной функции.
Универсальная подстановка подходит для широкого класса выражений. Однако она часто приводит к более длинным алгебраическим преобразованиям. Поэтому перед её применением нужно проверить, нельзя ли использовать более простую замену через \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) или \( \tan(x) \).
Практические Задачи: Пошаговое Интегрирование Тригонометрических Выражений
Рассмотрим, как основные методы интегрирования применяются к различным тригонометрическим выражениям. В каждом случае сначала проанализируем структуру подынтегральной функции, а затем выберем подходящее тождество или замену переменной.
Пример 1. Найти интеграл
\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^3(x)\,dx.
\]
Подынтегральное выражение содержит нечётную степень косинуса. Поэтому отделим один множитель \( \cos(x) \), а квадрат косинуса выразим через синус:
\[
\cos^3(x)
=
\cos^2(x)\cdot\cos(x).
\]
Используем тождество
\[
\cos^2(x)=1-\sin^2(x).
\]
Тогда
\[
\cos^3(x)
=
\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\cdot\cos(x).
\]
Исходный интеграл принимает вид
\[
\int
\sin^2(x)\cdot
\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)\cdot
\cos(x)\,dx.
\]
Теперь выполним замену
\[
u=\sin(x).
\]
Поскольку
\[
du=\cos(x)\,dx,
\]
то после замены получаем
\[
\int
u^2\cdot\bigl(1-u^2\bigr)\,du.
\]
Раскроем скобки:
\[
\int \bigl(u^2-u^4\bigr)\,du.
\]
Проинтегрируем каждое слагаемое:
\[
\int \bigl(u^2-u^4\bigr)\,du
=
\frac{u^3}{3}
—
\frac{u^5}{5}
+
C.
\]
Возвращаемся к переменной \( x \):
\[
u=\sin(x).
\]
Следовательно,
\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^3(x)\,dx
=
\frac{\sin^3(x)}{3}
—
\frac{\sin^5(x)}{5}
+
C.
\]
Пример 2. Найти интеграл
\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^2(x)\,dx.
\]
Обе тригонометрические функции имеют чётные степени. Поэтому отделить один множитель для замены переменной не удаётся. В этом случае применим формулы понижения степени.
Сначала используем формулу синуса двойного угла:
\[
\sin(2\cdot x)
=
2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x).
\]
Отсюда
\[
\sin(x)\cdot\cos(x)
=
\frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x).
\]
Возведём обе части равенства в квадрат:
\[
\sin^2(x)\cdot\cos^2(x)
=
\frac{1}{4}\cdot\sin^2(2\cdot x).
\]
Поэтому исходный интеграл принимает вид
\[
\frac{1}{4}\cdot
\int \sin^2(2\cdot x)\,dx.
\]
Теперь применим формулу понижения степени:
\[
\sin^2(2\cdot x)
=
\frac{1-\cos(4\cdot x)}{2}.
\]
Следовательно,
\[
\frac{1}{4}\cdot
\int \sin^2(2\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{8}\cdot
\int
\bigl(1-\cos(4\cdot x)\bigr)\,dx.
\]
Разделим интеграл на два слагаемых:
\[
\frac{1}{8}\cdot\int dx
—
\frac{1}{8}\cdot\int\cos(4\cdot x)\,dx.
\]
Первый интеграл равен
\[
\int dx=x.
\]
Для второго интеграла учтём линейный аргумент:
\[
\int\cos(4\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{4}\cdot\sin(4\cdot x).
\]
Поэтому
\[
\int \sin^2(x)\cdot\cos^2(x)\,dx
=
\frac{x}{8}
—
\frac{1}{32}\cdot\sin(4\cdot x)
+
C.
\]
Пример 3. Найти интеграл
\[
\int \tan^2(x)\cdot\sec^4(x)\,dx.
\]
Степень секанса чётная. Поэтому отделим один множитель \( \sec^2(x) \), который вместе с \( dx \) образует дифференциал тангенса:
\[
\sec^4(x)
=
\sec^2(x)\cdot\sec^2(x).
\]
Исходный интеграл перепишем так:
\[
\int
\tan^2(x)\cdot
\sec^2(x)\cdot
\sec^2(x)\,dx.
\]
Один из множителей \( \sec^2(x) \) выразим через тангенс:
\[
\sec^2(x)=1+\tan^2(x).
\]
Тогда получаем
\[
\int
\tan^2(x)\cdot
\bigl(1+\tan^2(x)\bigr)\cdot
\sec^2(x)\,dx.
\]
Выполним замену
\[
u=\tan(x).
\]
Поскольку
\[
du=\sec^2(x)\,dx,
\]
интеграл принимает вид
\[
\int
u^2\cdot\bigl(1+u^2\bigr)\,du.
\]
Раскроем скобки:
\[
\int \bigl(u^2+u^4\bigr)\,du.
\]
Проинтегрируем каждое слагаемое:
\[
\int \bigl(u^2+u^4\bigr)\,du
=
\frac{u^3}{3}
+
\frac{u^5}{5}
+
C.
\]
Возвращаемся к исходной переменной:
\[
u=\tan(x).
\]
Таким образом,
\[
\int \tan^2(x)\cdot\sec^4(x)\,dx
=
\frac{\tan^3(x)}{3}
+
\frac{\tan^5(x)}{5}
+
C.
\]
Пример 4. Найти интеграл
\[
\int \cos(5\cdot x)\cdot\cos(3\cdot x)\,dx.
\]
Подынтегральное выражение содержит произведение косинусов с разными аргументами. Поэтому используем формулу
\[
\cos(\alpha)\cdot\cos(\beta)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)
\bigr).
\]
В нашем случае
\[
\alpha=5\cdot x,
\qquad
\beta=3\cdot x.
\]
Тогда
\[
\cos(5\cdot x)\cdot\cos(3\cdot x)
=
\frac{1}{2}\cdot
\bigl(
\cos(2\cdot x)+\cos(8\cdot x)
\bigr).
\]
Исходный интеграл преобразуется в
\[
\frac{1}{2}\cdot
\int
\bigl(
\cos(2\cdot x)+\cos(8\cdot x)
\bigr)\,dx.
\]
Разделим его на два интеграла:
\[
\frac{1}{2}\cdot
\int\cos(2\cdot x)\,dx
+
\frac{1}{2}\cdot
\int\cos(8\cdot x)\,dx.
\]
Для первого интеграла имеем
\[
\int\cos(2\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x).
\]
Для второго интеграла
\[
\int\cos(8\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{8}\cdot\sin(8\cdot x).
\]
Подставим найденные первообразные:
\[
\frac{1}{2}\cdot
\frac{1}{2}\cdot
\sin(2\cdot x)
+
\frac{1}{2}\cdot
\frac{1}{8}\cdot
\sin(8\cdot x)
+
C.
\]
После упрощения получаем
\[
\int \cos(5\cdot x)\cdot\cos(3\cdot x)\,dx
=
\frac{1}{4}\cdot\sin(2\cdot x)
+
\frac{1}{16}\cdot\sin(8\cdot x)
+
C.
\]
Пример 5. Найти интеграл
\[
\int
\frac{dx}
{3+\sin(x)+\cos(x)}.
\]
В знаменателе одновременно содержатся синус и косинус. Числитель не содержит множителя, который можно непосредственно связать с производной одной из этих функций. Поэтому применим универсальную тригонометрическую подстановку
\[
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right).
\]
При этой подстановке
\[
\begin{gathered}
\sin(x)=\frac{2\cdot t}{1+t^2},\\[4pt]
\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\[4pt]
dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt.
\end{gathered}
\]
Подставим эти выражения в исходный интеграл:
\[
\int
\frac{
\frac{2}{1+t^2}\,dt
}{
3+
\frac{2\cdot t}{1+t^2}
+
\frac{1-t^2}{1+t^2}
}.
\]
Приведём слагаемые в знаменателе к общему знаменателю:
\[
3+
\frac{2\cdot t}{1+t^2}
+
\frac{1-t^2}{1+t^2}
=
\frac{
3\cdot\bigl(1+t^2\bigr)
+
2\cdot t
+
1-t^2
}{
1+t^2
}.
\]
Раскроем скобки в числителе:
\[
3\cdot\bigl(1+t^2\bigr)
+
2\cdot t
+
1-t^2
=
3+3\cdot t^2+2\cdot t+1-t^2.
\]
После приведения подобных слагаемых получаем
\[
2\cdot t^2+2\cdot t+4.
\]
Вынесем общий множитель \( 2 \):
\[
2\cdot t^2+2\cdot t+4
=
2\cdot\bigl(t^2+t+2\bigr).
\]
Поэтому исходный интеграл принимает вид
\[
\int
\frac{
\frac{2}{1+t^2}\,dt
}{
\frac{
2\cdot\bigl(t^2+t+2\bigr)
}{
1+t^2
}
}.
\]
Сокращаем множители \( 2 \) и \( 1+t^2 \):
\[
\int
\frac{dt}
{t^2+t+2}.
\]
Чтобы применить стандартную формулу для арктангенса, выделим полный квадрат в знаменателе:
\[
t^2+t+2
=
\left(t+\frac{1}{2}\right)^2
+
\frac{7}{4}.
\]
Представим число \( 7/4 \) в виде квадрата:
\[
\frac{7}{4}
=
\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2.
\]
Следовательно,
\[
\int
\frac{dt}
{
\left(t+\frac{1}{2}\right)^2
+
\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2
}.
\]
Используем формулу
\[
\int
\frac{du}
{u^2+a^2}
=
\frac{1}{a}\cdot
\arctan\left(\frac{u}{a}\right)
+
C.
\]
Положим
\[
u=t+\frac{1}{2},
\qquad
du=dt,
\qquad
a=\frac{\sqrt{7}}{2}.
\]
Тогда
\[
\int
\frac{dt}
{
\left(t+\frac{1}{2}\right)^2
+
\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2
}
=
\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot
\arctan\left(
\frac{
t+\frac{1}{2}
}{
\frac{\sqrt{7}}{2}
}
\right)
+
C.
\]
Упростим аргумент арктангенса:
\[
\frac{
t+\frac{1}{2}
}{
\frac{\sqrt{7}}{2}
}
=
\frac{2\cdot t+1}{\sqrt{7}}.
\]
Получаем
\[
\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot
\arctan\left(
\frac{2\cdot t+1}{\sqrt{7}}
\right)
+
C.
\]
Возвращаемся к переменной \( x \):
\[
t=\tan\left(\frac{x}{2}\right).
\]
Следовательно,
\[
\int
\frac{dx}
{3+\sin(x)+\cos(x)}
=
\frac{2}{\sqrt{7}}\cdot
\arctan\left(
\frac{
2\cdot\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1
}{
\sqrt{7}
}
\right)
+
C.
\]
Полученный результат следует рассматривать на каждом промежутке, где определена подстановка \( t=\tan(x/2) \).
Следующий Шаг в Интегральном Исчислении: Темы Для Продолжения
После интегрирования тригонометрических функций можно переходить к другим важным темам интегрального исчисления. Они помогут разобраться с новыми типами подынтегральных выражений и перейти от неопределённых интегралов к определённым.
- Интегралы от иррациональных функций: Типичные замены — Рассмотрим, какие подстановки помогают избавиться от корней и преобразовать иррациональные выражения в более удобный для интегрирования вид.
- Определенный интеграл: Геометрический смысл и свойства — Выясним, что означает определенный интеграл с геометрической точки зрения, как он связан с площадью и какими основными свойствами обладает.
- Формула Ньютона–Лейбница: Как вычислять определенный интеграл — Разберём, как с помощью первообразной и пределов интегрирования находить значение определенного интеграла.
Интегрирование Тригонометрических Функций: От Блок-Схемы к Программному Коду
Увлекаетесь программированием? Тогда попробуйте превратить математические вычисления в собственную программу. Реализуйте алгоритм, представленный на блок-схеме, на языке Pascal, Python, JavaScript, C++ или другом языке по вашему выбору. Программа должна вычислить значение подынтегральной функции
\[
f(x)=\sin^2(x)\cdot\cos^3(x),
\]
приближённо определить производную найденной первообразной
\[
F(x)=\frac{\sin^3(x)}{3}-\frac{\sin^5(x)}{5}
\]
и сравнить полученные значения. Так вы сможете применить знания об интегрировании тригонометрических функций на практике и увидеть, как последовательность математических вычислений превращается в программный код.
