Интегрирование иррациональных функций часто сводится к одной основной задаче — правильно изменить вид подынтегрального выражения. Корни и дробные степени затрудняют непосредственное применение стандартных формул, но удачно выбранная замена переменной позволяет устранить эту сложность. Поэтому сначала важно распознать структуру подынтегрального выражения, а уже затем переходить к вычислениям.
Иррациональные Функции Под Знаком Интеграла: Основная Идея Рационализации
В интегральном исчислении к иррациональным обычно относят алгебраические выражения, в которых переменная находится под знаком корня или имеет дробную степень. Например, подынтегральная функция может содержать
\[
\sqrt[n]{a\cdot x+b},
\qquad
x^{\frac{m}{n}},
\]
или квадратный радикал
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}.
\]
Почему такие выражения создают трудности? Причина в том, что после непосредственного применения стандартных формул корень обычно никуда не исчезает. Поэтому сначала стараются преобразовать переменную так, чтобы дробные степени стали целыми или радикал приобрёл более простой вид.
Такой процесс называют рационализацией подынтегрального выражения. В наиболее удобном случае после замены получают рациональную функцию новой переменной. Тогда можно применять стандартные правила интегрирования.
Однако одна замена подходит не для всех случаев. Если под корнем находится линейное выражение, используется один подход. Если под корнем находится сумма или разность квадратов — другой. Именно поэтому перед выбором замены нужно определить, какую структуру имеет подынтегральное выражение.
Интегрирование Иррациональных Функций: Корни Линейных Выражений
Начнём с самой простой ситуации. Пусть подынтегральная функция содержит корень
\[
\sqrt[n]{a\cdot x+b}.
\]
Здесь удобно сделать так, чтобы сам корень стал новой переменной:
\[
t=\sqrt[n]{a\cdot x+b}.
\]
Тогда
\[
t^n=a\cdot x+b.
\]
Отсюда легко выразить исходную переменную:
\[
x=\frac{t^n-b}{a}.
\]
После дифференцирования получаем
\[
dx=\frac{n\cdot t^{n-1}}{a}\,dt.
\]
В чём преимущество такого перехода? Корень исчезает, а вместо него появляется обычная степень переменной \( t \). Если остальная часть подынтегрального выражения также выражается через \( t \), мы получаем значительно более простой интеграл.
Например, если встречается выражение
\[
\sqrt[3]{2\cdot x+1},
\]
естественно положить
\[
t=\sqrt[3]{2\cdot x+1}.
\]
Тогда линейное выражение \( 2\cdot x+1 \) становится равным \( t^3 \). Уже на этом этапе видно, как корень превращается в степень с целым показателем.
Итак, для одного корня линейного выражения основная идея достаточно проста: новую переменную выбирают так, чтобы иррациональная часть превратилась в степень с целым показателем.
Дробные Степени: Общая Замена Для Нескольких Показателей
Теперь усложним ситуацию. Что делать, если подынтегральное выражение содержит сразу несколько дробных степеней одной переменной? Например,
\[
x^{\frac12},
\qquad
x^{\frac13},
\qquad
x^{\frac14}.
\]
Отдельная замена для каждой степени была бы неудобной. Гораздо лучше подобрать одну переменную так, чтобы все дробные показатели одновременно стали целыми.
Для этого используют наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей. Если рассматриваются степени
\[
x^{\frac{m_1}{n_1}},
\qquad
x^{\frac{m_2}{n_2}},
\qquad
\dots,
\qquad
x^{\frac{m_k}{n_k}},
\]
обозначим через \( N \) наименьшее общее кратное чисел
\[
n_1,n_2,\ldots,n_k.
\]
Тогда вводят замену
\[
x=t^N.
\]
Отсюда
\[
dx=N\cdot t^{N-1}\,dt.
\]
Каждая дробная степень принимает вид
\[
x^{\frac{m_i}{n_i}}
=
t^{\frac{N\cdot m_i}{n_i}}.
\]
Поскольку \( N \) кратно \( n_i \), показатель
\[
\frac{N\cdot m_i}{n_i}
\]
является целым числом.
Например, для степеней \( x^{\frac12} \) и \( x^{\frac13} \) знаменатели равны \( 2 \) и \( 3 \), а их наименьшее общее кратное равно \( 6 \). Поэтому целесообразно положить
\[
x=t^6.
\]
Тогда \( x^{\frac12}=t^3 \), а \( x^{\frac13}=t^2 \). Таким образом, вместо двух дробных степеней получаем степени с целыми показателями. Именно это и является главной целью такой замены.
Квадратные Радикалы: Тригонометрические Замены
Для следующего типа иррациональных выражений уже недостаточно просто выбрать подходящую степень новой переменной. Речь идёт о квадратных радикалах, содержащих сумму или разность квадратов.
Рассмотрим форму
\[
\sqrt{a^2-x^2}.
\]
Здесь удобно положить
\[
x=a\cdot\sin(t).
\]
Почему именно синус? После замены выражение под корнем принимает вид
\[
a^2-a^2\cdot\sin^2(t)
=
a^2\cdot\left(1-\sin^2(t)\right).
\]
А по тождеству
\[
1-\sin^2(t)=\cos^2(t)
\]
получаем квадрат тригонометрической функции. Следовательно, сам радикал существенно упрощается.
Для выражения
\[
\sqrt{x^2+a^2}
\]
удобнее использовать замену
\[
x=a\cdot\tan(t),
\]
поскольку тогда можно использовать тождество
\[
1+\tan^2(t)=\frac{1}{\cos^2(t)}.
\]
А для выражения
\[
\sqrt{x^2-a^2}
\]
типичной является замена
\[
x=\frac{a}{\cos(t)}.
\]
В этом случае используется соотношение
\[
\frac{1}{\cos^2(t)}-1=\tan^2(t).
\]
Например, для радикала
\[
\sqrt{9-x^2}
\]
естественно положить
\[
x=3\cdot\sin(t).
\]
Тогда выражение под корнем превращается в квадрат косинуса, поэтому радикал упрощается.
Таким образом, тригонометрическая замена выбирается не случайно. Её подбирают так, чтобы выражение под корнем превратилось в квадрат тригонометрической функции.
Квадратный Трёхчлен Под Корнем: Переход к Стандартной Форме
А что делать, если под корнем находится не готовая разность или сумма квадратов, а общий квадратный трёхчлен
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c?
\]
В такой ситуации сразу применять тригонометрическую замену обычно неудобно. Сначала нужно преобразовать сам трёхчлен.
Для \( a\neq0 \) выделяем полный квадрат:
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c
=
a\left(x+\frac{b}{2\cdot a}\right)^2
+
c-\frac{b^2}{4\cdot a}.
\]
Теперь структура становится гораздо понятнее. После соответствующей линейной замены выражение под корнем можно привести к одной из стандартных форм:
\[
\begin{gathered}
A^2-u^2,\\[4pt]
u^2+A^2,
\end{gathered}
\]
или
\[
u^2-A^2.
\]
То есть этот случай логично сводится к предыдущему. Сначала преобразуем квадратный трёхчлен, а уже затем применяем соответствующую тригонометрическую замену.
Например, если под корнем находится
\[
x^2+4\cdot x+8,
\]
то сначала записываем
\[
x^2+4\cdot x+8
=
(x+2)^2+4.
\]
После замены
\[
u=x+2
\]
радикал принимает вид
\[
\sqrt{u^2+4}.
\]
Теперь уже легко определить, какая тригонометрическая замена соответствует этому типу.
Итак, выделение полного квадрата здесь не является самостоятельным методом интегрирования. Это подготовительный шаг, который приводит более сложный радикал к уже знакомой форме.
Интегрирование Иррациональных Функций: Подстановки Эйлера
Тригонометрические замены хорошо работают с квадратными радикалами, но существует и другой подход. Для выражений вида
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
\]
можно применять подстановки Эйлера. Их основная цель — рационализировать и переменную \( x \), и сам квадратный корень.
Если \( a>0 \), можно использовать соотношение
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
=
\sqrt{a}\cdot x+t.
\]
После возведения обеих частей в квадрат получаем
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c
=
a\cdot x^2+2\cdot\sqrt{a}\cdot x\cdot t+t^2.
\]
Члены \( a\cdot x^2 \) сокращаются. В результате остаётся уравнение, из которого \( x \) выражается через \( t \) как рациональная функция.
Если же \( c>0 \), можно использовать другую подстановку:
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
=
t\cdot x+\sqrt{c}.
\]
После возведения в квадрат снова возникает уравнение, которое позволяет рационально выразить \( x \) через новую переменную.
Третий вариант связан со случаем, когда квадратный трёхчлен имеет действительные корни. Если
\[
a\cdot x^2+b\cdot x+c
=
a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2),
\]
можно использовать подстановку
\[
\sqrt{a\cdot x^2+b\cdot x+c}
=
t\cdot(x-x_1).
\]
После возведения в квадрат общий множитель \( x-x_1 \) сокращается, а переменную \( x \) снова можно рационально выразить через \( t \).
В чём принципиальное отличие от тригонометрической замены? Там радикал преобразуется в выражение с тригонометрическими функциями. Здесь же цель другая: получить рациональные функции новой переменной. Именно поэтому подстановки Эйлера особенно полезны тогда, когда нужно свести интеграл к интегрированию рациональной дроби.
Корректность Замены: Область Определения и Возврат к Переменной
После того как замена найдена, остаётся ещё один важный вопрос: можно ли выполнять все дальнейшие преобразования без дополнительных ограничений?
Не всегда. Особенно внимательными нужно быть с квадратными корнями. Например,
\[
\sqrt{\cos^2(t)}
=
|\cos(t)|,
\]
а не просто \( \cos(t) \).
Поэтому при замене
\[
x=a\cdot\sin(t)
\]
обычно выбирают такой промежуток для \( t \), на котором знак \( \cos(t) \) известен. Например, можно взять
\[
-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}.
\]
На этом промежутке
\[
\cos(t)\geq0,
\]
поэтому
\[
|\cos(t)|=\cos(t).
\]
Подобные рассуждения необходимы и для других тригонометрических замен. Иначе при упрощении радикала можно незаметно изменить знак выражения.
Кроме того, важно учитывать область определения исходной функции. Если под корнем находится
\[
a^2-x^2,
\]
то для действительных значений должно выполняться условие
\[
a^2-x^2\geq0.
\]
Следовательно,
\[
|x|\leq|a|.
\]
Для радикала
\[
\sqrt{x^2-a^2}
\]
условие уже другое:
\[
x^2-a^2\geq0.
\]
Поэтому
\[
|x|\geq|a|.
\]
Наконец, после интегрирования нужно вернуться от новой переменной к исходной. Если, например,
\[
x=a\cdot\tan(t),
\]
то
\[
t=\arctan\left(\frac{x}{a}\right).
\]
Если же в ходе дальнейших преобразований появляются \( \sin(t) \), \( \cos(t) \) или другие функции, их также нужно правильно выразить через \( x \).
Итак, удачная замена — это не только способ избавиться от радикала. Она должна быть корректной на соответствующем промежутке, не нарушать область определения и позволять правильно вернуться к исходной переменной. Только в этом случае преобразование иррационального интеграла будет не только удобным, но и математически правильным.
Интегрирование Иррациональных Функций: Пошаговое Применение Типичных Замен
Рассмотрим, как интегрирование иррациональных функций выполняется на практике с помощью типичных замен. В каждом случае сначала определим структуру подынтегрального выражения, затем выберем подходящую замену и сведём исходный интеграл к стандартному.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx.
\]
Подынтегральное выражение содержит квадратный корень линейного выражения \( 2\cdot x+1 \). Поэтому целесообразно ввести новую переменную так, чтобы сам корень превратился в \( t \):
\[
t=\sqrt{2\cdot x+1}.
\]
Возведём обе части в квадрат:
\[
t^2=2\cdot x+1.
\]
Отсюда выразим \( x \):
\[
\begin{gathered}
2\cdot x=t^2-1,\\[4pt]
x=\frac{t^2-1}{2}.
\end{gathered}
\]
Теперь найдём дифференциал \( dx \). Дифференцируя последнее равенство, получаем
\[
dx=t\,dt.
\]
Кроме того,
\[
\sqrt{2\cdot x+1}=t.
\]
Подставляем все полученные выражения в исходный интеграл:
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx
=
\int\frac{\frac{t^2-1}{2}}{t}\cdot t\,dt.
\]
Сокращаем \( t \):
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx
=
\frac{1}{2}\int(t^2-1)\,dt.
\]
Теперь имеем обычный интеграл от многочлена:
\[
\frac{1}{2}\int(t^2-1)\,dt
=
\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+C.
\]
Следовательно,
\[
\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+C
=
\frac{t^3}{6}-\frac{t}{2}+C.
\]
Возвращаемся к исходной переменной:
\[
t=\sqrt{2\cdot x+1}.
\]
Поэтому
\[
\int\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}\,dx
=
\frac{(2\cdot x+1)^{\frac32}}{6}
—
\frac{\sqrt{2\cdot x+1}}{2}
+C.
\]
В этом случае замена позволила полностью избавиться от корня и перейти к интегрированию многочлена.
Пример 2. Найти неопределенный интеграл
\[
\int\frac{dx}{x^{\frac12}+x^{\frac13}}.
\]
Здесь подынтегральное выражение содержит сразу две дробные степени \( x^{\frac12} \) и \( x^{\frac13} \). Поскольку мы работаем с действительными значениями, для существования квадратного корня необходимо \( x\geq0 \), а знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому для этого интеграла рассматриваем
\[
x>0.
\]
Как подобрать одну замену для обеих дробных степеней? Знаменатели показателей равны \( 2 \) и \( 3 \), а их наименьшее общее кратное равно \( 6 \). Поэтому положим
\[
x=t^6.
\]
Для \( x>0 \) можем взять
\[
t=x^{\frac16}>0.
\]
Тогда
\[
dx=6\cdot t^5\,dt.
\]
Обе дробные степени превращаются в степени с целыми показателями:
\[
\begin{gathered}
x^{\frac12}
=
(t^6)^{\frac12}
=
t^3,\\[4pt]
x^{\frac13}
=
(t^6)^{\frac13}
=
t^2.
\end{gathered}
\]
Подставляем полученные выражения:
\[
\int\frac{dx}{x^{\frac12}+x^{\frac13}}
=
\int\frac{6\cdot t^5}{t^3+t^2}\,dt.
\]
В знаменателе вынесем \( t^2 \):
\[
t^3+t^2=t^2\cdot(t+1).
\]
Тогда
\[
\int\frac{6\cdot t^5}{t^3+t^2}\,dt
=
6\int\frac{t^3}{t+1}\,dt.
\]
Получили рациональную дробь. Чтобы её проинтегрировать, выполним деление многочленов:
\[
\frac{t^3}{t+1}
=
t^2-t+1-\frac{1}{t+1}.
\]
Поэтому
\[
6\int\frac{t^3}{t+1}\,dt
=
6\int\left(t^2-t+1-\frac{1}{t+1}\right)dt.
\]
Интегрируем каждое слагаемое:
\[
6\cdot\left(
\frac{t^3}{3}
—
\frac{t^2}{2}
+
t
—
\ln|t+1|
\right)+C.
\]
После умножения на \( 6 \) получаем
\[
2\cdot t^3
—
3\cdot t^2
+
6\cdot t
—
6\cdot\ln|t+1|
+C.
\]
Теперь вернёмся к \( x \). Поскольку
\[
t=x^{\frac16},
\]
имеем
\[
t^2=x^{\frac13},
\qquad
t^3=x^{\frac12}.
\]
Поэтому
\[
\int\frac{dx}{x^{\frac12}+x^{\frac13}}
=
2\cdot x^{\frac12}
—
3\cdot x^{\frac13}
+
6\cdot x^{\frac16}
—
6\cdot\ln\left|x^{\frac16}+1\right|
+C.
\]
Поскольку \( x>0 \), выражение \( x^{\frac16}+1 \) положительно, поэтому модуль в этом случае также можно опустить.
Здесь одна общая замена одновременно устранила оба дробных показателя. Именно для этого и используют наименьшее общее кратное их знаменателей.
Пример 3. Найти неопределенный интеграл
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx.
\]
Под корнем находится разность квадратов:
\[
9-x^2=3^2-x^2.
\]
Это стандартная форма
\[
a^2-x^2,
\]
поэтому используем тригонометрическую замену
\[
x=3\cdot\sin(t).
\]
Возьмём
\[
-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2},
\]
чтобы
\[
\cos(t)\geq0.
\]
Найдём дифференциал:
\[
dx=3\cdot\cos(t)\,dt.
\]
Теперь преобразуем радикал:
\[
\sqrt{9-x^2}
=
\sqrt{9-9\cdot\sin^2(t)}.
\]
Выносим \( 9 \):
\[
\sqrt{9-9\cdot\sin^2(t)}
=
3\cdot\sqrt{1-\sin^2(t)}.
\]
Используем тождество
\[
1-\sin^2(t)=\cos^2(t).
\]
Следовательно, на выбранном промежутке
\[
\sqrt{9-x^2}
=
3\cdot\cos(t).
\]
Подставляем всё в интеграл:
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx
=
\int3\cdot\cos(t)\cdot3\cdot\cos(t)\,dt.
\]
То есть
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx
=
9\int\cos^2(t)\,dt.
\]
Для интегрирования используем формулу понижения степени:
\[
\cos^2(t)
=
\frac{1+\cos(2\cdot t)}{2}.
\]
Тогда
\[
9\int\cos^2(t)\,dt
=
\frac{9}{2}\int\left(1+\cos(2\cdot t)\right)dt.
\]
Интегрируем:
\[
\frac{9}{2}\cdot\left(
t+\frac{\sin(2\cdot t)}{2}
\right)+C.
\]
Поскольку
\[
\sin(2\cdot t)
=
2\cdot\sin(t)\cdot\cos(t),
\]
получаем
\[
\frac{9}{2}\cdot
\left(
t+\sin(t)\cdot\cos(t)
\right)+C.
\]
Теперь вернёмся к \( x \). Из замены
\[
x=3\cdot\sin(t)
\]
имеем
\[
\sin(t)=\frac{x}{3},
\]
а также
\[
t=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right).
\]
Косинус выразим через \( x \):
\[
\cos(t)
=
\sqrt{1-\sin^2(t)}
=
\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}
=
\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}.
\]
Следовательно,
\[
\sin(t)\cdot\cos(t)
=
\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}
=
\frac{x\cdot\sqrt{9-x^2}}{9}.
\]
После подстановки получаем
\[
\int\sqrt{9-x^2}\,dx
=
\frac{x\cdot\sqrt{9-x^2}}{2}
+
\frac{9}{2}\cdot\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)
+C.
\]
Тригонометрическая замена сработала благодаря тому, что разность квадратов превратилась в выражение с \( \cos^2(t) \), а квадратный корень удалось устранить.
Пример 4. Найти неопределенный интеграл
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4\cdot x}}.
\]
Под корнем находится квадратный трёхчлен, который ещё не имеет стандартной формы. Поэтому сначала выделим полный квадрат:
\[
x^2+4\cdot x
=
x^2+4\cdot x+4-4.
\]
Следовательно,
\[
x^2+4\cdot x
=
(x+2)^2-4.
\]
Исходный интеграл принимает вид
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2-4}}.
\]
Сделаем линейную замену
\[
u=x+2.
\]
Тогда
\[
du=dx.
\]
Получаем
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}.
\]
Под корнем теперь находится разность квадратов
\[
u^2-2^2.
\]
Для действительных значений исходной функции необходимо
\[
x^2+4\cdot x>0,
\]
поскольку радикал находится в знаменателе. Поэтому интеграл рассматриваем на промежутках \( x<-4 \) или \( x>0 \).
Сначала рассмотрим промежуток \( x>0 \). Тогда \( u>2 \), поэтому удобно использовать тригонометрическую замену
\[
u=\frac{2}{\cos(t)},
\]
где
\[
0<t<\frac{\pi}{2}.
\]
На этом промежутке
\[
\cos(t)>0,
\qquad
\tan(t)>0.
\]
Дифференцируем:
\[
du
=
2\cdot\frac{\sin(t)}{\cos^2(t)}\,dt.
\]
Теперь преобразуем радикал:
\[
\sqrt{u^2-4}
=
\sqrt{\frac{4}{\cos^2(t)}-4}.
\]
Выносим \( 4 \):
\[
\sqrt{u^2-4}
=
2\cdot\sqrt{\frac{1}{\cos^2(t)}-1}.
\]
Используем тождество
\[
\frac{1}{\cos^2(t)}-1=\tan^2(t).
\]
Поэтому на выбранном промежутке
\[
\sqrt{u^2-4}
=
2\cdot\tan(t).
\]
Подставляем полученные выражения:
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}
=
\int
\frac{
2\cdot\frac{\sin(t)}{\cos^2(t)}
}{
2\cdot\tan(t)
}
\,dt.
\]
Поскольку
\[
\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)},
\]
имеем
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}
=
\int\frac{1}{\cos(t)}\,dt.
\]
Это стандартный интеграл:
\[
\int\frac{1}{\cos(t)}\,dt
=
\ln\left|
\frac{1}{\cos(t)}+\tan(t)
\right|+C.
\]
Теперь вернёмся к \( u \). Из замены
\[
u=\frac{2}{\cos(t)}
\]
получаем
\[
\frac{1}{\cos(t)}=\frac{u}{2}.
\]
Кроме того,
\[
2\cdot\tan(t)=\sqrt{u^2-4},
\]
поэтому
\[
\tan(t)=\frac{\sqrt{u^2-4}}{2}.
\]
Следовательно,
\[
\ln\left|
\frac{1}{\cos(t)}+\tan(t)
\right|
=
\ln\left|
\frac{u+\sqrt{u^2-4}}{2}
\right|.
\]
Постоянный множитель \( 1/2 \) внутри логарифма можно включить в произвольную постоянную интегрирования. Поэтому
\[
\int\frac{du}{\sqrt{u^2-4}}
=
\ln\left|u+\sqrt{u^2-4}\right|+C.
\]
Возвращаемся к \( x \):
\[
u=x+2.
\]
Следовательно,
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4\cdot x}}
=
\ln\left|
x+2+\sqrt{x^2+4\cdot x}
\right|
+C.
\]
Эту же первообразную, с соответствующей постоянной интегрирования, можно использовать и для \( x<-4 \).
В этом случае выделение полного квадрата преобразовало квадратный трёхчлен в стандартную форму \( u^2-a^2 \). После этого тригонометрическая замена позволила устранить радикал и перейти к стандартному интегралу.
Пример 5. Найти неопределенный интеграл
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}.
\]
Под корнем находится квадратный трёхчлен, причём коэффициент при \( x^2 \) положительный. Поэтому используем одну из подстановок Эйлера:
\[
\sqrt{x^2+x+1}=x+t.
\]
Цель этой замены состоит в том, чтобы выразить \( x \), \( dx \) и сам квадратный корень через \( t \) с помощью рациональных функций.
Сначала выразим \( x \) через \( t \). Возведём обе части равенства в квадрат:
\[
x^2+x+1
=
(x+t)^2.
\]
Раскрываем квадрат:
\[
x^2+x+1
=
x^2+2\cdot x\cdot t+t^2.
\]
Сокращаем \( x^2 \):
\[
x+1
=
2\cdot x\cdot t+t^2.
\]
Переносим члены с \( x \) в одну часть:
\[
x-2\cdot x\cdot t
=
t^2-1.
\]
Выносим \( x \):
\[
x\cdot(1-2\cdot t)
=
t^2-1.
\]
Отсюда
\[
x=
\frac{t^2-1}{1-2\cdot t}.
\]
Теперь найдём \( dx \). Дифференцируем полученную дробно-рациональную функцию:
\[
dx
=
\frac{
2\cdot t(1-2\cdot t)+2\cdot(t^2-1)
}{
(1-2\cdot t)^2
}\,dt.
\]
Упрощаем числитель:
\[
2\cdot t-4\cdot t^2+2\cdot t^2-2
=
-2\cdot(t^2-t+1).
\]
Следовательно,
\[
dx
=
-\frac{2\cdot(t^2-t+1)}{(1-2\cdot t)^2}\,dt.
\]
Осталось выразить через \( t \) сам радикал. По исходной подстановке
\[
\sqrt{x^2+x+1}=x+t.
\]
Подставляем найденное выражение для \( x \):
\[
x+t
=
\frac{t^2-1}{1-2\cdot t}+t.
\]
Приводим к общему знаменателю:
\[
x+t
=
\frac{t^2-1+t-2\cdot t^2}{1-2\cdot t}.
\]
Следовательно,
\[
x+t
=
\frac{-t^2+t-1}{1-2\cdot t}.
\]
Умножив числитель и знаменатель на \( -1 \), получаем
\[
\sqrt{x^2+x+1}
=
\frac{t^2-t+1}{2\cdot t-1}.
\]
Поскольку
\[
(1-2\cdot t)^2=(2\cdot t-1)^2,
\]
дифференциал можно записать в виде
\[
dx
=
-\frac{2\cdot(t^2-t+1)}{(2\cdot t-1)^2}\,dt.
\]
Теперь подставляем оба выражения в интеграл:
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}
=
\int
\frac{
-\frac{2\cdot(t^2-t+1)}{(2\cdot t-1)^2}
}{
\frac{t^2-t+1}{2\cdot t-1}
}
\,dt.
\]
Сокращаем общий множитель \( t^2-t+1 \):
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}
=
-2\int\frac{dt}{2\cdot t-1}.
\]
Таким образом, исходный иррациональный интеграл превратился в обычный рациональный интеграл.
Выполним простую замену
\[
u=2\cdot t-1.
\]
Тогда
\[
du=2\,dt.
\]
Имеем
\[
-2\int\frac{dt}{2\cdot t-1}
=
-\int\frac{du}{u}.
\]
Отсюда
\[
-\int\frac{du}{u}
=
-\ln|u|+C.
\]
Возвращаемся к \( t \):
\[
-\ln|2\cdot t-1|+C.
\]
Из исходной подстановки Эйлера
\[
\sqrt{x^2+x+1}=x+t
\]
имеем
\[
t=\sqrt{x^2+x+1}-x.
\]
Поэтому
\[
-\ln\left|
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}-2\cdot x-1
\right|+C.
\]
Этот результат можно записать в более привычной форме. Для этого используем равенство
\[
\left(
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}-2\cdot x-1
\right)
\cdot
\left(
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}+2\cdot x+1
\right)
=
3.
\]
Следовательно, разница между двумя логарифмическими формами результата сводится к постоянной \( \ln(3) \), которую можно включить в произвольную постоянную интегрирования. Поэтому окончательно получаем
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+x+1}}
=
\ln\left|
2\cdot\sqrt{x^2+x+1}+2\cdot x+1
\right|
+C.
\]
Этот пример хорошо показывает особенность подстановки Эйлера. Исходное выражение с квадратным радикалом после замены превратилось в рациональную функцию новой переменной, после чего интегрирование уже не требовало работы с корнем.
Следующий Шаг в Интегральном Исчислении: Темы Для Продолжения
Иррациональные функции — лишь одна из важных тем интегрального исчисления. Далее стоит перейти к определённым интегралам, их вычислению и практическому применению в геометрических задачах.
- Определенный интеграл: Геометрический смысл и свойства — Разберём, что означает определенный интеграл геометрически, как он связан с площадью и какие основные свойства используются в вычислениях.
- Формула Ньютона–Лейбница: Как вычислять определенный интеграл — Узнаем, как с помощью первообразной находить значение определенного интеграла и правильно подставлять пределы интегрирования.
- Площадь фигуры с помощью интеграла: Формулы и примеры — Рассмотрим, как определенный интеграл применяется для нахождения площадей областей, ограниченных графиками функций и заданными прямыми.
Интегрирование Иррациональных Функций: От Первообразной к Программному Коду
Увлекаетесь программированием? Тогда попробуйте реализовать представленный на блок-схеме алгоритм на своём любимом языке — Pascal, Python, JavaScript или C++. Программа проверяет найденную первообразную
\[
F(x)=\frac{(2\cdot x+1)^{\frac32}}{6}-\frac{\sqrt{2\cdot x+1}}{2}
\]
для подынтегральной функции
\[
f(x)=\frac{x}{\sqrt{2\cdot x+1}}.
\]
Алгоритм вычисляет значение \( f(x) \), приближённо находит производную \( F'(x) \) и определяет разность между полученными значениями. Так вы сможете применить знания об интегрировании иррациональных функций на практике и увидеть, как математические вычисления реализуются в программном коде.
