Метод Данилевского позволяет находить собственные векторы матрицы после того, как собственные значения уже найдены. Это важно понять сразу. В этой статье мы не будем заново строить характеристический многочлен и искать его корни. Вместо этого сосредоточимся на другом вопросе: как по известному собственному значению построить соответствующий собственный вектор?
Преимущество такого подхода состоит в том, что сначала исходная матрица приводится к специальной форме — матрице Фробениуса. Для такой матрицы собственный вектор имеет очень простой вид. Затем остается вернуться к исходной матрице с помощью матрицы преобразования. Именно этот путь мы и рассмотрим шаг за шагом.
Сбственные Векторы Матрицы: Какую Задачу Нужно Решить
Пусть задана квадратная матрица \( A \). Собственным вектором этой матрицы называют ненулевой вектор \( x \), который после умножения на матрицу \( A \) переходит в вектор того же или противоположного направления.
Иными словами, для некоторого числа \( \lambda \) выполняется равенство \( A\cdot x=\lambda\cdot x \). Здесь \( \lambda \) — собственное значение, а \( x \) — соответствующий ему собственный вектор.
В нашем случае считаем, что собственное значение \( \lambda \) уже найдено. Поэтому главная задача состоит не в вычислении \( \lambda \), а в построении такого ненулевого вектора \( x \), который удовлетворяет уравнению \( A\cdot x=\lambda\cdot x \).
Однако напрямую работать с матрицей \( A \) не всегда удобно. Почему? Потому что система для координат собственного вектора может иметь сложный вид. Именно поэтому в методе Данилевского используют вспомогательную матрицу Фробениуса. Она подобна матрице \( A \), но имеет значительно более простую структуру.
Итак, общая идея такая: сначала находим собственный вектор для матрицы Фробениуса, а затем с помощью матрицы преобразования получаем собственный вектор исходной матрицы.
Матрица Фробениуса: Переход к Удобной Форме
В методе Данилевского исходная матрица \( A \) с помощью последовательных преобразований приводится к матрице Фробениуса \( P \). Эта матрица имеет специальный вид:
\[
P =
\begin{pmatrix}
p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_{n-1} & p_n \\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Такая форма удобна тем, что её элементы расположены по простому правилу. В первой строке находятся коэффициенты \( p_1,p_2,\dots,p_n \), а ниже — единицы под главной диагональю.
Матрицы \( A \) и \( P \) являются подобными. Это означает, что они связаны равенством:
\[
P=M^{-1}\cdot A\cdot M.
\]
Здесь \( M \) — матрица преобразования. Она объединяет все преобразования, с помощью которых матрица \( A \) была приведена к матрице Фробениуса \( P \).
В этой записи матрицу \( M \) можно представить как произведение:
\[
M=M_1\cdot M_2\cdot M_3\cdot \dots \cdot M_{n-2}\cdot M_{n-1}.
\]
Поскольку \( A \) и \( P \) подобны, они имеют одинаковые собственные значения. Поэтому если \( \lambda \) является собственным значением матрицы \( A \), то оно также является собственным значением матрицы \( P \).
Именно это позволяет перейти к следующему шагу: сначала найти собственный вектор \( y \) для матрицы \( P \), а уже затем получить нужный вектор \( x \) для матрицы \( A \).
Вектор Матрицы Фробениуса: Как Построить Решение
Пусть \( y=(y_1,y_2,y_3,\dots,y_n) \) — собственный вектор матрицы \( P \), который соответствует собственному значению \( \lambda \). Тогда выполняется равенство \( P\cdot y=\lambda\cdot y \).
Перенесем правую часть равенства в левую. Получим однородную систему:
\[
(P-\lambda\cdot E)\cdot y=0,
\]
где \( E \) — единичная матрица.
Для матрицы Фробениуса эта система имеет особенно удобный вид:
\[
\begin{pmatrix}
p_1-\lambda & p_2 & p_3 & \dots & p_{n-1} & p_n \\
1 & -\lambda & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 1 & -\lambda & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & -\lambda
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
\vdots\\
y_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}.
\]
После умножения матрицы на вектор получим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
(p_1-\lambda)\cdot y_1+p_2\cdot y_2+p_3\cdot y_3+\dots+p_n\cdot y_n=0,\\
y_1-\lambda\cdot y_2=0,\\
y_2-\lambda\cdot y_3=0,\\
\vdots\\
y_{n-1}-\lambda\cdot y_n=0.
\end{cases}
\]
Теперь важный момент. Собственный вектор определяется с точностью до ненулевого множителя. То есть, если \( y \) является собственным вектором, то любой вектор \( c\cdot y \), где \( c\neq 0 \), также будет собственным вектором.
Именно поэтому одну координату можно выбрать произвольно. Удобнее всего положить \( y_n=1 \). Тогда из последнего уравнения имеем \( y_{n-1}=\lambda \). Далее из предыдущего уравнения получим \( y_{n-2}=\lambda^2 \). Продолжая этот процесс, получим:
\[
y_1=\lambda^{n-1}, \quad
y_2=\lambda^{n-2}, \quad
y_3=\lambda^{n-3}, \quad
\dots, \quad
y_n=1.
\]
Итак, собственный вектор матрицы Фробениуса \( P \), который соответствует собственному значению \( \lambda \), можно записать так:
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^{n-1}\\
\lambda^{n-2}\\
\lambda^{n-3}\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}.
\]
А что происходит с первым уравнением системы? Оно не является лишним. Именно оно согласуется с характеристическим уравнением матрицы \( P \). Поскольку \( \lambda \) является собственным значением этой матрицы, первое уравнение выполняется для построенного вектора.
То есть последние уравнения дают нам координаты вектора \( y \), а первое подтверждает, что этот вектор соответствует именно собственному значению \( \lambda \).
Сбственные Векторы Матрицы: Переход к Исходной Матрице
Теперь у нас есть собственный вектор \( y \) матрицы Фробениуса \( P \). Но исходная задача относится к матрице \( A \), поэтому нужно перейти от \( y \) к собственному вектору \( x \).
Используем связь между матрицами \( A \) и \( P \):
\[
P=M^{-1}\cdot A\cdot M.
\]
Поскольку \( y \) — собственный вектор матрицы \( P \), имеем \( P\cdot y=\lambda\cdot y \). Подставим вместо \( P \) выражение \( M^{-1}\cdot A\cdot M \):
\[
M^{-1}\cdot A\cdot M\cdot y=\lambda\cdot y.
\]
Теперь умножим обе части равенства слева на матрицу \( M \). Получим:
\[
A\cdot M\cdot y=\lambda \cdot M\cdot y.
\]
Это равенство имеет тот же вид, что и уравнение для собственного вектора матрицы \( A \). Следовательно, вектор \( M\cdot y \) является собственным вектором матрицы \( A \).
Поэтому искомый собственный вектор записывается так:
\[
x=M\cdot y.
\]
Поскольку вектор \( y \) уже найден, получаем окончательную формулу:
\[
x
=
M\cdot
\begin{pmatrix}
\lambda^{n-1}\\
\lambda^{n-2}\\
\lambda^{n-3}\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Итак, схема нахождения собственного вектора методом Данилевского такая. Сначала используем известное собственное значение \( \lambda \). Затем строим собственный вектор матрицы Фробениуса:
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^{n-1}\\
\lambda^{n-2}\\
\lambda^{n-3}\\
\vdots\\
1
\end{pmatrix}.
\]
После этого умножаем его на матрицу преобразования \( M \) и получаем собственный вектор исходной матрицы:
\[
x=M\cdot y.
\]
Таким образом, метод Данилевского позволяет не только найти собственные значения, но и построить соответствующие собственные векторы. Главное — помнить последовательность: сначала работаем с матрицей Фробениуса, а затем возвращаемся к исходной матрице через матрицу преобразования.
Практическая Часть: Как Находить Собственные Векторы Матрицы Методом Данилевского
Теперь применим описанную схему на конкретных матрицах. В каждом примере собственные значения уже заданы, поэтому нам не нужно искать характеристический многочлен. Наша задача — построить собственные векторы с помощью матрицы Фробениуса и матрицы преобразования.
Пример 1. Используя метод Данилевского, найти собственные векторы матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
\]
если ее собственные значения равны
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=5.
\]
Перед нами матрица второго порядка. Поэтому после преобразования Данилевского она должна быть приведена к матрице Фробениуса вида
\[
P=
\begin{pmatrix}
p_1 & p_2\\
1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Матрица преобразования строится так, чтобы после преобразования \( P=M_1^{-1}\cdot A\cdot M_1 \) нижняя строка матрицы Фробениуса имела вид \( (1,0) \). Для этой матрицы соответствующая матрица преобразования имеет вид:
\[
M_1=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тогда
\[
P=M_1^{-1}\cdot A\cdot M_1.
\]
После умножения получим:
\[
P=
\begin{pmatrix}
6 & -5\\
1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Итак, исходная матрица \( A \) приведена к матрице Фробениуса \( P \).
Для матрицы второго порядка собственный вектор матрицы \( P \), который соответствует собственному значению \( \lambda \), имеет вид
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Теперь собственный вектор исходной матрицы \( A \) находим по формуле
\[
x=M_1\cdot y.
\]
Сначала рассмотрим собственное значение \( \lambda_1=1 \). Для него имеем:
\[
y_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тогда
\[
x_1=
M_1\cdot y_1
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Выполним умножение:
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{3}\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Итак, собственному значению \( \lambda_1=1 \) соответствует собственный вектор
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Проверим результат:
\[
A\cdot x_1
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Поскольку
\[
1\cdot x_1
=
1\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix},
\]
то вектор найден правильно.
Теперь рассмотрим собственное значение \( \lambda_2=5 \). Для него
\[
y_2=
\begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Тогда
\[
x_2=
M_1\cdot y_2
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\
0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
5\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Отсюда
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3}\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Собственный вектор можно умножать на любое ненулевое число. Поэтому, чтобы избежать дробей, умножим его на \( 3 \). Получим:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}.
\]
Проверим:
\[
A\cdot x_2
=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 4
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5\\
15
\end{pmatrix}.
\]
А также
\[
5\cdot x_2
=
5\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5\\
15
\end{pmatrix}.
\]
Итак, вектор найден правильно.
Таким образом, для заданной матрицы имеем:
\[
\begin{gathered}
\lambda_1=1:\qquad
x_1=\begin{pmatrix}
-1\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_2=5:\qquad
x_2=\begin{pmatrix}
1\\
3
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Пример 2. Используя метод Данилевского, найти собственные векторы матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\]
если ее собственные значения равны
\[
\lambda_1=3,
\qquad
\lambda_2=2,
\qquad
\lambda_3=-1.
\]
Перед нами матрица третьего порядка. Поэтому после применения метода Данилевского она приводится к матрице Фробениуса вида
\[
P=
\begin{pmatrix}
p_1 & p_2 & p_3\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Матрица преобразования \( M \) строится по правилам метода Данилевского так, чтобы после преобразования \( P=M^{-1}\cdot A\cdot M \) получить именно матрицу Фробениуса. Для этой матрицы соответствующая матрица преобразования имеет вид:
\[
M=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тогда
\[
P=M^{-1}\cdot A\cdot M.
\]
После вычислений получим:
\[
P=
\begin{pmatrix}
4 & -1 & -6\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Итак, матрица \( A \) приведена к матрице Фробениуса.
Для матрицы третьего порядка собственный вектор матрицы \( P \), который соответствует собственному значению \( \lambda \), имеет вид
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Теперь собственный вектор исходной матрицы \( A \) находим по формуле
\[
x=M\cdot y.
\]
Подставим матрицу \( M \) и вектор \( y \):
\[
x=
\begin{pmatrix}
1 & -1 & -2\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
После умножения получим общий вид собственного вектора:
\[
x=
\begin{pmatrix}
\lambda^2-\lambda-2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Теперь подставим заданные собственные значения.
Для \( \lambda_1=3 \):
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
3^2-3-2\\
3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Проверим:
\[
A\cdot x_1
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12\\
9\\
3
\end{pmatrix}.
\]
А также
\[
3\cdot x_1
=
3\cdot
\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12\\
9\\
3
\end{pmatrix}.
\]
Итак, найденный вектор действительно соответствует собственному значению \( \lambda_1=3 \).
Для \( \lambda_2=2 \):
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
2^2-2-2\\
2\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Проверим:
\[
A\cdot x_2
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
4\\
2
\end{pmatrix}.
\]
А также
\[
2\cdot x_2
=
2\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
4\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Итак, равенство выполняется, поэтому вектор \( x_2 \) найден правильно.
Для \( \lambda_3=-1 \):
\[
x_3=
\begin{pmatrix}
(-1)^2-(-1)-2\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Проверим:
\[
A\cdot x_3
=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-1
\end{pmatrix}.
\]
А также
\[
-1\cdot x_3
=
-1\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-1
\end{pmatrix}.
\]
Итак, полученный вектор является собственным вектором для \( \lambda_3=-1 \).
Таким образом, для заданной матрицы \( A \) получили такие собственные векторы:
\[
\begin{gathered}
\lambda_1=3:\qquad
x_1=\begin{pmatrix}
4\\
3\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_2=2:\qquad
x_2=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_3=-1:\qquad
x_3=\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Пример 3. Используя метод Данилевского, найти собственные векторы матрицы
\[
A=
\begin{pmatrix}
-4 & -1 & -3 \\
4 & 3 & 6 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix},
\]
если ее собственные значения равны
\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=-2,
\qquad
\lambda_3=-2.
\]
В этом примере собственное значение \( \lambda=-2 \) повторяется дважды, то есть является кратным. Однако кратность собственного значения не гарантирует появления двух разных линейно независимых собственных векторов. Поэтому после вычислений стоит проверить, получим ли мы новое направление собственного вектора или то же самое.
Сначала приведем матрицу \( A \) к матрице Фробениуса. На первом шаге используем матрицу
\[
M_2=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тогда
\[
A^{(1)}=M_2^{-1}\cdot A\cdot M_2.
\]
После умножения имеем:
\[
A^{(1)}
=
\begin{pmatrix}
-4 & 1 & -1\\
-4 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
На втором шаге используем матрицу
\[
M_1=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Тогда матрица Фробениуса находится так:
\[
P=M_1^{-1}\cdot A^{(1)}\cdot M_1.
\]
Получим:
\[
P=
\begin{pmatrix}
-3 & 0 & 4\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Итоговая матрица преобразования равна
\[
M=M_2\cdot M_1.
\]
То есть
\[
M=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
После умножения имеем:
\[
M=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Для матрицы третьего порядка собственный вектор матрицы Фробениуса имеет вид
\[
y=
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Поэтому собственный вектор исходной матрицы \( A \) находим по формуле
\[
x=M\cdot y.
\]
Подставим \( M \) и \( y \):
\[
x=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} & 0\\
0 & -1 & -2\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\lambda^2\\
\lambda\\
1
\end{pmatrix}.
\]
После умножения получим:
\[
x=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{\lambda^2}{4}+\dfrac{\lambda}{4}\\
-\lambda-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Или короче:
\[
x=
\begin{pmatrix}
\dfrac{-\lambda^2+\lambda}{4}\\
-\lambda-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Теперь подставим собственные значения.
Для \( \lambda_1=1 \):
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
\dfrac{-1^2+1}{4}\\
-1-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Отсюда
\[
x_1=
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Проверим:
\[
A\cdot x_1
=
\begin{pmatrix}
-4 & -1 & -3 \\
4 & 3 & 6 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Поскольку
\[
1\cdot x_1
=
1\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix},
\]
то для \( \lambda_1=1 \) собственный вектор найден правильно.
Теперь рассмотрим собственное значение \( \lambda_2=-2 \). Подставим его в общую формулу:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
\dfrac{-(-2)^2+(-2)}{4}\\
-(-2)-2\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Получим:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
-\dfrac{3}{2}\\
0\\
1
\end{pmatrix}.
\]
Чтобы избежать дробей, умножим этот вектор на \( 2 \). Имеем:
\[
x_2=
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Проверим:
\[
A\cdot x_2
=
\begin{pmatrix}
-4 & -1 & -3 \\
4 & 3 & 6 \\
0 & -1 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6\\
0\\
-4
\end{pmatrix}.
\]
А также
\[
-2\cdot x_2
=
-2\cdot
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6\\
0\\
-4
\end{pmatrix}.
\]
Итак, собственный вектор для собственного значения \( \lambda_2=-2 \) также найден правильно.
Теперь обратим внимание на \( \lambda_3=-2 \). Это то же самое собственное значение, которое уже было рассмотрено. Если снова подставить \( \lambda=-2 \) в формулу для \( x \), мы получим тот же самый вектор:
\[
x_3=
\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\]
Это означает, что для кратного собственного значения \( \lambda=-2 \) в этом примере получается одно направление собственного вектора. Иными словами, значение \( \lambda=-2 \) повторяется дважды среди собственных значений, но не дает двух разных линейно независимых собственных векторов.
Итак, в этом случае для матрицы \( A \) имеем:
\[
\begin{gathered}
\lambda_1=1:\qquad
x_1=\begin{pmatrix}
0\\
-3\\
1
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_2=-2:\qquad
x_2=\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix},
\\[4pt]
\lambda_3=-2:\qquad
x_3=\begin{pmatrix}
-3\\
0\\
2
\end{pmatrix}.
\end{gathered}
\]
Что Читать Дальше: Три Темы Для Продолжения
После метода Данилевского стоит рассмотреть и другие подходы к работе с собственными значениями и собственными векторами. Так будет легче увидеть, как одна и та же задача решается разными методами.
- Характеристический определитель: Собственные значения и векторы матрицы — В статье будет показано, как через характеристический определитель находят собственные значения, а затем строят соответствующие собственные векторы матрицы.
- Метод Крылова: Как получить собственные значения матрицы — В этой статье будет показано, как метод Крылова помогает строить характеристическое уравнение и находить собственные значения матрицы.
- Собственные векторы: Продолжение метода Крылова — В этой статье будет рассматриваться, как после нахождения собственных значений методом Крылова перейти к построению собственных векторов.
Сбственные Векторы Матрицы: От Блок-Схемы к Программе
Если вам нравится программирование, этот этап может стать самым интересным во всей теме. Ведь теперь метод Данилевского — это уже не только формулы на бумаге, а готовый алгоритм, который можно реализовать на языке Pascal, Python, C++, Java или на любом другом языке, с которым вам удобно работать.
Попробуйте внимательно разобрать блок-схему, проследить каждый ее шаг и превратить его в программный код: ввод матрицы, проверка собственного значения, вычисление координат собственного вектора и контроль правильности результата. Разве не интересно увидеть, как математический метод превращается в настоящий рабочий инструмент?
