Собственные Значения и Собственные Векторы Матрицы: Метод Характеристического Определителя

В курсе численных методов тема собственные значения и собственные векторы матрицы помогает понять, как квадратная матрица действует на векторы. Эта тема важна для анализа линейных преобразований, исследования устойчивости процессов и решения многих прикладных задач. Поэтому сначала стоит разобраться с основными определениями, а уже затем перейти к характеристическому уравнению и методу его построения через определитель.

Собственные Значения и Собственные Векторы Матрицы: Основные Понятия

Пусть задана квадратная матрица \( A \) порядка \( n \). Собственным значением матрицы \( A \) называют такое число \( \lambda \), для которого существует ненулевой вектор \( x \), удовлетворяющий уравнению

\[
A\cdot x=\lambda \cdot x.
\]

Вектор \( x \) в этом случае называют собственным вектором матрицы \( A \), соответствующим собственному значению \( \lambda \). При этом обязательно должно выполняться условие

\[
x\neq 0.
\]

Почему нулевой вектор не подходит? Потому что он не дает полезной информации о действии матрицы. Для любой матрицы \( A \) нулевой вектор переходит в нулевой вектор. Следовательно, он не показывает никакого особого свойства матрицы.

Смысл равенства

\[
A\cdot x=\lambda \cdot x
\]

состоит в том, что действие матрицы \( A \) на вектор \( x \) сводится к умножению этого вектора на число \( \lambda \). Если \( \lambda>0 \), вектор остается направленным вдоль той же прямой. Если \( \lambda<0 \), он переходит в противоположно направленный вектор на той же прямой. Если \( \lambda=0 \), матрица переводит соответствующий ненулевой вектор в нулевой.

Итак, собственное значение показывает числовой результат действия матрицы на определенное направление, а собственный вектор задает само это направление.

Характеристическое Уравнение: Переход от Определения к Вычислениям

Теперь нужно понять, как от определения перейти к вычислениям. Начнем с основного уравнения:

\[
A\cdot x=\lambda \cdot x.
\]

Левая часть этого уравнения уже имеет матричный вид: матрица \( A \) умножается на вектор \( x \). А в правой части число \( \lambda \) умножается на вектор \( x \). Чтобы обе части имели одинаковую структуру, правую часть удобно записать через единичную матрицу \( E \).

Почему это можно сделать? Единичная матрица не изменяет вектор, то есть \( E\cdot x=x \). Поэтому произведение \( \lambda \cdot x \) можно записать так:

\[
\lambda \cdot x=\lambda\cdot E\cdot x.
\]

Следовательно, исходное уравнение принимает вид

\[
A\cdot x=\lambda\cdot E\cdot x.
\]

Теперь перенесем правую часть влево:

\[
A\cdot x-\lambda\cdot E\cdot x=0.
\]

Поскольку в обоих слагаемых есть вектор \( x \), его можно вынести за скобки:

\[
(A-\lambda\cdot E)\cdot x=0.
\]

Мы получили однородную систему линейных уравнений. Однако нас интересует именно ненулевое решение. Когда такая система имеет ненулевое решение? Это возможно тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю:

\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]

Это уравнение называют характеристическим уравнением матрицы \( A \), а выражение

\[
\det(A-\lambda\cdot E)
\]

называют характеристическим определителем.

Корни характеристического уравнения являются собственными значениями матрицы:

\[
\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n.
\]

Однако важно не смешивать два шага. Характеристическое уравнение дает собственные значения, но еще не дает сами собственные векторы. Чтобы найти собственные векторы, каждое найденное значение \( \lambda_i \) подставляют в систему

\[
(A-\lambda_i \cdot E)\cdot x=0.
\]

Ненулевые решения этой системы и являются собственными векторами, которые соответствуют собственному значению \( \lambda_i \).

Метод Раскрытия Характеристического Определителя: Алгоритм и Ограничения

Полученное уравнение

\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0
\]

нужно преобразовать в обычное алгебраическое уравнение относительно \( \lambda \). Именно для этого раскрывают характеристический определитель. После раскрытия получают многочлен относительно \( \lambda \), который называют характеристическим многочленом матрицы \( A \):

\[
P(\lambda)=\det(A-\lambda\cdot E).
\]

Для квадратной матрицы порядка \( n \) характеристический многочлен является многочленом \( n \)-й степени относительно \( \lambda \). Поэтому характеристическое уравнение записывают так:

\[
P(\lambda)=0.
\]

В общем виде характеристический многочлен можно представить формулой

\[
P(\lambda)=
(-1)^n\cdot
\left(
\lambda^n-\sigma_1\cdot\lambda^{n-1}
+\sigma_2\cdot\lambda^{n-2}
-\dots
+(-1)^n\cdot\sigma_n
\right).
\]

Здесь коэффициенты \( \sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n \) связаны с главными минорами матрицы \( A \).

Например, коэффициент \( \sigma_1 \) равен сумме элементов главной диагонали:

\[
\sigma_1=\sum_{\alpha=1}^{n}a_{\alpha\alpha}.
\]

Эту величину также называют следом матрицы.

Коэффициент \( \sigma_2 \) равен сумме всех главных миноров второго порядка:

\[
\sigma_2=
\sum_{\alpha<\beta}
\begin{vmatrix}
a_{\alpha\alpha} & a_{\alpha\beta} \\
a_{\beta\alpha} & a_{\beta\beta}
\end{vmatrix}.
\]

Коэффициент \( \sigma_3 \) равен сумме всех главных миноров третьего порядка:

\[
\sigma_3=
\sum_{\alpha<\beta<\gamma}
\begin{vmatrix}
a_{\alpha\alpha} & a_{\alpha\beta} & a_{\alpha\gamma} \\
a_{\beta\alpha} & a_{\beta\beta} & a_{\beta\gamma} \\
a_{\gamma\alpha} & a_{\gamma\beta} & a_{\gamma\gamma}
\end{vmatrix}.
\]

В общем случае \( \sigma_k \) — это сумма всех главных миноров \( k \)-го порядка. Последний коэффициент равен определителю матрицы:

\[
\sigma_n=\det(A).
\]

Эти формулы показывают теоретическое строение характеристического многочлена. Другими словами, коэффициенты этого многочлена можно связать с главными минорами матрицы. Однако при решении конкретных задач второго или третьего порядка обычно проще действовать напрямую: раскрыть определитель

\[
\det(A-\lambda\cdot E),
\]

привести подобные слагаемые и получить характеристическое уравнение. Именно такой путь чаще всего используют в практических вычислениях.

Последовательность метода раскрытия характеристического определителя можно представить так:

1. Построить матрицу \( A-\lambda\cdot E \).
2. Найти характеристический определитель \( \det(A-\lambda\cdot E) \).
3. Раскрыть этот определитель относительно \( \lambda \) и получить характеристический многочлен \( P(\lambda) \).
4. Решить характеристическое уравнение \( P(\lambda)=0 \). Его корни являются собственными значениями матрицы.
5. Для каждого найденного собственного значения \( \lambda_i \) составить систему \( (A-\lambda_i\cdot E)\cdot x=0 \) и найти ее ненулевые решения. Именно они являются собственными векторами.

Итак, метод раскрытия характеристического определителя имеет четкую последовательность действий. Он показывает связь между матрицей, характеристическим уравнением, собственными значениями и собственными векторами. В то же время этот подход лучше всего применять для матриц малых порядков, например \( 2\times 2 \) или \( 3\times 3 \). Для больших матриц раскрытие определителя становится громоздким, поэтому в численных методах часто используют специальные алгоритмы для более эффективного решения таких задач.

Собственные Значения и Собственные Векторы Матрицы: Практическая Часть

В этом разделе применим описанную выше последовательность к конкретным матрицам. На примерах будет видно, как характеристическое уравнение приводит к собственным значениям, а соответствующие однородные системы — к собственным векторам.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}.
\]

Сначала запишем матрицу \( A-\lambda\cdot E \). Поскольку

\[
E=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\]

то имеем

\[
A-\lambda\cdot E=
\begin{pmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{pmatrix}.
\]

Теперь составим характеристическое уравнение:

\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]

Следовательно,

\[
\begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 \\
1 & 2-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\]

Вычислим определитель:

\[
(2-\lambda)\cdot (2-\lambda)-1\cdot 1=0.
\]

То есть

\[
(2-\lambda)^2-1=0.
\]

Раскроем скобки:

\[
4-4\cdot\lambda+\lambda^2-1=0.
\]

После приведения подобных слагаемых получим

\[
\lambda^2-4\cdot\lambda+3=0.
\]

Разложим квадратный трехчлен на множители:

\[
\lambda^2-4\cdot\lambda+3=(\lambda-1)\cdot(\lambda-3).
\]

Поэтому

\[
(\lambda-1)\cdot(\lambda-3)=0.
\]

Отсюда имеем два собственных значения:

\[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=3.
\]

Теперь найдем собственные векторы.

Для собственного значения \( \lambda_1=1 \) рассмотрим систему

\[
(A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0.
\]

Имеем

\[
A-E=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

Следовательно,

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Отсюда получаем уравнение

\[
x_1+x_2=0.
\]

Поэтому \( x_1=-x_2 \). Выберем, например, \( x_2=1 \). Тогда \( x_1=-1 \).

Следовательно, один из собственных векторов, соответствующих собственному значению \( \lambda_1=1 \), имеет вид

\[
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

Замечание (почему собственный вектор не является единственным). Здесь стоит сделать небольшую паузу. Почему мы говорим «один из собственных векторов», а не «единственный собственный вектор»? Дело в том, что собственный вектор можно умножить на любое ненулевое число, и после этого он все равно останется собственным вектором для того же собственного значения.

Действительно, пусть

\[
A\cdot x=\lambda\cdot x,
\]

Теперь умножим вектор \( x \) на некоторое число \( c \), где \( c\neq 0 \). Тогда для вектора \( c\cdot x \) имеем \( A\cdot (c\cdot x)=c\cdot A \cdot x \). Поскольку \( A\cdot x=\lambda\cdot x \), то можем записать \( A\cdot (c\cdot x)=c\cdot \lambda\cdot x \). А правую часть можно представить как \( c\cdot\lambda\cdot x=\lambda\cdot(c\cdot x) \). Следовательно,

\[
A\cdot(c\cdot x)=\lambda\cdot(c\cdot x).
\]

Это означает, что вектор \( c\cdot x \) также является собственным вектором для того же собственного значения \( \lambda \).

Например, если

\[
x=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix},
\]

то векторы

\[
\begin{pmatrix}
-2 \\
2
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
3 \\
-3
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]

также являются собственными векторами для того же собственного значения.

Почему так происходит? Все эти векторы лежат на одной прямой. Они могут иметь разную длину или быть направленными в противоположную сторону, но с точки зрения собственных векторов они описывают одно и то же направление действия матрицы. Поэтому в задачах достаточно записать один простой ненулевой собственный вектор.

Теперь рассмотрим второе собственное значение \( \lambda_2=3 \). Имеем

\[
A-3\cdot E=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}.
\]

Тогда система примет вид

\[
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\ \
0
\end{pmatrix}.
\]

Из первой строки имеем

\[
-x_1+x_2=0.
\]

Отсюда \( x_2=x_1 \). Выберем \( x_1=1 \). Тогда \( x_2=1 \).

Следовательно, собственный вектор, соответствующий собственному значению \( \lambda_2=3 \), можно записать так:

\[
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1\ \
1
\end{pmatrix}.
\]

Таким образом, для заданной матрицы \( A \) получили

\[
\lambda_1=1,
\qquad
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_2=3,
\qquad
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

\[
A=
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix}.
\]

Как и в предыдущем примере, начнем с матрицы \( A-\lambda\cdot E \). Имеем

\[
A-\lambda E=
\begin{pmatrix}
4-\lambda & 2 \\
1 & 3-\lambda
\end{pmatrix}.
\]

Составим характеристическое уравнение:

\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]

То есть

\[
\begin{vmatrix}
4-\lambda & 2 \\
1 & 3-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\]

Вычислим определитель:

\[
(4-\lambda)\cdot (3-\lambda)-2\cdot 1=0.
\]

Раскроем скобки:

\[
12-4\cdot\lambda-3\cdot\lambda+\lambda^2-2=0.
\]

После упрощения имеем

\[
\lambda^2-7\cdot\lambda+10=0.
\]

Разложим квадратный трехчлен:

\[
\lambda^2-7\cdot\lambda+10=(\lambda-5)\cdot(\lambda-2).
\]

Поэтому

\[
(\lambda-5)\cdot(\lambda-2)=0.
\]

Отсюда получаем собственные значения:

\[
\lambda_1=5,
\qquad
\lambda_2=2.
\]

Найдем собственные векторы. Для \( \lambda_1=5 \) имеем

\[
A-5\cdot E=
\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -2
\end{pmatrix}.
\]

Тогда система имеет вид

\[
\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Из первой строки получаем

\[
-x_1+2\cdot x_2=0.
\]

Отсюда \( x_1=2\cdot x_2 \). Выберем \( x_2=1 \). Тогда \( x_1=2 \).

Следовательно, собственный вектор для \( \lambda_1=5 \) можно выбрать таким:

\[
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

Теперь рассмотрим \( \lambda_2=2 \). Имеем

\[
A-2\cdot E=
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\]

Следовательно,

\[
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Из второй строки получаем

\[
x_1+x_2=0.
\]

Поэтому \( x_1=-x_2 \). Выберем \( x_2=1 \). Тогда \( x_1=-1 \).

Следовательно, собственный вектор для \( \lambda_2=2 \) можно записать так:

\[
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

Таким образом, для заданной матрицы \( A \) получили:

\[
\lambda_1=5,
\qquad
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
2 \\
1
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_2=2,
\qquad
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}.
\]

В этом примере имеем треугольную матрицу. Поэтому характеристический определитель вычисляется значительно проще, чем для произвольной матрицы третьего порядка. Если бы все элементы под главной диагональю не были равны нулю, пришлось бы полностью раскрывать определитель третьего порядка и выполнять больше промежуточных преобразований.

Запишем

\[
A-\lambda\cdot E=
\begin{pmatrix}
2-\lambda & 1 & 0 \\
0 & 3-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 4-\lambda
\end{pmatrix}.
\]

Характеристическое уравнение имеет вид

\[
\det(A-\lambda\cdot E)=0.
\]

То есть

\[
\begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 & 0 \\
0 & 3-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 4-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\]

Поскольку матрица треугольная, ее определитель равен произведению элементов главной диагонали:

\[
(2-\lambda)\cdot(3-\lambda)\cdot(4-\lambda)=0.
\]

Отсюда сразу получаем собственные значения:

\[
\lambda_1=2,
\qquad
\lambda_2=3,
\qquad
\lambda_3=4.
\]

Теперь найдем собственные векторы. Для \( \lambda_1=2 \) имеем

\[
A-2\cdot E=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
\]

Тогда

\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Из этой системы получаем

\[
x_2=0,
\qquad
x_3=0.
\]

Переменная \( x_1 \) остается свободной. Выберем \( x_1=1 \). Тогда собственный вектор для \( \lambda_1=2 \) можно записать так:

\[
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Для \( \lambda_2=3 \) получаем

\[
A-3\cdot E=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

Следовательно,

\[
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Из первой строки имеем

\[
-x_1+x_2=0.
\]

То есть \( x_2=x_1 \). Из третьей строки получаем \( x_3=0 \). Выберем \( x_1=1 \). Тогда

\[
x_2=1,
\qquad
x_3=0.
\]

Следовательно, собственный вектор для \( \lambda_2=3 \) имеет вид

\[
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Наконец рассмотрим \( \lambda_3=4 \). Имеем

\[
A-4\cdot E=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Тогда

\[
\begin{pmatrix}
-2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}.
\]

Из второй строки имеем \( -x_2=0 \). Следовательно, \( x_2=0 \). Подставим это в первую строку:

\[
-2\cdot x_1+x_2=0.
\]

Поскольку \( x_2=0 \), то \( -2\cdot x_1=0 \). Отсюда \( x_1=0 \).

Переменная \( x_3 \) остается свободной. Выберем \( x_3=1 \). Следовательно, собственный вектор для \( \lambda_3=4 \) можно записать так:

\[
x^{(3)}=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

Таким образом, для заданной матрицы \( A \) имеем:

\[
\lambda_1=2,
\qquad
x^{(1)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_2=3,
\qquad
x^{(2)}=
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},
\\[6pt]
\lambda_3=4,
\qquad
x^{(3)}=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}.
\]

Что Изучать Дальше: Методы для Продолжения Темы

После метода раскрытия характеристического определителя стоит перейти к специальным методам нахождения собственных значений. Они показывают, как работать с матрицами большего порядка и лучше организовывать вычисления.

1. Метод Данилевского: Переход к характеристическому многочлену — В статье будет объяснено, как метод Данилевского преобразует матрицу и помогает получить характеристический многочлен.
2. Метод Крылова: Построение уравнений для собственных значений — В материале будет идти речь о том, как метод Крылова формирует систему уравнений и помогает найти характеристический многочлен матрицы.
3. Метод Леверье: Вычисление коэффициентов многочлена — Статья покажет, как метод Леверье находит коэффициенты характеристического многочлена через последовательные матричные вычисления.

Собственные Значения и Собственные Векторы Матрицы в Программировании: Создайте Собственную Реализацию Метода

Если вам интересно не только прочитать о методе, но и проверить его в коде, обратите внимание на блок-схему ниже. Она может стать основой для небольшой программы на любимом языке программирования, которая находит собственные значения и собственные векторы матрицы через раскрытие характеристического многочлена.

Такая работа поможет лучше увидеть связь между матрицей, характеристическим уравнением и программной логикой. А еще это хороший способ проверить, как теоретический алгоритм работает для разных матриц малого порядка.